I nvers Matriks Determinan dan I nvers Matriks

99 BAB I I I Matriks Contoh 31 Tentukan invers dari        d c b a A Jawab: Determinan A detA adalah det A = bc ad d c b a   Minor dari A adalah M 11 = | d | = d M 21 = | b | = b M 12 = | c | = c M 22 = | a | = a Kofaktor dari A adalah C 11 = -1 1+ 1 M 11 = d C 21 = -1 2+ 1 M 21 = -b C 12 = -1 1+ 2 M 12 = -c C 22 = -1 2+ 2 M 22 = a Matriks kofaktor         a b c d sedangkan matriks adjoin adj A =                  a c b d a b c d T I nvers matriks A adalah             a c b d bc ad 1 A adj A det 1 A 1 Contoh 32 Dengan menggunakan hasil terakhir pada contoh 31 di atas, tentukan invers dari: a.          4 2 7 4 A b.               3 2 4 1 4 1 5 2 A Jawab: a. DetA = -4 4  – -2 7  = -16 + 14 = -2 sehingga:                        2 1 2 1 3 2 4 2 7 4 2 1 A Adjoin . A det 1 1 A b. DetA = -2 3 4   + 4 1    +   1 5 -2 – 5 4 4   + -2  -1  -2 + 1 3   = -24 – 0 – 10 – 80 – 4 + 0 = -34 – 76 = -110 A Adjoin A det 1 1 A    dari Contoh 29 diperoleh Adj A 110 1 1 A                     8 4 8 1 3 26 7 2 1 10 100 Matematika X SMK Kelompok: Penjualan dan Akuntansi Catatan  Matriks yang mempunyai invers adalah matriks yang nilai determinannya  0, matriks seperti ini disebut matriks nonsingular , sedangkan matriks yang harga determinannya = 0 disebut matriks singular .  I nvers suatu matriks jika ada dan tunggal, maka berlaku sifat ƒ A –1 –1 = A ƒ A x B –1 = B –1 x A –1 Contoh 33 Manakah yang termasuk matriks singular dan matriks nonsingular a. A =       6 3 4 2 b. B =          5 4 2 10 Jawab: a. det A =  2 6 –  3 4 = 12 – 12 = 0, karena determinannya 0 maka disebut matriks singular b. det B =  4 -5 – -2  -10 = -20 – 20 = -40, karena determinannya tidak 0 maka disebut matriks nonsingular Contoh 34 Diketahui matriks A =       7 3 5 2 dan B =       16 5 3 1 , tentukan matriks dari: a. AB –1 b. B –1 A  –1 Jawab: a. AB =       7 3 5 2       16 5 3 1 =           112 9 35 3 80 6 25 2 =       121 38 86 27 AB –1 =                   27 38 86 121 27 38 86 121 86 x 38 121 x 27 1 b. A –1 =                   2 3 5 7 2 3 5 7 5 x 3 7 x 2 1 B –1 =                   1 5 3 16 1 5 3 16 5 x 3 16 x 1 1 B –1 .A –1 =         1 5 3 16         2 3 5 7 =             2 25 3 35 6 80 9 112 =         27 38 86 121 Ternyata, dari jawaban a dan b pada contoh soal di atas, diperoleh kesimpulan A x B –1 = B –1 x A –1 101 BAB I I I Matriks 1. Hitunglah determinan matriks berikut. a. 2 3 2 1  c. 2 4 3  e. 6 7 1 5  b. 6 2 9 3   d. 5 , 2 5 2 4   f. 3 1 4  2. Tentukan determinan dari matriks ordo 3 di bawah ini. a.              1 3 4 1 2 1 1 c.              2 4 5 1 2 1 e.             1 1 5 1 1 2 2 b.              1 2 2 6 1 4 2 2 d.              4 3 2 1 4 2 2 1 2 f.              2 4 4 2 1 3 2 1 3. Tentukan nilai x dari persamaan di bawah ini. a. 4 x 2 3  c. x 7 4 5 3 x 2    e. x 3 4 1 x 2 4 2 x 1      b. 5 1 1 2 2 x x 2   d. 2 x 1 1 1 2 x x 2   f. 5 x 2 5 4 1 1 2 2 x 1 x     4. Tunjukkan bahwa matriks-matriks di bawah ini saling invers. a.               3 2 5 3 dan 3 2 5 3 c.               4 1 3 1 dan 1 1 3 4 b.                 3 4 7 9 dan 9 4 7 3 d.                   6 5 5 4 dan 4 5 5 6 5. Carilah minor, matriks kofaktor, adjoin, dan invers dari matriks-matriks di bawah ini. a.        2 4 3 b.         6 4 3 1 c.         6 7 4 5 6. Carilah minor, kofaktor, adjoin, dan invers dari matriks-matriks pada soal nomor 2. 7. Diketahui                1 1 2 1 Q dan 2 1 3 2 P , tentukan a. P –1 e.  P Q –1 b. Q –1 f.  Q P –1 c. P –1 Q –1 g. Apakah  P Q –1 = Q –1 P –1 d. Q –1 P –1 h. Apakah  Q P –1 = P –1 Q –1 102 Matematika X SMK Kelompok: Penjualan dan Akuntansi 8. Manakah yang termasuk matriks singular dan nonsingular a.        5 3 3 2 c.         6 2 3 3 b.         2 1 2 1 d.        x cos 5 , 2 x sin 2 2

5. Menyelesaikan Sistem Persamaan Linier

Sistem persamaan linier dua atau tiga variabel selain dengan menggunakan eliminasi dan substitusi dapat juga digunakan invers dan kaidah Cramer untuk mencari himpunan penyelesaiannya. Beberapa langkah yang perlu diperhatikan untuk mencari himpunan penyelesaian sistem persamaan linier dengan menggunakan invers, adalah sebagai berikut. ™ Tulislah sistem persamaan dalam bentuk matriks. ™ Nyatakan bentuk tersebut ke dalam perkalian matriks koefisien dengan matriks variabelnya. a 11 x + a 12 y = c 1 a 21 x + a 22 y = c 2 , , C c c X y x A a a a a 2 1 22 21 12 11                    persamaan matriks berbentuk  A X = C ™ Kalikan kedua ruas dengan invers A atau A –1 , sehingga menjadi A –1 A X = A –1 C I X = A –1 C X = A –1 C Untuk persamaan yang berbentuk X A  = C, maka untuk mendapatkan X, kalikan kedua ruas dengan A -1 dari sebelah kanan, sehingga didapat X   A A –1 = C A –1 X I = C A –1 X = C A –1 Contoh 35 Tentukan nilai x dan y dari sistem persamaan 4x – 5y = -2 -3x + 4y = 4 Jawab: Sistem persamaan          4 y 4 x 3 2 y 5 x 4 jika dibuat dalam bentuk matriks menjadi                      4 2 y x 4 3 5 4 perkalian matriks tersebut berbentuk  A X = C dengan                        4 2 C dan y x X 4 3 5 4 A 103 BAB I I I Matriks 4 3 5 4 4 3 5 4 1 1 4 3 5 4 5 3 4 4 1 A 1                                                                 10 12 16 6 2 8 4 2 4 3 5 4 y x Jadi, himpunan penyelesaian dari sistem persamaan tersebut adalah { 12, 10} . Di samping menggunakan cara invers dapat juga penyelesaian sistem persamaan linier dicari dengan menggunakan kaidah Cramer. Jika  A X = C adalah sistem persamaan linear yang terdiri atas n persamaan linier dan n variabel yang tidak diketahui sehingga det A  0, maka sistem tersebut mempunyai penyelesaian yang unik tunggal. Penyelesaian tersebut adalah A det A det x ,. A det A det x , A det A det x n n 2 2 1 1    dimana A j adalah matriks yang didapat dengan cara mengganti entri-entri di dalam kolom ke-j dari A dengan entri-entri di dalam matriks            2 1 c c C Contoh 36 Gunakan kaidah Cramer untuk mencari himpunan penyelesaian sistem persamaan berikut ini. 3x – 5y = 11 2x + y = 3 Jawab: Bentuk perkalian matriks sistem persamaan tersebut adalah                     3 11 y x 1 2 5 3 , dari bentuk ini didapat. 13 5 2 1 3 1 2 5 3 A det dan 1 2 5 3 A                 26 15 11 5 3 1 11 1 3 5 11 A det dan 1 3 5 11 A 1 1                   13 11 2 3 3 3 2 11 3 A det dan 3 2 11 3 A 2 2               sehingga 1 13 13 A det A det y dan 2 13 26 A det A det x 2 1         Jadi, himpunan penyelesaian dari sistem persamaan adalah { 2, -1}