21
Mat emat ika
b. Operasi Perkalian dan Pembagian Bentuk Akar
Pada pangkat pecahan telah dinyatakan bahwa a a
p q
p q
= . Sifat perkalian dan
pembagian bentuk akar dapat dicermati pada beberapa contoh berikut.
Cont oh 1 .7
1 8
2 2
2 2
3 3
3 3
3 1
= = = =
2 64
2 2
2 2
6 6
6 6
6 1
= =
= = 3
4 5 2 7
4 2
5 7
8 35
3 3
3 3
× =
× ×
=
4 3 5 5 5 3
5 5
5 15 5
15 5
5 7
1 5
1 7
12 35
12 35
× =
× ×
=
=
5 3 4
4 5 3
4 4
5
3 3
3
=
6 2 3
3 5 2
3 3
5
4 4
4
=
Latihan 1.4
1 Buktikan: jika a bilangan real dan a 0, maka a
n n
= a. 2 Buktikan: jika a, b, c, dan d bilangan real, c 0 dan d 0, maka
a c b
d ab cd
n n
n
× =
. 3 Buktikan: jika a, b, c, dan d bilangan real, c 0 dan d 0, maka
a c b
d a
b c
d
n n
n
= .
c. Merasionalkan Penyebut Bentuk Akar
Kita tahu bahwa bentuk-bentuk akar seperti 2 5
3 7
2 6
, ,
, +
− , dan
seterusnya merupakan bilangan irasional. Jika bentuk akar tersebut menjadi penyebut pada suatu pecahan, maka dikatakan sebagai penyebut irasional.
Di unduh dari : Bukupaket.com
22
Kelas X SMA MA SMK MAK Edisi Revisi Semest er 1
Penyebut dalam bentuk akar dapat diubah menjadi bentuk pangkat rasional. Cara merasionalkan penyebut bentuk akar tergantung pada bentuk akar itu sendiri. Akan
tetapi, prinsip dasarnya sama; yaitu mengalikan dengan bentuk akar sekawannya. Proses ini dinamakan merasionalkan penyebut.
1 Merasionalkan bentuk
p q
Bentuk p
q dirasionalkan dengan cara mengalikannya dengan
q q
. p
q p
q q
q p
q q
= =
.
Diskusi
Menurutmu mengapa penyebut bilangan pecahan berbentuk akar harus dirasionalkan?
Mengapa kita harus mengalikan p
q dengan
q q
? Karena
q selalu positif, maka q q
= 1. Jadi perkalian p
q dengan
q q
tidak akan mengubah nilai p
q namun menyebabkan penyebut menjadi bilangan
rasional.
2 Merasionalkan bentuk
r p
q r
p q
r p
q r
p q
+ −
+ −
, ,
, dan
Sebelum kita merasionalkan bentuk-bentuk akar di atas, perlu kita pahami bentuk-bentuk campuran bilangan rasional dan bilangan irasional.
a Jika bilangan rasional dijumlahkan dengan bilangan irasional maka hasilnya bilangan irasional. Contoh 2 + 7 = 2 + 2,645751.... = 4, 645751... bilangan
irasional. b Jika bilangan irasional dijumlahkan dengan bilangan irasional maka hasilnya
bilangan irasional atau rasional, Contoh 1 5 + 7 = 2,236068.... + 2,645575... = 4,881643... bilangan irasional, 2 2 5 + -2 5 = 0
bilangan rasional. Jika dua bilangan irasional dikurangkan, bagaimana hasilnya?
Di unduh dari : Bukupaket.com
23
Mat emat ika
c Jika bilangan rasional dikalikan dengan bilangan irrasional, maka hasilnya bilangan rasional atau irasional. Contoh. 0
2 ×
= 0 0 adalah bilangan rasional atau 2
5 2 5
× =
adalah bilangan irasional d Jika bilangan irasional dikalikan dengan bilangan irasional, maka hasilnya
dapat bilangan rasional atau bilangan irasional. Contoh:
• 5 × 125 = 5 × 5 5 = 25 25 adalah bilangan rasional
• 3
5 15
× =
15 adalah bilangan irasional e
a
n
disebut bentuk akar apabila hasil akar pangkat n dari a adalah bilangan
irasional. Untuk merasionalkan bentuk
r p
q r
p q
r p
q r
p q
+ −
+ −
, ,
, dan
. dapat dilakukan dengan memperhatikan sifat perkalian a + b a – b = a
2
– b
2
, sehingga p
q p
q p
q p
q p
q p
q p
q p
q +
− =
− =
− +
− =
− =
−
2 2
2 2
2
Bentuk p q
+ dan bentuk p
q −
saling sekawan, bentuk p
q +
dan p
q −
juga saling sekawan. Jika perkalian bentuk sekawan tersebut dilakukan maka dapat merasionalkan bentuk akar. Untuk p, q dan r bilangan real.
r p
q r
p q
p q
p q
r p q
p q
+ =
+ −
− =
− −
.
2
dimana q ≥ 0 dan p
2
≠ q.
r p
q r
p q
p q
p q
r p q
p q
− =
− +
+ =
+ −
.
2
dimana q ≥ 0 dan p
2
≠ q.
r p
q r
p q
p q
p q
r p
q p
q +
= +
− −
= −
− .
dimana p ≥ 0, q ≥ 0 dan p ≠ q
r p
q r
p q
p q
p q
r p
q p
q −
= −
+ +
= +
− .
dimana p ≥ 0, q ≥ 0 dan p ≠ q
Di unduh dari : Bukupaket.com
24
Kelas X SMA MA SMK MAK Edisi Revisi Semest er 1
Cont oh 1 .8
Rasionalkan penyebut pecahan-pecahan berikut. a.
2 3
2 2
3 2
3 2
3 2
− =
− ×
+ +
kalikan penyebut dengan bentuk sekawannya =
+ −
+ 2 3
2 3
2 3
2 =
+ −
= + =
+ 2 3
2 9
2 6
2 2
7 6
7 2
7 7
b. 3
6 3
3 6
3 6
3 6
3 3 6
3 6
3 6
3 +
= +
× −
− =
− +
− kalikan penyebut dengan bentuk sekawannya
= −
− =
−
= −
18 3 3
36 3
18 3 3
33 6
11 3
11
Di unduh dari : Bukupaket.com
25
Mat emat ika
c. 4
7 5
4 7
5 7
5 7
5 4
7 5
7 5
7 5
4 7
5 7
5 4 7
4 5 2
2 7 2 5
− =
− ×
+ +
= +
− +
= +
− =
+ =
+ kalikan penyebut dengan bentuk sekawannya
Cont oh 1 .9
Pikirkan cara termudah untuk menghitung jumlah bilangan-bilangan berikut 1
1 2
1 2
3 1
3 4
1 4
5 1
99 100
+ +
+ +
+ +
+ +
+ =
... ...?
Permasalahan di atas dapat diselesaikan dengan cara merasionalkan penyebut tiap suku; yaitu,
= 1
1 2
1 2
1 2
+ ×
− −
+ 1
2 3
2 3
2 3
+ ×
− −
+ 1
3 4
3 4
3 4
+ ×
− −
+ 1
4 5
4 5
4 5
+ ×
− −
+ ... + 1
99 100
99 100
99 100
+ ×
− −
= 1
2 1
2 3
1 3
4 1
4 5
1 99
100 1
− −
+ −
− +
− −
+ −
− +
+ −
− ...
= – 1 2
2 3
3 4
4 5
99 100
+ −
+ −
+ −
+ −
− +
... =
− +
= − + =
1 100
1 10
9 .
Di unduh dari : Bukupaket.com
26
Kelas X SMA MA SMK MAK Edisi Revisi Semest er 1
Cont oh 1 .1 0
Tentukan nilai dari 1
3 1
3 1
3 +
+ +...
Alternatif Penyelesaian
Perhatikan pola bilangan berikut. Misalkan, P = +
+ +
3 1
3 1
3 ...
atau P P
= + 3
1
⇔ P
2
– 3P – 1 = 0 Dengan mengubah ke bentuk kuadrat sempurna diperoleh:
⇔ P −
− =
3 2
13 4
2
⇔ P = +
6 2 13
4 Jadi, nilai
1 3
1 3
1 3
1 6
2 13 4
4 6
2 13 +
+ +
= +
= +
... Dengan merasionalkan bentuk tersebut, maka
4 6
2 13 4
6 2 13
6 2 13
6 2 13
4 6 2 1
3 16
+ =
+ −
− =
− −
. =
− 2 13
6 2
Jadi, 1
3 1
3 1
3 2 13
6 2
+ +
+ =
−
...
Di unduh dari : Bukupaket.com
27
Mat emat ika
3 Menyederhanakan bentuk
p q
pq +
± 2 Sekarang kita akan menyederhanakan bentuk akar yang mempunyai bentuk
khusus; yaitu, bentuk p
q pq
+ ± 2
. Perhatikan proses berikut ini Diskusikanlah masalah berikut dengan temanmu
a. p
q p
q +
+ b.
p q
p q
− −
Dari hasil kegiatan yang kamu lakukan, kamu akan memperoleh bentuk sederhananya menjadi
p q
pq +
± 2 . Selanjutnya, perhatikan contoh berikut
Cont oh 1 .1 1
Sederhanakan bentuk akar berikut ini a.
8 2 15
+ =
5 3
2 5 3
5 2 5
3 3
+ +
× = +
× + =
5 3
5 3
2
+ =
+ b.
9 4
5 −
= 5 4 5
4 5
2 5
2
2
− + =
− =
−
Di unduh dari : Bukupaket.com
28
Kelas X SMA MA SMK MAK Edisi Revisi Semest er 1
U ji Kom pe t e nsi 1 .2
1. Rasionalkan penyebut pecahan- pecahan berikut ini
a. 5 15
d. 6
24 b.
2 20
e. 2
2 48
c. 3
18 f.
2 3
a a
2. Rasionalkan penyebut pecahan- pecahan berikut ini
a. 1
5 3
− b.
4 2
4 2
− +
c. 2
3 5
a a
+ d.
3 5
10 −
e. xy
x y
+ f.
24 54
150 96
+ −
3. Sederhanakanlah bentuk berikut ini a.
15 75
1 2
3 −
− b.
7 2
8 11
2 8
+ +
− c.
4 3
2 3
2 1
5 3
2 +
− −
+ −
d. 10
5 6
12 6
7 14
7 8
+ +
+ +
+
4. Jika 2
3 2
3 6
− +
= +
a b
, tentukan nilai
a + b 5. Sederhanakan bentuk akar berikut
ini a. 19 8 3
+ b. 5
2 6
+ c. 43 12 7
+ d. 21 4 5
− e.
18 8 2
11 6
2 +
+ −
f. 3 14
6 5 21
12 3 −
+ +
Di unduh dari : Bukupaket.com
29
Mat emat ika
SOAL TANTANGAN
1. Tentukanlah nilai dari: a. 2 3 2 3 2 3 ...
3 3
3 3
b. 2 2
2 2
2 +
+ +
+ + ...
c. 1
1 1
1 1
1 +
+ +
... 2. Jika a, b bilangan asli dengan
a ≤ b dan
3 4
+ +
a b
adalah bilangan rasional, tentukan
pasangan a,b. OSN 20052006
Proje k
Tidak semua bilangan pecahan desimal tak hingga adalah bilangan irrasional. Sebagai contoh 0,333... bukanlah bilangan irrasional, karena dapat dinyatakan
sebagai pecahan 1
3 . Kenyataannya, bilangan pecahan desimal tak
hingga dengan desimal berulang seperti 0,333... dapat dinyatakan dalam bentuk pecahan.
a. Rancang sebuah prosedur untuk mengkonversi bilangan pecahan desimal tak hingga dengan desimal berulang menjadi bilangan pecahan. Beri
contoh penerapan prosedur yang kamu rancang. b. Berdasarkan penjelasan di atas, karena bilangan irasional
π tidak mungkin sama dengan
22 7
, karena 22
7 hanyalah pendekatan untuk nilai
π sebenarnya. 3. Nyatakan b dalam a dan c dari
persamaan b
c c
a
3 3
= abc. 4. Sederhanakan bentuk 49
20 6
4
− .
5. Tentukan nilai a dan b dari
1 2
3 1
3 4
1 4
5 1
1 000 000 1 000 001
+ +
+ +
+ + +
+ =
− ...
. .
. .
a b
6. Hitunglah
54 14 5
12 2 35
32 10 7
+ +
− +
− =
7. Jika3+43
2
+4
2
3
4
+4
4
3
8
+4
8
3
16
+4
16
3
32
+4
32
= 4
x
–3
y
, tentukan nilai x–y .
Di unduh dari : Bukupaket.com
30
Kelas X SMA MA SMK MAK Edisi Revisi Semest er 1
9. Menemukan Konsep Logaritma
Kategori