IV HASIL DAN PEMBAHASAN
4.1 Penentuan Titik Tetap Model Protease Inhibitors Sempurna
Titik tetap sistem persamaan 3.2 dapat diperoleh dengan menentukan,
dT dt
=
,
dT dt
=
,
I
dV dt
=
, dan
NI
dV dt
=
. Sehingga diperoleh persamaan sebagai berikut
max
1
T I
T s
pT d T
kV T T
+ −
− −
=
⎛ ⎞
⎜ ⎟
⎝ ⎠
4.1
I
kV T T
δ −
=
4.2
I
cV −
=
4.3
0.
NI
N T cV
δ − =
4.4 Dari persamaan 4.3 di atas, maka akan
diperoleh
0.
I
V =
4.5 Kemudian substitusi persamaan 4.5 ke
dalam persamaan 4.2, maka akan menghasilkan
0. T
= 4.6
Selanjutnya substitusi persamaan 4.6 ke dalam persamaan 4.4, maka akan
menghasilkan
0.
NI
V =
4.7 Dari
0, 0, dan
I NI
V T
V =
= =
maka didapat nilai T yaitu
2 max
max
4 2
T T
T ps
T p
d p
d p
T ⎛
⎞ =
− +
− +
⎜ ⎟
⎜ ⎟
⎝ ⎠
4.8 Sehingga titik tetap G akan diperoleh dari
persamaan 4.5, 4.6, 4.7 dan 4.8 dimana
2 max
max
, ,
, 4
, 0, 0, 0 2
I NI
T T
G T T V V T
ps p
d p
d p
T =
⎛ ⎞
⎛ ⎞
− +
− +
⎜ ⎟
⎜ ⎟
⎜ ⎟
⎜ ⎟
⎝ ⎠
⎝ ⎠
4.9 Titik tetap di atas merupakan titik tetap bebas
penyakit karena sel darah putih terinfeksi dan virusnya bernilai nol. Karena model
persamaan 3.2 taklinear maka akan dilakukan pelinearan.
Misalkan sistem persamaan 3.2 dituliskan sebagai berikut:
, ,
, .
, ,
, ,
, ,
, ,
, ,
, ,
I NI
I NI
I I
NI NI
I NI
dT P T T V V
dt dT
Q T T V V dt
dV R T T V V
dt dV
S T T V V dt
= =
= =
Dengan melakukan pelinearan pada sistem 3.2 maka diperoleh matriks Jacobi
sebagai berikut:
max
2
I NI
I NI
I NI
I NI
T V
V T
T V
V T
T V
V T
T V
V T
T I
I
P P
P P
Q Q
Q Q
A R
R R
R S
S S
S pT
p d
kV kT
T kV
kT c
N c
δ δ
⎡ ⎤
⎢ ⎥
⎢ ⎥
= ⎢ ⎥
⎢ ⎥
⎢ ⎥
⎣ ⎦
⎡ ⎤
− −
− −
⎢ ⎥
⎢ ⎥
⎢ ⎥
− =
⎢ ⎥
− ⎢
⎥ ⎢
⎥ −
⎣ ⎦
4.10 Kestabilan sistem persamaan 3.2
diperoleh dengan menganalisis nilai eigen matriks Jacobi pada titik tetapnya.
4.2 Analisis Kestabilan Titik Tetap Model Protease Inhibitor Sempurna
Jika , , ,
disubstitusi pada 4.10 maka diperoleh matriks
4 4 ij
A a
×
= sebagai berikut
11 12
13 14
21 22
23 24
31 32
33 34
41 42
43 44
a a
a a
a a
a a
A a
a a
a a
a a
a ⎡
⎤ ⎢
⎥ ⎢
⎥ =
⎢ ⎥
⎢ ⎥
⎣ ⎦
dengan
2 11
max
4
T
ps a
p d
T = −
− +
12 14
0, a
a =
=
2 max
13 max
4 2
T T
kT ps
a p d
p d T
p ⎛
⎞ −
= −
+ −
+ ⎜
⎟ ⎝
⎠
21 22
24
0, ,
a a
a
δ
= = −
=
2 max
23 max
4 2
T T
kT ps
a p d
p d T
p ⎛
⎞ −
= −
+ −
+ ⎜
⎟ ⎝
⎠
31 32
33 34
0, 0,
, a
a a
c a =
= = −
=
41 42
43 44
0, ,
0, a
a N
a a
c
δ
= =
= = −
Nilai eigen dapat diperoleh dengan menyelesaikan persamaan karakteristik
det A
I
λ
− = , sehingga akan diperoleh
nilai eigen untuk matriks A, yaitu
2 1
max 2
3,4
4
T
ps p d
T c
λ λ
δ λ
= − −
+ = −
= − Dengan asumsi semua parameter bernilai
positif, maka dapat disimpulkan bahwa model pada terapi Protease Inhibitors Sempurna ini
akan selalu stabil pada titik tetapnya.
4.3 Dinamika Populasi Virus HIV
Untuk mengamati dinamika populasi sistem persamaan 3.2 diperlukan kurva yang
menggambarkan dinamika setiap populasi dan hubungannya terhadap waktu. Pada proses
penggambaran kurva untuk setiap dinamika populasi akan diperlukan nilai awal untuk
setiap variabel dan parameter. Nilai awal yang
digunakan, yaitu
500 T
=
,
300 T
=
,
300
I
V =
,
150
NI
V =
. Sedangkan nilai parameter yang digunakan, yaitu
200 s
=
,
400 p
=
,
1000 Tm
=
,
3 d
=
,
0.6 δ =
,
4 c
=
,
3 k
=
,
12 N
=
. Semua nilai awal dan parameter diambil sembarang selama
memenuhi asumsi.
Gambar 4 Perkembangan Sel Darah Putih Sehat T
Dalam Gambar 4 digambarkan dinamika populasi sel darah putih sehat terhadap waktu.
Berdasarkan gambar di atas dapat dilihat bahwa semakin bertambahnya waktu maka
jumlah sel darah putih sehat akan mengalami penurunan dari nilai awalnya yaitu 500 hingga
mencapai nilai minimum setelah itu jumlah semakin meningkat dan akan berada pada
jumlah yang tetap menuju nilai kestabilannya 993,04.
Gambar 5 Perkembangan Jumlah Sel Darah Putih yang Terinfeksi
Dalam Gambar 5 digambarkan dinamika populasi sel darah putih terinfeksi terhadap
waktu. Berdasarkan gambar di atas dapat dilihat bahwa semakin bertambahnya waktu
maka jumlah sel darah putih yang terinfeksi mengalami peningkatan yang sangat
signifikan dalam waktu yang singkat hingga mencapai nilai maksimum setelah itu akan
menurun dan mencapai nilai nol yang artinya jumlah sel darah putih terinfeksi akan habis.
Gambar 6 Perkembangan jumlah virus yang dapat menginfeksi
Dalam Gambar 6 digambarkan dinamika populasi virus yang dapat menginfeksi
terhadap waktu. Berdasarkan gambar di atas dapat dilihat bahwa semakin bertambahnya
waktu maka jumlah virus yang tidak dapat menginfeksi akan mengalami penurunan dari
nilai awalnya dari nilai dan stabil pada nilai nol yang artinya jumlah sel darah putih
terinfeksi akan habis.
Gambar 7 Perkembangan jumlah virus yang tidak dapat menginfeksi
2 4
6 8
1 5000
10 000 15 000
20 000 25 000
30 000 35 000
Waktu
Se l
D ar
ah Pu
ti h
T er
in fe
ks i
0.0 0.2
0.4 0.6
0.8 1.0
50 100
150 200
250 300
350
Waktu
V ir
us yan
g da
pat m
en gi
nf ek
si
2 4
6 8
10 10 000
20 000 30 000
40 000 50 000
60 000
Waktu
V ir
us ya
ng tid
ak da
pa t
m engi
nf ek
si
Dalam Gambar 7 digambarkan dinamika populasi virus yang tidak dapat menginfeksi
terhadap waktu. Berdasarkan Gambar 7 dapat dilihat bahwa dengan bertambahnya waktu
maka jumlah virus yang tidak dapat menginfeksi akan mengalami peningkatan
dari nilai awalnya hingga mencapai nilai maksimum setelah itu akan menurun dan
mencapai nilai nol yang artinya jumlah virus yang tidak dapat menginfeksi akan habis.
4.4 Penentuan Titik Tetap Model Protease Inhibitor Tidak Sempurna