Dalam Gambar 7 digambarkan dinamika populasi virus yang tidak dapat menginfeksi
terhadap waktu. Berdasarkan Gambar 7 dapat dilihat bahwa dengan bertambahnya waktu
maka jumlah virus yang tidak dapat menginfeksi akan mengalami peningkatan
dari nilai awalnya hingga mencapai nilai maksimum setelah itu akan menurun dan
mencapai nilai nol yang artinya jumlah virus yang tidak dapat menginfeksi akan habis.
4.4 Penentuan Titik Tetap Model Protease Inhibitor Tidak Sempurna
Titik tetap sistem persamaan 3.1 dapat diperoleh dengan menentukan,
0 , 0 ,
dT dT
dt dt
= =
0 ,
NI I
dV dV
dt dt
= = .
Sehingga diperoleh persamaan sebagai berikut:
max
1 1
0.
T I
I PI
I PI
NI
T s
pT d T
kV T T
kV T T
N T cV
N T cV
δ η
δ η
δ ⎛
⎞ +
− −
− =
⎜ ⎟
⎝ ⎠
− =
− −
= −
= 4.11
Dari hasil analisis akan diperoleh dua titik tetap, yaitu titik tetap tanpa penyakit dan titik
tetap endemik. 4.5 Analisis Kestabilan Titik Tetap Model
Protease Inhibitor Sempurna
Misalkan sistem persamaan 4.11 dituliskan sebagai berikut:
, ,
, ,
, ,
, ,
, ,
, ,
, ,
, .
I NI
I NI
I I
NI NI
I NI
dT P T T V V
dt dT
Q T T V V dt
dV R T T V V
dt dV
S T T V V dt
= =
= =
Dengan melakukan pelinearan pada sistem 4.11 maka diperoleh matriks Jacobi
sebagai berikut:
I NI
I NI
I NI
I NI
T V
V T
T V
V T
T V
V T
T V
V T
P P
P P
Q Q
Q Q
J R
R R
R S
S S
S ⎡
⎤ ⎢
⎥ ⎢
⎥ = ⎢
⎥ ⎢
⎥ ⎢
⎥ ⎣
⎦
max
2
1
T I
I PI
PI
pT p
d kV
kT T
kV kT
J N
c N
c δ
η δ
η δ
⎡ ⎤
− −
− −
⎢ ⎥
⎢ ⎥
⎢ ⎥
− =
⎢ ⎥
− −
⎢ ⎥
⎢ ⎥
− ⎣
⎦ Titik tetap tanpa penyakit
Titik tetap pertama yang diperoleh dari persamaan 4.11 yaitu titik tetap tanpa
penyakit di mana tidak ada sel darah putih yang terinfeksi dan virusnya. Diperoleh titik
tetapnya yaitu
1 2
max max
, ,
, 4
, 0, 0, 0 2
I NI
T T
H T T V V T
ps p
d p
d p
T =
⎛ ⎞
⎛ ⎞
− +
− +
⎜ ⎟
⎜ ⎟
⎜ ⎟
⎜ ⎟
⎝ ⎠
⎝ ⎠
Pelinearan pada titik tetap
1
, ,
,
I NI
H T T
V V
maka akan menghasilkan matriks Jacobi
4 4 ij
J j
×
= sebagai berikut
11 12
13 14
21 22
23 24
31 32
33 34
41 42
43 44
j j
j j
j j
j j
J j
j j
j j
j j
j ⎡
⎤ ⎢
⎥ ⎢
⎥ =
⎢ ⎥
⎢ ⎥
⎣ ⎦
dengan
2 11
max
4
T
ps j
p d
T = −
− +
12 14
0 , j
j =
=
13
j
k T = −
21 22
24
0 , ,
j j
j
δ
= = −
=
23
j
k T =
31 33
34 32
0 , ,
1
PI
j j
c j
j N
η δ
= = −
= = −
41 43
44 42
0 , 0 ,
PI
j j
j c
j N
η δ
= =
= − =
Nilai eigen dapat diperoleh dengan menyelesaikan persamaan karakteristik
det J
I
λ
− = , sehingga akan diperoleh
nilai eigen untuk matriks J, yaitu:
[ ]
[ ]
1 2
max 2
3 2
4
2 4
1 2
2 4
1 2
2
PI PI
d p
c pT
T c
c NkT
c c
c NkT
c λ
λ δ
δ η
δ λ
δ δ
η δ
λ
− + −
= − =
+ −
− − − +
= −
+ −
− − − +
= +
karena nilai eigen
1 3
dan
λ λ
bernilai negatif maka kestabilan di titik tetap ini bergantung
pada nilai eigen
2 4
dan
λ λ
. Jika
2
λ
yang mana kondisi ini akan dipenuhi ketika
max
2
T
pT p
d T
−
maka titik tetap ini akan stabil.
Kondisi stabil yang dipenuhi ketika
max
2
T
pT p
d T
−
dapat ditulis dalam
max
1 2
T
p d
T pT
− .
max
2
T
p d
T pT
− merupakan
bilangan reproduksi dasar virus dalam populasi R
o
. Sehingga ketika
max
1 2
T
p d
T pT
− atau R
o
1 yang merupakan kondisi stabil maka virus tidak dapat bertahan di dalam
populasi. Sebaliknya ketika
max
1 2
T
p d
T pT
− atau R
o
1 maka populasi tidak stabil karena virus akan bertahan dalam populasi. Dapat
disimpulkan bahwa titik tetap tanpa penyakit bersifat stabil jika R
o
1 dan tidak stabil jika R
o
1. Dan terdapat asumsi tambahan yaitu jika
4
λ
maka kondisi ini akan dipenuhi ketika c
NkT .
Titik tetap endemik
Titik tetap kedua yang diperoleh dari persamaan 4.12 yaitu titik tetap endemik di
mana terdapat sel darah putih terinfeksi dan virusnya. Diperoleh titik tetapnya yaitu
2 2
2 2
2
, ,
,
I NI
H T T V
V =
, dengan
2 2
2 2
m a x 2
m a x m a x
1 1
1 1
1 1
P I T
P I T
P I I
P I P I
P I N I
T P I
P I
p d
k
c T
N k s
c c p
T p
d N k
k N T N s
c p V
c N k T
N s c p
V d
p c
k k N T
η δ
η δ
η η
η η
η η
− +
= −
= −
− −
− =
− −
= −
− −
− + − +
⎛ ⎞
+ ⎜
⎟ ⎝
⎠
⎛ ⎞
⎜ ⎟
⎝ ⎠
Pelinearan pada titik tetap
2 2
2 2
2
, ,
,
I NI
H T T
V V
=
dengan matriks Jacobi
sebagai berikut
max
2
2 1
T I
I PI
PI
pT p
d kV
kT T
J kV
kT N
c N
c
δ η
δ η
δ
− −
− −
= −
− −
−
⎡ ⎤
⎢ ⎥
⎢ ⎥
⎢ ⎥
⎢ ⎥
⎢ ⎥
⎣ ⎦
Untuk memperoleh nilai eigen digunakan persamaan karakteristik
2
det J
I
λ
− =
max
2 1
T I
I PI
PI
pT p
d kV
kT T
kV kT
N c
N c
λ
δ λ η
δ λ
η δ
λ
−
− −
− −
− − −
− − − −
=
sehingga diperoleh nilai eigen
2
J , yaitu:
1 1
1 3
3 2
3 2
1 1
3 3
2 3
1 3
2 3
3 1
1 1
3 3
2 3
3 1
3 2
3 4
1 1
1 3
3 2
3 3
2 1
4 3 2
3 4
1 3
1 1
3 4
6 2 3 2
4 1
3 1
1 3
4 6 2
3 2 4
m m
m m
m m
c v
u w
w v
T T
w w
v i
v u
i w
w v
T T
w w
v i
v u
i w
w v
T T
w w
v
λ λ
λ
λ
→ − ⎡
⎤ → − −
+ +
+ ⎣
⎦ ⎡
⎤ +
+ ⎣
⎦ +
⎡ ⎤
→ − + −
− +
+ ⎣
⎦ ⎡
⎤ +
+ ⎣
⎦ −
⎡ ⎤
→ − + −
+ +
+ ⎣
⎦ ⎡
⎤ +
+ ⎣
⎦ dengan nilai u, v, dan w dalam lampiran.
Berikut adalah tabel kondisi kestabilan dari dua titik tetap yang diperoleh.
Tabel 1 Tabel Kestabilan
Kondisi
1
H
2
H
max
1 2
T
p d
T pT
− atau
1 R
Simpul stabil Spiral takstabil
max
1 2
T
p d
T pT
− atau
1 R
Simpul takstabil Spiral stabil
Titik tetap endemik dapat dinyatakan dalam R
o
yaitu sebagai berikut 1
pi
c T
Nk
η
= −
2 max
max
2 pT
T R
s T
T δ
δ −
= −
2 max
2
I
pTR s
pT V
kT kT
− =
+
2 max
max max
2
pi NI
N sT pT c T
R V
cT
η
− −
=
4.6 Dinamika populasi virus saat R
