Definisi Persamaan dan Pertidaksamaan Linier Himpunan Penyelesaian Persamaan Linier Satu Variabel

47 BAB I I Persamaan dan Pertidaksamaan Dengan memperhatikan kedua hal di atas, maka langkah-langkah untuk menentukan penyelesaian persamaan linier satu variabel adalah sebagai berikut.  Jika variabel dan konstanta terdapat di sebelah kiri dan sebelah kanan “= ”, maka kelompokkan variabel dengan variabel dan letakkan sebelah kiri, kemudian konstanta dengan konstanta letakkan sebelah kanan = , atau sebaliknya. I ngat saat memindahkan variabel atau konstanta dari sebelah kiri ke sebelah kanan atau sebaliknya, maka tandanya berubah dari + menjadi – atau sebaliknya.  Jika beberapa variabel sudah dikelompokkan sebelah kiri maka beberapa konstanta di sebelah kanan atau sebaliknya. Jumlahkan atau kurangkan variabel tersebut begitu juga konstantanya seperti menjumlahkan bilangan bulat.  Jika konstanta sudah bergabung menjadi satu bilangan begitu juga variabelnya, maka bagilah gabungan konstanta dengan koefisien dari gabungan variabel tersebut. I ngat tanda + atau – dalam proses pembagian sudah dibahas pada modul sistem bilangan riil.  Jika bertemu dengan angka pecahan, baik yang sebelah kiri atau sebelah kanan “= ”, maka lebih baik kalikan dengan KPK dari penyebut pecahan tersebut. Contoh 3 Tentukan nilai x dari persamaan-persamaan berikut. a. 8x – 4 = 6x  12 e. 5x  2 – 2x = 13 b. 8x  2 = 20 f. 2 + 2p  3 = 12 c. 2 1 x  6 = 4 1 x – 7 g. 42x – 5 = 2x  4 d. 6 x 4 1 5 7 x 3    h. 3 1 6x  9 = 4 1 2x  4 Jawab: a. 8x – 4 = 6x  12 c. 2 1 x  6 = 4 1 x – 7 dikalikan 4 8x – 6x = 12  4 2x  24 = x – 28 2x = 16 2x – x = -28 – 24 x = 2 16 x = - 52 x = 8 b. 8x + 2 = 20 d. 6 x 4 1 5 7 x 3    dikalikan 30 8x + 16 = 20 63x + 7 = 51 + 4x 8x = 20 – 16 18x + 42 = 5 + 20x 8x = 4 18x – 20x = 5 – 42 x = 8 4 = 2 1 -2x = -37  x = 2 1 18 2 37    48 Matematika X SMK Kelompok: Penjualan dan Akuntansi         5 y x 3 3 y 2 x 2 y 14 7y 5 y 3x 9 6y 3x        1 3 5 y 3x 3 2y x x x      e. 5x + 2 – 2x = 13 g. 42x – 5 = 2x + 4 5x + 10 – 2x = 13 8x – 20 = 2x + 8 5x – 2x = 13 – 10 8x – 2x = 8 + 20 3x = 3 6x = 28  x = 3 2 4 6 4 4 6 28   f. 2 + 2p + 3 = 12 h. 3 1 6x + 9 = 4 1 2x + 4 kalikan 12 2 + 2p + 6 = 12 46x + 9 = 32x + 4 8 + 2p = 12 24x + 36 = 6x + 12 2p = 12 – 8 24x – 6x = 12 – 36 2p = 4 18x = -24 p = 2 x = 3 1 1 18 6 1 18 24     

3. Himpunan Penyelesaian Sistem Persamaan Linier Dua Variabel

Bentuk umum sistem persamaan linier dua variabel yang mempunyai variabel x dan y adalah. a 1 x + b 1 y = c 1 a 2 y + b 2 y = c 2 dengan a 1 , a 2 , b 1 , b 2 , c 1 , dan c 2 adalah bilangan riil. Untuk menentukan himpunan penyelesaian sistem persamaan linier adalah dengan mencari harga variabel atau peubah x dan y yang memenuhi sistem persamaan tersebut. Himpunan penyelesaian dapat dicari dengan menggunakan metode eliminasi, substitusi atau campuran dari kedua metode tersebut.

a. Metode Eliminasi

Eliminasi artinya melenyapkan. Menyelesaikan sistem persamaan linier dua variabel dengan cara eliminasi artinya mencari nilai variabel dengan melenyapkan variabel yang lain dengan cara mengurangkan atau menjumlahkannya. Untuk melenyapkan variabel tersebut, koefisiennya harus sama. Jika belum sama, maka masing-masing persamaan dikalikan dengan bilangan tertentu sehingga memiliki koefisien yang sama. Jika salah satu variabel dari dua persamaan memiliki koefisien sama, maka persamaan satu dijumlahkan dengan yang lainnya. Tetapi jika memiliki koefisien yang berlawanan, persamaan satu dikurangkan dengan yang lainnya. Contoh 4 Tentukan himpunan penyelesaian dari Jawab: Untuk mencari variabel y berarti variabel x yang dieliminasi. Untuk mengeliminasi atau melenyapkan variabel x, maka koefisien x disamakan terlebih dahulu dengan cara mengalikan dengan suatu bilangan sedemikian sehingga koefisien kedua persamaan tersebut sama. x = 1 49 BAB I I Persamaan dan Pertidaksamaan        10 y 2x 5 y 3x        10 y x 2 5 y x 3 2 1 5 y 3x 3 2y x x x      1 x 7 x 7 10 2y 6x 3 2y x           4 y 20 y 5 30 3y 6x 10 2y 6x          Sekarang melenyapkan variabel y untuk mencari x Himpunan penyelesaian sistem persamaan linier tersebut adalah { -1,2} Contoh 5 Tentukan himpunan penyelesaian dari Jawab: Karena koefisien y sudah sama sehingga untuk mencari x hanya mengeliminasi y dengan cara menjumlahkannya 3x + y = 5 2x – y = 10 + 5x = 15 x = 3 Untuk mencari y kita eliminasi x dengan mengalikan kedua persamaan sehingga koefisien x menjadi sama 3 2 10 y 2x 5 y 3x x x     Jadi, himpunan penyelesaian sistem adalah { 3, -4}

b. Metode Substitusi

Substitusi artinya mengganti atau menyatakan salah satu variabel dengan variabel lainnya. Contoh 6 Tentukan himpunan penyelesaian dari Jawab: 3x + y = 5 . . . 1 2x – y = 10 . . . 2 Misalkan yang akan disubstitusi atau diganti adalah variabel y pada persamaan 2, maka persamaan 1 dinyatakan dalam bentuk y = 5 – 3x. 2x – y = 10 2x – 5 – 3x = 10 2x – 5 + 3x = 10 5x – 5 = 10 5x = 10 + 5 5x = 15  x = 3 Selanjutnya x = 3 disubstitusikan ke y = 5 – 3x = 5 – 33 = -4 Jadi, himpunan penyelesaian tersebut adalah { 3, -4}