25
Defenisi 2.3.6 Graf Berbobot Dan Graf Berlabel
Graf berbobot graf yang setiap sisinya diberi sebuah bobot sedangkan graf berlabel adalah graf yang tidak memiliki bobot.
Gambar 2.12 Graf Berbobot Dan Graf Berlabel Defeinisi 2.3.7 Distance
Distance antara dua vertex v
i
dan v
j
dituliskan d v
1,
v
2
diartikan sebagai panjang terpendek antara v
i
dan v
j.
Sebagai contoh dapat dilihat pada gambar 2.12 yaitu jarak dari a ke b atau d a,b adalah 12.
2.4 Lintasan Dan Hamilton Cycle
Lintasan Hamilton adalah lintasan yang melalui tiap vertex di dalam graf G tepat satu kali. Bila lintasan itu kembali lagi ke vertex awal dan membentuk lintasan
tertutup cycle, maka lintasan tertutup itu dinamakan Hamilton Cycle. Jadi, Hamilton Cycle adalah cycle yang melalui tiap vertex di dalam graf G tepat satu kali, kecuali
vertex awal dan vertex akhir dan graf yang memiliki Hamilton Cycle dinamakan Hamilton Graf.
Istilah Hamilton Cycle pertama kali muncul pada tahun 1987 sejak Sir William Hamilton membuat suatu permainan teka-teki mengenai sebuah dodecahedron yaitu
sebuah benda padat yang terdiri dari 12 buah sisi yang berbentuk segilima dan terdapat 20 titik sudut, dan tiap titik sudut diberi nama sebuah kota. Adapun teka-
tekinya adalah bagaimana menentukan sebuah bangunan yang berbentuk cycle sepanjang edge-edge dari dodecahedron tersebut yang melalui setiap kota tepat hanya
satu kali.
a b
c d
e 10
12 8
15 9
11 14
a b
c d
e
Universitas Sumatera Utara
26
Gambar 2.13 Graf Hamilton
Teorema 2.4.1 Di dalam sebuah graf lengkap G dengan sekurang-kurangnya 3 buah vertex ,
selalu terdapat suatu hamilton cycle. Bukti :
Misalkan di dalam suatu graf lengkap terdapat sebuah lintasan dengan p-1 edge yang bertemu dengan barisan vertex-vertex v
1
,v
2
,…,v
p
. Misalkan v
x
sebuah vertex yang tidak ada dalam lintasan ini. Jika edge v
x
,v
1
di dalam graf ini, maka edge ini dapat digandengkan pada lintasan tadi sehingga vertex v
x
sekarang ada di dalam lintasan gandengannya. Akan tetapi jika tidak ada edge v
x
,v
1
, maka di dalam lintasan gandengannnya ini pasti terdapat edge v
1
,v
x
. Misalkan edge v
x
,v
2
juga ada di dalam graf ini, dengan demikian edge v
1
,v
2
di dalam lintasan asal dapat diganti
Universitas Sumatera Utara
27 dengan kedua edge v
1
,v
x
dan v
x
,v
2
sehingga vertex v
x
ada dalam lintasan gandengannnya. Akan tetapi jika edge v
x
,v
2
tidak ada, maka pasti edge v
2
,v
x
ada didalam graf dan cara diatas diulangi lagi. Pada akhirnya jika ternyata tidak mungkin
memasukkan vertex v
x
ke dalam lintasan gandengan dengan cara mengganti edge v
x
,v
k+1
di dalam lintasan asalnya dengan kedua edge v
k
,v
x
dan v
k
,v
k+1
, dengan 1
≤k≤p-1, maka dapat disimpulkan pastiada edge v
p
,v
x
di dalam graf ini. Oleh karenanya,edge v
p
,v
x
dapat digandengkan pada lintasan asalnya agar v
x
berada di dalam lintasan gandengannya. Langkah-langkah diulangi terus sampai semua vertex
yang ada di dalam graf ini tercakup di dalam lintasan.
2.5 Travelling Salesman Problem
