Matriks yang memiliki baris tunggal yang disebut vektor baris, dan yang memiliki satu kolom disebut vektor kolom. Sebuah matriks yang memiliki jumlah
yang sama dari baris dan kolom disebut matriks persegi. Sebuah matriks dengan
jumlah baris atau kolom tak terbatas atau keduanya disebut matriks yang tak terbatas infinite matrix. Dalam beberapa konteks, seperti program komputer
aljabar, mungkin terdapat matriks tanpa baris atau kolom yang disebut matriks kosong. Matriks biasanya ditulis dalam tanda kurung kotak atau tanda kurung
besar:
[ ]
.
Notasi dari matriks bervariasi. Biasanya matriks disimbolkan dengan huruf
besar seperti contoh A di atas, di mana yang menggunakan huruf kecil dengan
indeks kecil misalkan a
11
merepresentasikan entrielemen.
2.3.1 Operasi Dasar Matriks
Ada beberapa operasi dasar yang dapat diterapkan pada matriks, disebut penjumlahan matriks, perkalian skalar, transposisi, perkalian matriks, operasi
baris, dan submatriks. Penjumlahan matriks adalah operasi menjumlahkan dua matriks, di mana
kedua matriks tersebut harus memiliki banyak baris dan banyak kolom yang sama. Contoh:
Perkalian skalar adalah perkalian dari c merupakan skalar dan matriks A, di mana setiap elemen A dikalikan dengan c.
Universitas Sumatera Utara
Contoh:
Transposisi adalah saat semua elemen pada suatu matriks bertukar posisi di mana dari m x n menjadi n x m baris awal menjadi kolom dan kolom awal
menjadi baris. Contoh:
[ ]
Perkalian matriks adalah perkalian antara dua matriks, di mana hanya bisa dilakukan jika banyaknya kolom dari matriks sebelah kiri sama banyak dengan
baris dari matriks sebelah kanan. Misalkan A adalah matriks nxm dan B adalah matriks nxp, maka hasil kali AB adalah matriks mxp:
[ ]
[ ]
[ ]
di mana setiap elemen i, j didapat dengan dikalikannya elemen A
ik
sepanjang
baris i pada A dengan elemen B
kj
sepanjang kolom j pada B, untuk k = 1, 2, ...,
m , dan menghitung hasil terhadap k:
∑
Terlihat bahwa hasil dari AB terdefinisi jika hanya banyak kolom A sama dengan banyak kolom B, dalam hal ini m. Setiap entri mungkin dihitung satu per
satu.
Universitas Sumatera Utara
Contoh: [
] [
] Perkalian matriks sendiri tidak komutatif, dimana AB ≠ BA
Contoh 2: [
]
Untuk operasi baris, terdapat tiga tipe operasi: 1.
Penjumlahan baris 2.
Perkalian baris 3.
Perpindahan baris Submatriks adalah penghapusan sekumpulan baris danatau kolom dari
matriks. Contohnya, dari matriks 3x4, kita bisa membuat matriks 2x3 dengan menghapus, misalnya baris 3 dan kolom 2:
[ ]
2.3.2 Contoh Matriks Transisi
Pada bagian ini, kita akan menyelidiki probabilitas transisi P
ij
proses rantai Markov sampai langkah ke-n.
Misalkan Pij adalah probabilitas dengan memproses dari kondisi j akan berada pada kondisi i setelah terjadi transisi ke-n. Ditulis P
ij 1
= P
ij
. Dengan demikian P
n
= P
n
di mana P
n
adalah probabilitas matriks transisi n-langkah dan P
adalah probabilitas matriks transisi 1-langkah.
Universitas Sumatera Utara
Akan dibuktikan proposisi dengan menggunakan induksi matematika. Jelas proposisi adalah benar ketika n = 1. Kemudian, anggap bahwa proposisi adalah
benar untuk n. Diketahui bahwa:
sebanyak n
kemudian,
∑ ∑
Dengan prinsip induksi matematika, proposisi ini berlaku untuk semua bilangan bulat non-negatif n.
Kesimpulannya, dapat dilihat bahwa:
Contoh 2: Anggap ada persoalan pemasaran. Dalam model yang kita miliki [
]
Jika α = 0,3 dan β = 0,4 maka didapat [
]
Misalkan pada state awal pelanggan membeli di toko A α. Maka dia akan
membeli di toko A pada pembelian ke-4 dengan peluang , dan
membeli di toko B pada pembelian ke-4 .
Jika pada state awal pelanggan membeli di toko B β, maka dia akan
membeli di toko A pada pembelian ke-4 dengan peluang , dan
membeli di toko B pada pembelian ke-4 .
Universitas Sumatera Utara
Contoh 3: Diketahui proses pada rantai markov memiliki kondisi {0, 1, 2, ...}. Anggap kita berada pada waktu n = 0 dengan probabilitas saat pada kondisi i
adalah a
i
, i = 0, 1, 2, .... Yang menjadi pertanyaan, berapakah probabilitas pada kondisi i setelah n transisi? Dapat diketahui probabilitasnya adalah
, di mana P
ji
adalah probabilitas transisi satu-langkah dari kondisi i ke kondisi j. Maka probabilitas yang diperlukan adalah:
∑ ∑
maka ̃
̃ menjadi distribusi probabilitas dari kondisi pada proses rantai Markov saat transisi
ke-n. Di sini ̃
adalah probabilitas di mana proses berada pada kondisi i setelah n
transisi dan ∑
̃ .
Bisa diperiksa bahwa
dan
Contoh 4: Terdapat matriks transisi di bawah ini [
]
Dan misalkan kita hanya membutuhkan baris ke-2 dari matriks di atas. Kita bisa melakukan sebagai berikut:
Buat matriks 1 x 3: , di mana 0 nol yang pertama untuk
dikalikan ke baris ke-1 dari matriks P, 1 dikalikan ke baris ke-2 dari matriks P, 0 nol yang kedua untuk dikalikan ke baris ke-3 dari matriks P.
Universitas Sumatera Utara
Kemudian kalikan kedua matriks
[ ]
Didapatlah baris kedua dari matriks P, yaitu P
’
Universitas Sumatera Utara
BAB I PENDAHULUAN
1.1 Latar Belakang
Kita ketahui terdapat berbagai penyakit yang ada di dunia. Dari berbagai penyakit tersebut terdiri dari penyakit yang mudah sampai yang sulit disembuhkan, bahkan
ada yang tidak bisa disembuhkan penyakit kronis. Salah satu penyakit yang tidak bisa disembuhkan adalah hipertensi. Hipertensi adalah kondisi medis yang
kronis di mana tekanan darah secara bertahap naik sampai melebihi batas normal. Hipertensi awalnya tidak menimbulkan gejala, tetapi tekanan darah yang tidak
kunjung turun akan memunculkan penyakit yang berkaitan dengan jantung. Setiap penyakit pasti memerlukan tindakan medis, baik berupa pengobatan
maupun pencegahan. Dalam tindakan medis diperlukan keputusan yang tepat sehingga pasien dapat mendapatkan pengobatan yang tepat. Dalam pengambilan
keputusan yang tepat haruslah berdasarkan kemungkinan terbaik dari informasi yang berkenaan dengan penyakit tersebut. Keputusan akan sulit diambil apabila
beberapa kemungkinan dari hasil yang diambil dari informasi tersebut tidak memiliki peluang yang pasti.
Dengan berkembangnya ilmu pengetahuan dan teknologi yang sangat cepat dan pesat, ilmu statistik ikut berperan penting. Pada era globalisasi seperti
sekarang ini, ilmu ini sangat diperlukan, sehingga pengambilan keputusan tersebut perlu dibuat berdasarkan data-data statistik. Salah satu bagian dari statistika
adalah rantai Markov Markov chain. Rantai Markov adalah sistem matematika yang menjalankan transisi dari satu keadaan ke keadaan lain pada suatu ruang
kondisi. Salah satu kegunaan rantai Markov yaitu meramalkan kemungkinan- kemungkinan terhadap kejadian di masa depan, sehingga dapat membantu dalam
mengambil keputusan.
Universitas Sumatera Utara
