Selanjutnya pada sub-bab berikut akan dibahas mengenai pertidaksamaan Rao- Cramer Bound atau Rao- Cramer Lower Bound.
2.4.2.3 Batas Bawah Rao-Cramer
Menurut Hog dan Craig tahun 1995, ketidaksamaan Rao -Cramer-Bound CRB
dapat dituliskan sebagai berikut: ̂
[ ]
[ ]
[ ]
Jika adalah penduga tak bias bagi , jadi k
sehingga kemudian Rao -Cramer-Bound menjadi
̂
Dimana disebut sebagai Rao Cramer Lower Bound
Kemudian akan dijelaskan definisi tentang penduga yang efisien yaitu: Definisi 2.8 Penduga yang efisien
Misalkan Y merupakan penduga tak bias dari suatu parameter dalam kasus
pendugaan titik. Statistik Y disebut penduga yang efisien dari jika dan hanya
jika ragam dari Y mencapai batas bawah Rao Cramer Lower Bound Hogg dan Craig,1995.
2.4.3 Penduga Konsisten Consistency
Selain Sifat ketakbiasan, sifat kekonsistenan harus dipenuhi suatu penduga parameter yang baik. Adapun penjelasannya sebagai berikut:
Apabila ̂
merupakan penduga parameter yang ditentukan berdasarkan sampel
berukuran n, maka ̂
disebut penduga yang konsisten , apabila ̂
konvergen dalam peluang ke
untuk atau untuk setiap Definisi 2.9 konsisten
Barisan dari variabel acak X
1
, X
2
,....... X
n
konvergen dalam peluang ke variabel acak X jika untuk setiap
[ ̂ ] Atau ekuivalen dengan persamaan berikut:
[ ̂ ] Selanjutnya akan diberikan teorema pendukung yang berkaitan dengan pengujian
sifat kekonsistenan penduga parameter. Teorema Pertidaksamaan Chebyshev akan diberikan dengan Teorema 2.1 sebagai
berikut: Teorema 2.1 Teorema Pertidaksamaan Chebyshev
Misalkan X variabel acak dengan rata-rata dan ragam
. Untuk , k 0
| | Atau ekuivalen dengan
| | Dan jika dimisalkan
maka | |
Atau ekuivalen dengan | |
Pada sub-bab selanjutnya akan dijelaskan sifat konsisten penduga parameter distribusi yang baik.
2.5 Varian-Kovarian Asimtotik Penduga Parameter dari Metode
Generalized Momen
Asimtotik Varian-Kovarian distribusi Generalized Eksponensial ̂ ̂ diperoleh
dari Varian-Kovarian Momen
dan sebagai berikut :
[ ̂
̂ ̂ ̂
] [ ]
[ ]
Keterangan: [
] [
] [
]
[ ]
[ [
] [
] [
]] Ashkar dan Mahdi, 2006.
III. METODOLOGI PENELITIAN
3.1 Waktu dan Tempat Penelitian
Penelitian ini dilakukan di Jurusan Matematika Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam Universitas Lampung, dan dilakukan pada semester ganjil
20142015.
3.2 Metode Penelitian
Langkah-langkah yang dilakukan dalam penelitian ini adalah sebagai berikut: 1.
Membuat kurva fungsi kepekatan peluang fkp dari distribusi Generalized Eksponensial
menggunakan software R versi 3.1.2. 2.
Menduga parameter , pada distribusi Generalized Eksponensial ,
dengan menggunakan metode Generalized Momen. 3.
Memeriksa ketakbiasan penduga parameter , pada Distribusi
Generalized Eksponensial ,
4. Memeriksa varian minimum penduga parameter distribusi Generalized
Eksponensial dengan langkah-langkah sebagai berikut:
4.1.1 Mencari matriks Information Fisher dari Penduga ̂
̂ pada distribusi Generalized Eksponensial
. 4.1.2 Menentukan pertidaksamaan Cramer-Rao untuk ragam dari penduga
̂ ̂ pada distribusi Generalized Eksponensial .
5. Memeriksa kekonsistenan masing-masing penduga parameter distribusi
Generalized Eksponensial dengan Teorema Chebyshev.
6. Mencari matriks varian dan covarian asimtotik dari distribusi Generalized
Eksponensial menggunakan Generalized momen.
V. KESIMPULAN
Dari penelitian yang telah dilakukan diperoleh beberapa kesimpulan, yaitu:
1. Pada distribusi GE nilai parameter mempengaruhi letak pemusatan data
yaitu jika nilai semakin kecil maka pemusatan data kurva semakin bergeser
ke kiri dan jika nilai semakin besar maka pemusatan data kurva akan
semakin ke kanan. Sedangkan nilai mempengaruhi bentuk kurva semakin
runcing serta lebar kurva semakin kecil saat nilai meningkat, Dan
sebaliknnya bentuk kurva semakin
landai
dan lebar kurva semakin besar saat nilai
menurun . Jika maka bentuk kurva serupa dengan distribusi Eksponensial. Sedangkan pada teori bahwa
merupakan parameter bentuk dan
merupakan parameter skala, namun pada kurva yang diperoleh pada penelitian ini
merupakan parameter lokasi dan merupakan parameter bentuk.
2. Penduga parameter distribusi Generalized Eksponensial menggunakan
metode generalized momen adalah :
̂ [ ∑
]
⁄
̂ [
∑ ]
⁄
[ ]
⁄
∑
3. Penduga parameter distribusi Generalized Eksponensial menggunakan
metode Generalized Momen merupakan penduga yang tak bias, varian minimum dan konsisten.
4. Matriks varian- kovarian asimtotik distribusi Generalized Eksponensial
menggunakan metode Generalized Momen adalah sebagai berikut:
[ ̂
̂ ̂ ̂
]
[ ]