2.2 Teori Group 2.2.1 Definisi Group
Suatu grup group G , terdiri dari himpunan anggota G bersama dengan operasi biner yang didefinisikan pada G dan memenuhi hukum berikut :
1. Hukum tertutup : a b ∈ G untuk semua a, b ∈ G,
2.
Hukum assosiatif : a b c = a b c untuk semua a, b, c ∈
G,
3.
Hukum identitas : terdapatlah suatu anggota e ∈ G sehingga e x =
x e = x untuk semua x ∈ G,
4.
Hukum invers : untuk setiap a ∈ G, terdapatlah a′ ∈ G sehingga a
a ′ = a′ a = e. Biasanya lambang G , hanya dituliskan G,
demikian juga ab artinya a b dan �
−1
adalah lambang untuk invers a.
2.2.2 Sifat sifat Group
Dalam sebarang grup berlaku sifat sifat berikut : a
Hukum kanselasi kiri : Jika a x = a y maka x = y. b
Hukum kanselasi kanan : Jika x a = y a maka x = y. c
Anggota identitas itu tunggal yaitu jika e dan e′ elemen G yang memenuhi hukum identitas maka e = e
′. d
Invers dari sebarang anggota G akan tunggal yaitu jika a dan b merupakan invers dari x maka a = b. ab =
�
−1
. �
−1
Universitas Sumatera Utara
2.2.3 Subgroup
Sistem aljabar yang besar biasanya mengandung sistem bagian yang lebih kecil. Sistem yang lebih kecil mungkin lebih penting dan mungkin membangun
sistim yang lebih besar. Sebagai contoh grup R, + mengandung grup yang lebih kecil seperti Q , + dan Z , + . Dengan cara yang sama C = C – { 0 }
mangandung R = R – { 0 }. Contoh-contoh di atas menyarankan bahwa di samping tipe tertentu dari sistim juga dipelajari sistim bagian subsystem
sehingga dalam penelaahan grup juga dibahas tentang sistim bagiannya yang dinamakan subgroup.
Definisi 2.2.3.1 Andaikan G adalah suatu group. Himpunan bagian tak kosong H
dari G disebut subgroup dari G jika H dengan operasi biner atas G dalah suatu group. Jika H adalah subgroup dari G maka dinotasikan H
≤G. Teorema 2.2.3.2
Jika H adalah sebarang subgroup dari group G, maka unsur indentitas dari G berada di H dan juga merupakan unsur indentitas dari H.
Teorema 2.2.3.3 Andaikan G adalah suatu group.Himpunan bagian G dari H
adalah subgroup dari G jika aksioma-aksioma berikut ini dipenuhi, 1.
untuk setiap �, � ∈ H, ��∈ H 2.
untuk semua � ∈ H, �
−1
Teorema 2.2.3.4 Andaikan G adalah suatu group. Misalkan H adalah himpunan
bagian tak kosong dari G. H adalah subgroup jika untuk setiap �, � ∈ H, dipenuhi
��
−1
∈ H.
2.2.4 Koset Dari subroup Definisi 2.2.4.1
Andaikan G adalah suatu group dan misalkan H adalah subgrup dari G. Untuk setiap unsur
� ∈ G, himpunan �H= {�h: � ∈ G} disebut
Universitas Sumatera Utara
koset kiri dari H yang ditentukan oleh unsur �, dan himpunan H�= {h�:� ∈}
disebut koset kanan dan H yang ditentukan oleh unsur �.
Dari definisi, jika G adalah group komutatif, maka �H= H�, koset kiri dari
� = koset kanan dari �. Bila operasi biner atas G adalah operasi penjumalahan,maka definisi koset dinotasikan menjadi
� + H={ �+h:a∈ G} dan H+
� = {h+ �:� ∈ G}.
Teorema 2.2.4.2 Andaikan G adalah suatu group dan misalkan H adalah
subgroup dari G. Dua koset kirikanan dari H adalah indentik atau saling asing.
Akibat 2.2.4.3 Andaikan H subgrup dari G. Misalkan
� dan � adalah dua unsur di G. Maka
1. �H= �H jika dan hanya jika �
−1
� ∈ H 2.
H�= H� jika dan hanya jika � �
−1
∈ H
Akibat 2.2.4.4 Andaikan H subgrup dari G. Misalkan
� unsur di H. Maka
1. �H= H jika dan hanya jika � ∈ H
2. �� = H� jika dan hanya jika � = �
−1
H �
Lemma 2.2.4.5 Andaikan H adalah subgrup dari group hingga G. Maka semua
koset dari H mempunyai unsur yang sama banyak
Lemma 2.2.4.6 Andaikan H adalah subgrup dari group hingga G. Maka
banyaknya koset kiri dari H di G adalah sama dengan banyaknya koset kanan H di G
Universitas Sumatera Utara
BAB 3 PEMBAHASAN
Dalam bab ini penulis akan membahas tentang kord dan menganalisisnya dengan menggunakan himpunan dan teori group. Sehingga akan terlihat jelas
peran himpunan dan group dalam proses ini. Penggunaan sifat-sifat grup jumlahan modulo 12 akan diarahkan untuk
mengkonstruksi akord pada musik. Untuk hal tersebut, dapat dimisalkan C
=0 CDb =1
D =2
DEb =3 E
=4 F
=5 FGb =6
G =7
GAb =8 A
=9 ABb =10
B =11
Universitas Sumatera Utara
3.1Analisis Triad Chord
Triad chord adalah kord yang terbentuk dari tiga nada. Ada ratusan kord yang terbentuk dari tiga nada. Karena nada dasar ada 12 maka dapat diperoleh
kord tiga nada dengan cara �
3 12
=220 kord . Tapi dalam hal ini penulis hanya menganalisis kord yang harmonis dan yang sering digunakan dalam musik, seperti
yang dikemukakan oleh Riof Fun Natick dalam buku” kamus akor gitar”. Dalam Triad kord hanya 5 jenis kord yg dianalisis yaitu:
3.1.1 Major ChordKord Mayor
