3.1.2 Batas Permukaan Bebas
Formulasi Hamiltonian untuk gerak gelombang interfacial dengan batas atas berupa permukaan bebas memiliki Lagrangian yang bergantung pada
1
, x t
dan
2
, x t . Energi kinetik K dan energi potensial P pada kasus ini berturut-turut
didefinisikan
2 1
1 2
2
2 2
1 1
2 2
2 2
1 1
x h
x h
x
K dy
dy dx
, 3.13
2 1
1 2
2
2 2
2 2
1 1
2 2
2 1
2 1
1 1
.
x h
x h
x
P g
y dy dx g
y dy dx g
x g
h x
dx 3.14
Selanjutnya, definisikan
1 1
2
, x
x x ,
2 2
2
, x
x , dan
3 1
1 1
, x h
x . Operator Dirichlet-Neumann untuk domain fluida lapisan bawah
2 2
, S t
adalah
1 2
2 2
2 2
2 2
1
x
G x
N dan operator
Dirichlet-Neuman untuk domain fluida lapisan atas
1 2
1
, ,
S t didefinisikan
oleh
1 2
1 2
2 1
2 2
1 11
12 2
21 22
3 1
1 1
. 1
, .
1
x x
N x
x G
G G
G x
N x
3.15
dengan
1 1
2 1
1 1
1
T x
x
N dan
2 2
2 2
1 1
1
T x
x
N berturut-turut
menyatakan vektor normal satuan di
1 1
y h
dan
2
y . Jadi energi kinetik
pada persamaan 3.13 dapat dinyatakan berikut
1 1
11 12
1 1
2 2
2 2
2 2
2 1
21 22
3 3
T
G G
K G
dx G
G .
3.16 Berdasarkan Operator Dirichlet-Neumann pada persamaan 3.4 dan
3.15, maka syarat batas kinematik 3.7 untuk
2
berlaku, sedangkan persamaan 2.9 dan 2.12 berturut-turut menjadi
2 11
1 12
3 1
21 1
22 3
.
t t
G G
G G
3.17
Dengan menggunakan persamaan 3.14 dan 3.16, Lagrangian diperoleh dalam bentuk
1 2
2 11
12 1
2 2 2
2 2
1 21
22 1
1 2
2 2
1 2
1 1
1
1 2
1 1
. 2
2
T t
t t
t t
t R
R
G G
L G
dx dx
G G
g x dx
g h
dx
3.18
Definisikan
1
1
t
L dan
2
2
t
L , maka diperoleh
1 1
2 2
11 12
2 2
2 2
1 21
22 1
1 2
2 1
1 1
3
.
t t
t
G G
G G
G 3.19
Dengan menggunakan persamaan 3.19, maka persamaan 3.16 dapat ditulis
2 1
2 2
11 12
21 22
3 1
1 1
1 1
2 2
T T
t t
G G
K dx
dx G
G .
3.20 Penyelesaian persamaan 3.15 dan 3.19 untuk
1 2
, ,
dan
3
dalam variabel
2 1
, adalah
2 1
1 1
2 2
2 12 1
1 2
11 2 12 1
1 3
1
B G
G B
G G
3.21
dengan
2 11
1 2
2
B G
G .
Jadi persamaan 3.20 dapat dinyatakan oleh
2 1
1
1 1
11 2
2 2
2 12
2 2
1 1
1 21
2 2
22 21
12 1
1
1 2
T
G B G G
B G K
dx G B G
G G B G
. 3.22
Sehingga Hamiltonian diperoleh dalam bentuk
2 1
1
1 1
11 2
2 2
2 12
2 2
1 1
1 21
2 2
22 21
12 1
1 2
2 2
1 2
1 1
1
1 2
1 1
. 2
2
T
R R
G B G G
B G H
dx G B G
G G B G
g x dx
g h
dx 3.23
Jadi sistem persamaan gerak untuk gelombang interfacial dengan batas atas berupa permukaan bebas dinyatakan oleh sistem Hamiltonian berikut
2 2
1 1
2 2
1 1
, ,
.
t t
t t
H H
H H
3.24 Persamaan 3.24 merupakan sistem persamaan tak linear dengan Hamiltonian H
diberikan pada persamaan 3.23. Penurunan persamaan 3.18, 3.19, 3.20,
3.22, dan 3.23 dapat dilihat di Lampiran 2.
3.2 Gerak Gelombang Interfacial 3.2.1 Batas Permukaan Rata
Kategori