Model Biaya Inventori Pelanggan

BAB III PERUMUSAN MASALAH

Dalam matematika, model merupakan tiruan dari suatu permasalahan sedemikian rupa sehingga operasi matematis bisa diterapkan padanya. Konstruksi model dilaku- kan dengan cara memasukkan serangkaian asumsi awal sebagai penyederhanaan, tanpa terlalu menyederhanakan permasalahan itu sendiri. Berikut adalah asumsi-asumsi yang dipergunakan dalam pemodelan masalah ini: 1 Pelanggan tidak tunggal. 2 Penjual menawarkan diskon dengan titik impas tunggal. 3 Dalam menentukan ukuran pesanan, setiap pelanggan mengikuti model Economic Order Quantity EOQ statis satu produk. 4 Banyaknya pelanggan dan total permintaan per unit waktu tetap, tidak bergantung pada perancangan diskon. 5 Banyaknya unit barang diperlakukan sebagai variabel kontinu. 6 Biaya pesanan dan biaya inventori pelanggan diberitahukan kepada penjual. Jika salah satu diketahui, yang lain dapat diturunkan dengan menggunakan asumsi ketiga. Pemodelan ini dibangun dari dua sudut. Pertama dari sudut pelanggan yang berupaya meminimumkan biaya inventori dan kedua dari sudut penjual yang berupaya memaksi- mumkan keuntungan.

3.1 Model Biaya Inventori Pelanggan

• Misalkan C 1i = biaya pesanan pelanggan i i = 1, 2, 3, ..., n C 2i = biaya inventori, dinyatakan sebagai persentase dari harga barang. P i = fungsi harga biaya pembelian pelanggan i R = tingkat diskon 0 R 1 Q = titik impas • Misalkan harga per unit barang yang diberikan oleh penjual adalah P untuk Q i Q, dan P1–R untuk unit barang di atas Q, maka total biaya pembelian yang dikeluarkan pelanggan i menjadi PQ i untuk Q i Q, dan PQ+P1–RQ i –Q untuk Q i ≥ Q. Dengan demikian, fungsi harga untuk pelanggan i menjadi: P i = P untuk Q i Q, dan untuk Q i ≥ Q, i i Q PRQ R P P 1 + − = lihat Lampiran 1. Secara umum dapat ditulis sebagai berikut: ⎩ ⎨ ⎧ + − = , 1 , i i Q PRQ R P P P selainnya Q Q i 1 • Biaya pemesanan per cycle sejumlah Q i pesanan adalah C 1i +P i Q i ; dengan panjang cycle Q i D i maka biaya pemesanan per unit waktu sejumlah Q i unit pesanan adalah C 1i D i Q i +P i D i , • Karena tingkat persediaan tertinggi adalah Q i ketika pemesanan dilakukan dan tingkat terendah adalah nol setelah Q i D i unit waktu dari waktu pemesanan, maka rata-rata tingkat persediaan adalah Q i 2 dan biaya penyimpanan per unit waktu adalah C 2i P i Q i 2, sehingga total biaya inventori per unit waktu sejumlah Q i pesanan adalah: E i Q i ≈ biaya pemesanan + biaya penyimpanan = C 1i D i Q i +P i D i + C 2i P i Q i 2 = C 1i D i Q i +P i C 2i Q i 2+ D i 2 Misalkan E i Q i dinotasikan dengan E 1i Q i untuk Q i Q dan E 2i Q i untuk Q i ≥ Q. Maka untuk mendapatkan nilai economic order quantity atau Q i yang meminimum- kan setiap E i Q i tersebut digunakan konsep diferensial, yakni menurunkan E i Q i terhadap Q i , dan menyamakannya dengan nol. Dengan cara tersebut diperoleh Q i yang meminimumkan E i Q i untuk kedua kondisi di atas: • Ukuran pesanan optimum pada kondisi tanpa diskon Misalkan Q i yang meminimumkan E 1i Q i dinotasikan dengan Q ai . Karena harga P i = P untuk Q i Q, maka i i i i i i i i PD PQ C Q D C Q E + + = 2 2 1 1 , 3 sehingga diperoleh : 2 2 2 1 1 i i i i i i i PC Q D C dQ Q dE + − = , 5 dan 2 3 1 2 1 2 = i i i i i i Q D C dQ Q E d , . ∀ i Q Jadi E 1i Q i merupakan fungsi konveks untuk setiap . i Q Dengan demikian diperoleh Q ai yang meminimumkan E 1i Q i diperoleh dari: 1 = i i i dQ Q dE , 2 2 2 1 = + − ⇔ i i i i PC Q D C i i i i PC D C Q 2 1 2 2 = ⇔ , sehingga P C D C Q i i i i 2 1 2 = , atau yang dinotasikan dengan P C D C Q i i i ai 2 1 2 = . 4 Dengan demikian, diperoleh: i i i i ai i PD PD C C Q E + = 2 1 1 2 . 5 lihat Lampiran 2 • Ukuran pesanan optimum pada kondisi terdapat diskon 1 2 2 1 R P C D RPQ C Q i i i bi − + = , atau 1 2 2 2 2 R C RQD C Q Q i i i ai bi − + = 6 lihat Lampiran 3, dan i i i bi i D R P C RPQ C Q E − + = 1 2 2 1 2 D R P PRQ C i i 1 2 2 − + + 7 lihat Lampiran 4 Proposisi 1 Misalkan Q ci = i i i i ai C D C D Q R R 2 2 2 2 1 1 2 − ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ + ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ − − 8 maka Q ai ≤ Q ci ≤ Q bi dan E 1i Q ai ≥ E 2i Q bi untuk Q ≤ Q ci, E 1i Q ai E 2i Q bi untuk Q Q ci. Bukti. lihat Lampiran 5 ■. Proposisi 1 menyatakan bahwa untuk R yang diberikan, pesanan optimal i Q dari pelanggan i bergantung pada titik impas Q, yakni: . untuk , untuk ci ci ai bi i Q Q Q Q Q Q Q ≤ ⎩ ⎨ ⎧ = 9 Gambar 2 di bawah ini mengilustrasikan kurva biaya pelanggan i dan i Q yang bergantung pada posisi antara Q dan Q ci lihat Lampiran 6. E i Q i E 1i Q ai E 2i Q bi Q ai Q bi Q Q ci E 1 i i Q E 2i a Q ≤ Q ci E i Q i E 2i Q bi b Q Q ci E 1i Q ai Q ai Q bi Q Q ci E 1i i Q E 2i Gambar 2 Fungsi biaya pelanggan. 6

3.2 Model Fungsi Keuntungan Penjual