II LANDASAN TEORI
2.1 Sistem Persamaan Diferensial Linear
SPDL Suatu persamaan diferensial linear orde-1
dinyatakan sebagai berikut: x a t x
g t +
= 2.1
dengan a t dan
g t adalah fungsi dari waktu t. Bila
a t adalah suatu matriks berukuran
n n
×
dengan koefisien konstan dan g t dinyatakan sebagai vektor konstan b
maka diperoleh bentuk SPDL sebagai berikut: ,
dx Ax b
x x
dt =
+ = .
2.2 [Farlow,
1990]
2.2 Titik Tetap
Diberikan sistem persamaan differensial sebagai berikut
1 2
, ,...
x f x x
= ,
1 2
, ,...
n
x x ∈ ℜ . 2.3
Suatu titik x yang memenuhi
f x =
disebut titik kesetimbangan atau titik tetap dari sistem.
[Verhulst, 1990]
2.3 Pelinearan
Misalkan ,
, x
f x y y
g x y =
= andaikan
, x y
adalah titik tetap dari persamaan di atas, maka
, f x
y = dan
, g x
y = .
Misalkan u
x x
= − dan v
y y
= − maka
didapatkan
2 2
2 2
2 2
2 2
, ,
, ,
, ,
, ,
, ,
, ,
. u
x f x
u y v
f f
f x y u
v u v uv
x y
f f
u v
u v uv x
y v
y g x
u y v
g g
g x y u
v u v uv
x y
g g
u v
u v uv x
y =
= +
+ ∂
∂ =
+ +
+ Ο ∂
∂ ∂
∂ =
+ + Ο
∂ ∂
= =
+ +
∂ ∂
= +
+ + Ο
∂ ∂
∂ ∂
= +
+ Ο ∂
∂ Dalam bentuk matriks
2 2
. f
f u
u x
y u
v uv
v g
g v
x y
∂ ∂
⎛ ⎞
⎜ ⎟
∂ ∂
⎛ ⎞ ⎛ ⎞
⎜ ⎟
= + Ο
+ +
⎜ ⎟ ⎜ ⎟
⎜ ⎟
∂ ∂
⎝ ⎠ ⎝ ⎠
⎜ ⎟
∂ ∂
⎝ ⎠
Matriks
, x y
f f
x y
A g
g x
y ∂
∂ ⎡
⎤ ⎢
⎥ ∂
∂ ⎢
⎥ =
∂ ∂
⎢ ⎥
⎢ ⎥
∂ ∂
⎣ ⎦
disebut matriks Jacobi pada titik tetap
, x y
. Karena
2 2
u v
uv Ο
+ +
→ maka dapat diabaikan, sehingga didapat persamaan linear
. f
f u
u x
y v
g g
v x
y ∂
∂ ⎛
⎞ ⎜
⎟ ∂
∂ ⎛ ⎞
⎛ ⎞ ⎜
⎟ =
⎜ ⎟ ⎜ ⎟
⎜ ⎟
∂ ∂
⎝ ⎠ ⎝ ⎠
⎜ ⎟
∂ ∂
⎝ ⎠
2.4 [Strogatz,1994]
2.4 Nilai Eigen dan Vektor Eigen
Misalakan A adalah matriks
n n
×
, maka suatu vektor taknol
x
di dalam
n
R disebut vektor eigen dari A jika untuk suatu skalar
λ berlaku
Ax x
λ =
2.5 vektor
x
disebut vektor eigen yang bersesuaian dengan nilai eigen
λ . Untuk mencari nilai eigen dari matriks A
yang berukuran
n n
×
maka persamaan 2.5 dapat dituliskan kembali sebagai berikut
A I x
λ
− = 2.6
dengan I matriks identitas. Persamaan 2.6 mempunyai solusi taknol jika dan hanya jika
det A
I A
I
λ λ
− =
− =
. 2.7
Persamaan 2.7 disebut persamaan karakteristik dari matriks A.
[Anton, 1995]
2.5 Analisis Kestabilan Titik Tetap
Kategori