Analisis Kestabilan Titik Tetap Model Protease Inhibitor Sempurna Dinamika Populasi Virus HIV

IV HASIL DAN PEMBAHASAN

4.1 Penentuan Titik Tetap Model Protease Inhibitors Sempurna

Titik tetap sistem persamaan 3.2 dapat diperoleh dengan menentukan, dT dt = , dT dt = , I dV dt = , dan NI dV dt = . Sehingga diperoleh persamaan sebagai berikut max 1 T I T s pT d T kV T T + − − − = ⎛ ⎞ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ 4.1 I kV T T δ − = 4.2 I cV − = 4.3 0. NI N T cV δ − = 4.4 Dari persamaan 4.3 di atas, maka akan diperoleh 0. I V = 4.5 Kemudian substitusi persamaan 4.5 ke dalam persamaan 4.2, maka akan menghasilkan 0. T = 4.6 Selanjutnya substitusi persamaan 4.6 ke dalam persamaan 4.4, maka akan menghasilkan 0. NI V = 4.7 Dari 0, 0, dan I NI V T V = = = maka didapat nilai T yaitu 2 max max 4 2 T T T ps T p d p d p T ⎛ ⎞ = − + − + ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ 4.8 Sehingga titik tetap G akan diperoleh dari persamaan 4.5, 4.6, 4.7 dan 4.8 dimana 2 max max , , , 4 , 0, 0, 0 2 I NI T T G T T V V T ps p d p d p T = ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ − + − + ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ 4.9 Titik tetap di atas merupakan titik tetap bebas penyakit karena sel darah putih terinfeksi dan virusnya bernilai nol. Karena model persamaan 3.2 taklinear maka akan dilakukan pelinearan. Misalkan sistem persamaan 3.2 dituliskan sebagai berikut: , , , . , , , , , , , , , , , , I NI I NI I I NI NI I NI dT P T T V V dt dT Q T T V V dt dV R T T V V dt dV S T T V V dt = = = = Dengan melakukan pelinearan pada sistem 3.2 maka diperoleh matriks Jacobi sebagai berikut: max 2 I NI I NI I NI I NI T V V T T V V T T V V T T V V T T I I P P P P Q Q Q Q A R R R R S S S S pT p d kV kT T kV kT c N c δ δ ⎡ ⎤ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ = ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎣ ⎦ ⎡ ⎤ − − − − ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ − = ⎢ ⎥ − ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ − ⎣ ⎦ 4.10 Kestabilan sistem persamaan 3.2 diperoleh dengan menganalisis nilai eigen matriks Jacobi pada titik tetapnya.

4.2 Analisis Kestabilan Titik Tetap Model Protease Inhibitor Sempurna

Jika , , , disubstitusi pada 4.10 maka diperoleh matriks 4 4 ij A a × = sebagai berikut 11 12 13 14 21 22 23 24 31 32 33 34 41 42 43 44 a a a a a a a a A a a a a a a a a ⎡ ⎤ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ = ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎣ ⎦ dengan 2 11 max 4 T ps a p d T = − − + 12 14 0, a a = = 2 max 13 max 4 2 T T kT ps a p d p d T p ⎛ ⎞ − = − + − + ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ 21 22 24 0, , a a a δ = = − = 2 max 23 max 4 2 T T kT ps a p d p d T p ⎛ ⎞ − = − + − + ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ 31 32 33 34 0, 0, , a a a c a = = = − = 41 42 43 44 0, , 0, a a N a a c δ = = = = − Nilai eigen dapat diperoleh dengan menyelesaikan persamaan karakteristik det A I λ − = , sehingga akan diperoleh nilai eigen untuk matriks A, yaitu 2 1 max 2 3,4 4 T ps p d T c λ λ δ λ = − − + = − = − Dengan asumsi semua parameter bernilai positif, maka dapat disimpulkan bahwa model pada terapi Protease Inhibitors Sempurna ini akan selalu stabil pada titik tetapnya.

4.3 Dinamika Populasi Virus HIV

Untuk mengamati dinamika populasi sistem persamaan 3.2 diperlukan kurva yang menggambarkan dinamika setiap populasi dan hubungannya terhadap waktu. Pada proses penggambaran kurva untuk setiap dinamika populasi akan diperlukan nilai awal untuk setiap variabel dan parameter. Nilai awal yang digunakan, yaitu 500 T = , 300 T = , 300 I V = , 150 NI V = . Sedangkan nilai parameter yang digunakan, yaitu 200 s = , 400 p = , 1000 Tm = , 3 d = , 0.6 δ = , 4 c = , 3 k = , 12 N = . Semua nilai awal dan parameter diambil sembarang selama memenuhi asumsi. Gambar 4 Perkembangan Sel Darah Putih Sehat T Dalam Gambar 4 digambarkan dinamika populasi sel darah putih sehat terhadap waktu. Berdasarkan gambar di atas dapat dilihat bahwa semakin bertambahnya waktu maka jumlah sel darah putih sehat akan mengalami penurunan dari nilai awalnya yaitu 500 hingga mencapai nilai minimum setelah itu jumlah semakin meningkat dan akan berada pada jumlah yang tetap menuju nilai kestabilannya 993,04. Gambar 5 Perkembangan Jumlah Sel Darah Putih yang Terinfeksi Dalam Gambar 5 digambarkan dinamika populasi sel darah putih terinfeksi terhadap waktu. Berdasarkan gambar di atas dapat dilihat bahwa semakin bertambahnya waktu maka jumlah sel darah putih yang terinfeksi mengalami peningkatan yang sangat signifikan dalam waktu yang singkat hingga mencapai nilai maksimum setelah itu akan menurun dan mencapai nilai nol yang artinya jumlah sel darah putih terinfeksi akan habis. Gambar 6 Perkembangan jumlah virus yang dapat menginfeksi Dalam Gambar 6 digambarkan dinamika populasi virus yang dapat menginfeksi terhadap waktu. Berdasarkan gambar di atas dapat dilihat bahwa semakin bertambahnya waktu maka jumlah virus yang tidak dapat menginfeksi akan mengalami penurunan dari nilai awalnya dari nilai dan stabil pada nilai nol yang artinya jumlah sel darah putih terinfeksi akan habis. Gambar 7 Perkembangan jumlah virus yang tidak dapat menginfeksi 2 4 6 8 1 5000 10 000 15 000 20 000 25 000 30 000 35 000 Waktu Se l D ar ah Pu ti h T er in fe ks i 0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 50 100 150 200 250 300 350 Waktu V ir us yan g da pat m en gi nf ek si 2 4 6 8 10 10 000 20 000 30 000 40 000 50 000 60 000 Waktu V ir us ya ng tid ak da pa t m engi nf ek si Dalam Gambar 7 digambarkan dinamika populasi virus yang tidak dapat menginfeksi terhadap waktu. Berdasarkan Gambar 7 dapat dilihat bahwa dengan bertambahnya waktu maka jumlah virus yang tidak dapat menginfeksi akan mengalami peningkatan dari nilai awalnya hingga mencapai nilai maksimum setelah itu akan menurun dan mencapai nilai nol yang artinya jumlah virus yang tidak dapat menginfeksi akan habis.

4.4 Penentuan Titik Tetap Model Protease Inhibitor Tidak Sempurna