a b
tersebut. Contoh vektor b = bˆ .b, dengan bˆ disebut vektor satuan b dan b besar dari vektor b . Untuk penggunaan berikutnya vektor
satuan ke arah sumbu x, y dan z dari koordinat kartesian berturut- turut disimbolkan iˆ ,
jˆ
dan kˆ , lihat Gambar 1.12.
i
j
k
Gambar 1.12 Vektor satuan dalam koordinat kartesian
B. Operasi Vektor
B.1 Penjumlahan Vektor Penjumlahan Vektor dengan Metode Grafis
Jika kita ingin menjumlahkan vektor, misalkan vektor dan vektor , maka vektor digeser sejajar dengan dirinya
hingga pangkal vektor berimpit dengan ujung vektor , vektor adalah vektor dari pangkal vektor ke ujung vektor .
Gambar 1.13 Penjumlahan vektor dan vektor
Penjumlahan Vektor dengan Metode Analitis
Sehingga vektor
b
yang digambarkan pada Gambar 1.12 dapat ditulis sbb:
b
= b
x
iˆ
+ b
y
jˆ
+ b
z
kˆ
, dengan notasi seperti ini memudahkan untuk
melakukan operasi vektor .
a b
b a
b a
Apabila dalam vektor satuan,
a
= a
x
iˆ + a
y
jˆ
+ a
z
kˆ dan
b
= b
x
iˆ + b
y
jˆ
+ b
z
kˆ maka jumlah vektor
a
dan
b
adalah:
b a
= a
x
+ b
x
iˆ + a
y
+ b
y
jˆ
+ a
z
+ b
z
kˆ 1.1
dan yang dapat dioperasikan penjumlahan adalah komponen-
komponen vektor yang sejajar.
B.2 Pengurangan Vektor Pengurangan Vektor dengan Metode Grafis
Dua vektor
a
dan
b
besarnya sama tetapi arahnya berlawanan maka vektor
a
dinamakan juga dengan vektor negatif dari vektor
b
atau sebaliknya. Misalnya, vektor
a
dikurangi vektor
b
, lihat Gambar 1.14.
Gambar 1.14 Pengurangan vektor dan vektor
Pengurangan Vektor dengan Metode Analitis
Apabila dalam vektor satuan,
a
= a
x
iˆ + a
y
jˆ
+ a
z
kˆ dan
b
= b
x
iˆ + b
y
jˆ
+ b
z
kˆ maka pengurangan vektor
a
dan
b
adalah:
b a
= a
x
- b
x
iˆ + a
y
- b
y
jˆ
+ a
z
- b
z
kˆ 1.2
dan yang dapat dioperasikan pengurangan adalah komponen-
komponen vektor yang sejajar.
B.3 Perkalian Vektor
Penjumlahan vektor bersifat komutatif,
a b
b a
dan asosiatif,
b a
+ c
b a
c
a b
b a
Perkalian Vektor dengan Skalar
Sebuah vektor dikalikan dengan skalar adalah vektor baru dengan besar m skalar kali dengan besar vektor tersebut dengan arah
yang sama bila m positif atau berlawanan bila m bertanda negatif. Perkalian vektor dengan skalar bersifat komutatif, m.
a
=
a
m .
Perkalian Skalar dari dua Vektor
Operasi perkalian skalar dari dua vektor juga dapat disebut dengan
perkalian titik dari dua vektor atau perkalian dot dari dua vektor, dimana hasilnya merupakan skalar.
Perkalian skalar dari vektor a dan
b
ditulis a .
b
dengan hasilnya :
a .
b
= a b cos T = a cos T b
1.3 dengan
T sudut yang diapit oleh vektor a dan
b
.
Apabila dalam vektor satuan, a = a
x
iˆ + a
y
jˆ + a
z
kˆ dan
b
= b
x
iˆ + b
y
jˆ + b
z
kˆ maka : a .
b
= a
x
b
x
i i ˆ
. ˆ + a
x
b
y
j i ˆ
. ˆ
+ a
x
b
z
k i ˆ
. ˆ + a
y
b
x
i j ˆ
. ˆ + a
y
b
y
j j ˆ
. ˆ +
a
y
b
z
k j ˆ
. ˆ + a
z
b
x
i k ˆ
. ˆ + a
z
b
y
j k ˆ
. ˆ + a
z
b
z
k k ˆ
. ˆ = a
x
b
x
.1 + a
x
b
y.
.0 + a
x
b
z
.0 + a
y
b
x
.0 + a
y
b
y.
.1+ a
y
b
z
.0 + a
z
b
x
.0 + a
z
b
y
.0 + a
z
b
z
.1 =
a
x
b
x
+ a
y
b
y.
+ a
z
b
z
1.4
Perkalian vektor dari dua vektor
Perkalian vektor dari dua vektor, a dan
b
disebut juga dengan perkalian silang dari dua vektor atau perkalian cross dari
dua vektor, menghasilkan vektor baru dengan besar sama
Perkalian skalar dari dua vektor bersifat komutatif
a .
b
=
b
. a atau a b cos
T = b a cos T
Ingat;
k k
j j
i i
ˆ .
ˆ ˆ
. ˆ
ˆ .
ˆ = 1.1 cos 0
o
= 1 dan i
k k
j j
i ˆ
. ˆ
ˆ .
ˆ ˆ
. ˆ
= 1.1 cos 90
o
= 0.
