3.5 Teorema Pythagoras dan Kebalikannya
Perhatikan segitiga ABC si-siku di C pada Gambar 3.17 berikut ini. Sisi AC dan BC disebut sisi siku-siku, sedangkan sisi AB disebut hipotenusa sering
disebut sisi miring. Hipotenusa atau sisi miring adalah sisi yang dihadapan sudut siku-siku bukan karena digambar miring. Ukuran panjang sisi dihadapan titik A
biasa dimisalkan a satuan panjang misal cm, ukuran panjang sisi dihadapan titik B adalah b satuan panjang dan ukuran panjang dihadapan titik C adalah c satuan
panjang. Permasalahannya adalah jika ukuran a dan b bagaimana rumus c yang dinyatakan a dan b.
A b
c C
a B
Gambar 3.17. Sekarang perhatikan gambar persegi KLMN dengan ukuran sisinya a + bntuk
membuktikan teorema di atas buatlah persegi dengan ukuran sisi a +b dalam dua gambar yang berbeda sebagai berikut:
K a b L
K a P b L b
a Q
b c
a c S
N M N M
R
i ii
Gambar 3.18 Luas kedua persegi itu sama yaitu a +b
2
= a
2
+ 2ab + b
2
. Perhatikan Gambar 3.18 ii
PQK siku-siku di K dengan PK = a dan QK = b sehingga luas daerah PQK adalah ½ ab. Demikian pula luas daerah PSL = luas daerah RSM =
luas daerah QRN = ½ ab. Segiempat PQRS berupa persegi dengan panjang sisi
c, sehingga luas daerahnya adalah c
2
. Luas daerah PQRS = luas daerah KLMN –
luas daerah PQK- luas daerah PSL luas daerah - RSM - luas daerah QRN
atau c
2
= a
2
+ 2ab + b
2
– ½ ab – ½ ab – ½ ab – ½ ab atau c
2
= a
2
+ 2ab + b
2
– 2ab = a
2
+ b
2
.
Kebalikan Teorema Pythagoras Teorema Pythagoras menyatakan bahwa pada
ABC jika C siku-siku, maka a
2
+ b
2
= c
2
. Perlu diingat kembali bahwa c merupakan sisi yang terpanjang. Kebalikan dalil Pythagoras adalah, pada
ABC dengan sisi yang terpanjang adalah c , jika c
2
= a
2
+ b
2
maka C siku-siku.
Perhatikan Gambar 3.19, pada Gambar 5.13 i diketahui bahwa c
2
= a
2
+ b
2
, apakah
C siku-siku ? Sedangkan Gambar 5. 13 i adalah segitiga siku-siku dengan sisi-sisi sikunya a dan b, hipotenusanya tidak diketahui, misalkan x.
Berdasarkan dalil Pythagoras, maka x
2
= a
2
+ b
2
. Dari c
2
= a
2
+ b
2
dan x
2
= a
2
+ b
2
diperoleh kesimpulan bahwa x
2
= a
2
atau x = a. Dengan demikian kedua segitiga itu
ABC dan PQR sisi sisi yang bersesuian memiliki ukuran sama AB = PQ, AC = PR, dan BC = QR. Dengan kata lain
ABC kongruen PQR, akibatnya sudut-sudut yang bersesuaian haruslah berukuran sama, sehingga
ukuran C = ukuran R, artinya C siku-siku.
A P
b c
q r
C a R p
Q i
ii Gambar 3.19
Tigaan Tripel Pythagoras Ukuran ketiga sisi-sisi segitiga siku-siku berupa bilangan asli disebut tripel
Pythagoras. Misalnya 3, 4, dan 5 sebab 3
2
+ 4
2
= 5
2
, demikian pula 5, 12, dan 13 sebab 5
2
+ 12
2
= 13
2
. Untuk memperoleh tripel Pythagoras, isilah table berikut ini dengan cara memilih
dua bilangan asli yang berbeda, misalnya m dan n dengan m n.
M n
m
2
-n
2
2mn m
2
+n
2
Tripel Pythagoras
2 1
2
2
-1
2
= 3 2 × 2 × 1 = 4
2
2
+ 1
2
= 5 3, 4, 5
3 1
3 2
3
2
– 2
2
= 5 2 × 3 × 2 = 12
32 + 2
2
= 13 5, 12, 13
4 1
4 2
4 3
5 1
5 2
5 3
5 4
Latihan 3.5 1. Buktikan teorema Pythagoras dan kebalikannya dengan cara lain
2. Jika suatu segitiga sisi-sisinya a, b, dan c dengan c adalah sisi yang terpanjang. Jika a
2
+ b
2
c
2
, maka segitiga itu bukanlah segitiga siku-siku. Segitiga apakah jika a
2
+ b
2
c
2
, dan segitiga apakah jika a
2
+ b
2
c
2
.
BAB IV GARIS-GARIS SEJAJAR
Kategori