1 2
3 1
2 4
1 5
1 2
3 4
5
2 4
2 11
5 ,
, ,
, x
x x
x x
x x
x x x x x x
− + +
= − +
+ =
+ =
≥ menyelesaikan suatu masalah linear
programming LP. Algoritma simpleks merupakan prosedur
perhitungan yang berulang iteratif dimana setiap pengulangan iterasi berkaitan dengan
satu pemecahan dasar solusi basis. Bentuk standar dari algoritma simpleks adalah:
Pada LP 1, vektor
x
yang memenuhi kendala Ax
b = disebut sebagai solusi fisibel
dari LP 1. Misalkan matriks A dapat
dinyatakan sebagai A
B N
= , dengan
B
adalah matriks yang elemennya berupa koefisien variabel basis dan N merupakan
matriks yang elemennya berupa koefisien variabel nonbasis pada matriks kendala.
Matriks
B
disebut matriks basis untuk LP 1. Jika vektor
x
dapat dinyatakan sebagai vektor
B N
x x
x ⎛
⎞ = ⎜ ⎟
⎝ ⎠
, dengan
B
x adalah vektor variabel basis dan
N
x adalah vektor variabel nonbasis, maka Ax
b = dapat dinyatakan
sebagai
B N
x Ax
B N
x ⎛
⎞ =
⎜ ⎟
⎝ ⎠
B N
Bx Nx
b =
+ = .
2 Karena
B
adalah matriks taksingular, maka
B
memiliki invers, sehingga dari 2
B
x dapat dinyatakan sebagai:
1 1
B N
x B b
B Nx
− −
= −
. 3
Definisi 2 Solusi Basis
Solusi dari suatu LP disebut solusi basis jika:
i. Solusi tersebut memenuhi kendala pada
LP. ii.
Kolom-kolom dari matriks koefisien yang berpadanan dengan komponen taknol
adalah bebas linear. Nash Sofer, 1996
Definisi 3 Solusi Basis Fisibel
Vektor x disebut solusi basis fisibel jika
x merupakan solusi basis dan x
≥ . Nash Sofer, 1996
Ilustrasi solusi basis dan solusi basis fisibel dapat dilihat dalam contoh berikut:
Contoh 1
Misalkan diberikan LP berikut: Minimumkan
1 2
2 3
z x
x = −
− terhadap
4 Dari LP tersebut didapatkan:
2 1
1 1
2 1
1 1
A −
⎛ ⎞
⎜ ⎟
= − ⎜
⎟ ⎜
⎟ ⎝
⎠ ,
4 11
5 b
⎛ ⎞ ⎜ ⎟
= ⎜ ⎟ ⎜ ⎟
⎝ ⎠ Misalkan dipilih
3 4
5 T
B
x x
x x
= dan
1 2
T N
x x
x =
maka matriks basis
1 0 1
1 B
⎛ ⎞
⎜ ⎟
= ⎜ ⎟
⎜ ⎟
⎝ ⎠
Dengan menggunakan matriks basis tersebut, diperoleh
T N
x =
,
1
4 11 5
T B
x B b
−
= =
5 Solusi 5 merupakan solusi basis, karena
solusi tersebut memenuhi kendala pada LP 4 dan kolom-kolom pada matriks kendala yang
berpadanan dengan komponen taknol dari 5 yaitu
B adalah bebas linear kolom yang satu bukan merupakan kelipatan dari kolom yang
lain. Solusi 5 juga merupakan solusi basis fisibel, karena nilai-nilai variabelnya lebih
dari atau sama dengan nol.
Nash Sofer, 1996
2.2 Integer Linear Programming
Model integer linear programming ILP atau disebut juga integer programming IP,
adalah suatu model linear programming dengan variabel yang digunakan berupa
bilangan bulat integer. Jika semua variabel harus berupa integer, maka masalah tersebut
disebut pure integer programming. Jika hanya sebagian yang harus integer maka disebut
mixed integer programming. IP dengan semua variabelnya harus bernilai 0 atau 1 disebut 0-1
IP.
Garfinkel Nemhauser, 1972
Definisi 4 Linear Programming Relaksasi
LP-relaksasi dari suatu IP merupakan linear programming yang diperoleh dari IP
tersebut dengan menghilangkan kendala integer atau kendala 0-1 pada variabelnya.
Winston, 1995
2.3 Metode Branch and Bound untuk
menyelesaikan masalah Integer
Programming
Dalam penulisan karya ilmiah ini, untuk memperoleh solusi optimal dari masalah
IP digunakan software Lingo 8.0 yaitu
1
x
sebuah program yang didesain untuk membangun dan menentukan solusi model
linear, nonlinear, dan optimisasi integer menjadi lebih cepat, mudah, dan lebih
efisien dengan prinsip pemecahannya berdasarkan metode branch and bound.
Prinsip dasar metode branch and bound adalah memecah daerah fisibel dari masalah
LP-relaksasi dengan membuat subproblem- subproblem. Daerah fisibel linear
programming adalah daerah yang memenuhi semua kendala linear programming.
¾ Branch
Membuat partisi daerah solusi ke dalam subproblem. Tujuannya untuk menghapus
daerah solusi yang tidak fisibel. Hal ini dicapai dengan menentukan kendala yang
penting untuk menghasilkan solusi IP, secara tidak langsung titik integer yang tidak fisibel
terhapus. Dengan kata lain, hasil pengumpulan dari subproblem – subproblem
yang lengkap menunjukkan setiap titik integer yang fisibel dari masalah asli. Karena sifat
alami partisi itu, maka proses tersebut dinamakan Branching.
¾
Bound Misalkan masalahnya diasumsikan
merupakan tipe maksimisasi, nilai objektif yang optimal untuk setiap subproblem dibuat
dengan membatasi pencabangan dengan batas atas dari nilai objektif yang dihubungkan
dengan sembarang nilai integer yang fisibel. Hal ini sangat penting untuk mengatur dan
menempatkan solusi optimum. Operasi ini yang menjadi alasan dinamakan Bounding.
Taha, 1975 Aspek kunci dari metode branch and
bound adalah sebagai berikut : Langkah 1 : jika sudah jelas, maka cabang
dalam subproblem tidak diperlukan. Terdapat tiga kondisi yang membuat subproblem tidak
diperlukan yaitu:
1 Subproblem tidak fisibel. 2 Subproblem menghasilkan solusi
optimal dengan semua variabel bernilai integer.
3 Nilai optimal untuk subproblem lebih
kecil dari dalam masalah memaksimumkan batas bawah
lower boundLB. Langkah 2 : Sebuah subproblem mungkin
dapat dihapuskan dari pertimbangan dengan kondisi sebagai berikut :
1 Subproblem tidak fisibel. 2
Batas bawah yang menunjukkan nilai optimal dari kandidat terbaik
setidaknya lebih besar dari nilai optimal subproblem.
Winston, 1995
Contoh 2
Misalkan diberikan integer programming berikut:
Maksimumkan
1 2
5 4
z x
x =
+ terhadap
1 2
5 x
x +
≤
1 2
10 6
45 x
x +
≤
1 2
, x x
≥ dan integer Daerah fisibel untuk masalah IP di atas
diberikan pada gambar berikut:
2
x
1 2
3 4
5 1
2 3
4 5
6 7
Gambar 1 Daerah fisibel IP Taha, 1975. Metode Branch and Bound dimulai
dengan menentukan solusi LP-relaksasi subproblem 1. Solusi LP-relaksasi untuk
masalah di atas adalah
1
3, 75 x
= ,
2
1, 75 x
= ,
dan 23, 75
z =
. Solusi tersebut tidak memenuhi kendala integer. Oleh karena itu
harus dibuat subproblem yang baru dengan memilih variabel yang tidak memenuhi
kendala integer. Dengan memilih
1
3, 75 x
= secara sembarang, diketahui bahwa daerah
1
3 4
x dari daerah fisibel subproblem 1
tidak akan memuat solusi IP yang fisibel karena tidak memenuhi kendala integer.
Subproblem yang baru adalah sebagai berikut: • Subproblem 2 : Subproblem 1 + kendala
1
3 x
≤ • Subproblem 3 : Subproblem 1 + kendala
1
4 x
≥ Daerah fisibel untuk subproblem 2 dan
subproblem 3 diberikan pada gambar berikut:
2
x
1 2
3 4
5 1
2 3
4 5
6 7
Gambar 2 Daerah fisibel untuk subproblem 2 dan subproblem 3 Taha, 1975.
Subproblem 2 dan subproblem 3 tidak dapat dipenuhi secara bersamaan, sehingga harus
diselesaikan sebagai dua masalah linear programming yang berbeda. Pada subproblem
2 diperoleh solusi
1
3 x
= ,
2
2 x
= , dan 23
z =
. Karena semua variabel bernilai integer
solusinya memenuhi kendala integer, maka tidak perlu dibuat subproblem baru. Pada
subproblem 3 diperoleh solusi
1
4 x
= ,
2
0,8333 x
= , dan
23, 3333 z
= . Karena
variabelnya tidak memenuhi kendala integer, maka harus dibuat subproblem
baru. Subproblem untuk masalah IP di atas
diberikan pada gambar berikut:
Gambar 3 Metode branch and bound untuk menentukan solusi IP Taha, 1975. Pada Gambar 3, subproblem 3 dan
subproblem 7 merupakan kandidat terbaik karena semua variabelnya bernilai integer.
Subproblem 3 merupakan solusi optimal untuk masalah IP di atas karena mempunyai nilai-Z
lebih besar dari subproblem 7. Taha, 1975
III. METODE PENELITIAN
