penaksiran yang bias. Dengan cara ini, pada dasarnya kita bersedia menerima sejumlah bias tertentu dalam taksiran agar variansi penaksir dapat diperkecil. Taksiran
bias yang diperoleh disini untuk koefisien regresi dalam model :
dinyatakan dengan dan disebut taksiran regresi Ridge.
1.7 Metodologi Penelitian
Adapun metode penelitian dalam skripsi ini adalah : 1.
Terlebih dahulu menjelaskan megenai operasi matriks yaitu determinan matriks, invers matriks, nilai eigen dan vektor eigen, dan matriks korelasi,
analisis regresi linier berganda, multikolinieritas, metode analisis regresi Ridge serta metode analisis regresi komponen utama
2. Mendeteksi keberadaan multikolinieritas.
3. Menguraikan penyelesaian masalah multikolinieritas dalam studi kasus PDRB
Propinsi Sumatera Utara dengan menggunakan metode analisis regresi Ridge. 4.
Menguraikan penyelesaian masalah multikolinieritas menggunakan metode analisis regresi komponen utama.
5. Menyimpulkan persamaan dan perbedaan kedua metode tersebut di atas
dengan kriteria yang telah ditentukan.
Universitas Sumatera Utara
BAB 2
LANDASAN TEORI
2.1 Aljabar Matriks
2.1.1 Definisi
Matriks
Matriks adalah suatu kumpulan angka-angka yang juga sering disebut elemen-elemen yang disusun secara teratur menurut baris dan kolom sehingga berbentuk persegi
panjang, dimana panjang dan lebarnya ditunjukkan oleh banyaknya kolom dan baris serta dibatasi tanda “[ ]” atau “ ”. Sebuah matriks dinotasikan dengan simbol huruf
besar seperti A, X, atau Z dan sebagainya. Sebuah matriks A yang berukuran m baris dan n kolom dapat ditulis sebagai berikut :
Atau juga dapat ditulis : A = [
] i
= 1, 2,…, m ; j = 1, 2,…, n
Universitas Sumatera Utara
Kombinasi Linier
Vektor w merupakan kombinasi linier dari vektor-vektor jika terdapat
skalar sehingga berlaku :
, 2.1
Jika vektor w = 0 maka disebut persamaan homogen dan disebut vektor
yang bebas linier, yang mengakibatkan , tetapi jika ada
bilangan yang tidak semuanya sama dengan nol, maka
disebut bergantung linier.
Determinan Matriks
Misalkan = [ ] adalah matriks
. Fungsi determinan dari ditulis dengan atau
. Secara matematiknya ditulis :
Dimana ∑ menunjukkan bahwa suku-suku tersebut harus dijumlahkan terhadap semua permutasi
dan simbol + atau - dapat dipilih dalam masing-masing suku sesuai dengan apakah permutasi itu genap atau ganjil. Anton 1995, hal : 64
Teorema
Jika A = [ ] adalah matriks
yang mengandung sebaris bilangan nol, maka .
Teorema
Jika adalah matriks segitiga nxn, maka adalah hasil kali elemen
– elemen pada diagonal utama, yaitu
Universitas Sumatera Utara
Teorema
Jika adalah sebarang matriks kuadrat, maka .
Invers Matriks
Misalkan A matriks nxn disebut non singular invertible jika terdapat matriks B maka AB = BA = I
Matriks B disebut invers dari A jika tidak terdapat matriks B maka matriks A disebut singular non-invertible.
Secara umum invers matriks A adalah :
Adjoint matriks A adalah suatu matriks yang elemen-elemennya terdiri dari semua elemen-elemen kofaktor matriks A, dengan
adalah kofaktor elemen-elemen Sehingga dapat ditulis dalam bentuk matriks sebagai berikut :
dengan :
= minor entri yaitu determinan suatu matriks yang diperoleh dengan
menghapus baris ke –i dan kolom ke-j dari matriks A.
Sifat – sifat invers :
Universitas Sumatera Utara
a. Jika
A adalah
matriks non singular, maka adalah non singular dan
b. Jika A dan B adalah
matriks non singular, maka AB adalah non singular dan
2.1.2 Nilai Eigen dan Vektor Eigen
Jika A adalah matriks nxn, maka vektor tak nol X di dalam dinamakan vektor
eigeneigenvektor dari A jika AX adalah kelipatan skalar dari X yakni : AX = λX
2.2 Untuk suatu skalar
λ. Skalar λ dinamakan nilai eigen eigen value dari A dan X dikatakan vektor eigen yang bersesuaian dengan
λ. Untuk mencari nilai eigen matriks
yang berukuran nxn, dari persamaan 2.2 dapat ditulis kembali sebagai suatu persamaan homogen :
Dengan I adalah matriks identitas yang berordo sama dengan matriks A, dalam catatan matriks :
, ,
, X ≠0
Universitas Sumatera Utara
untuk memperoleh nilai
n buah akar Jika nilai eigen
disubstitusi pada persamaan , maka solusi
dari vektor eigen X
n
adalah 2.3
Jadi apabila matriks mempunyai akar karakteristik
dan ada kemungkinan bahwa diantaranya mempunyai nilai yang sama, bersesuaian dengan
akar-akar karakteristik ini adalah himpunan vektor –vektor karakteristik yang
orthogonal artinya masing-masing nilai akar karakteristik akan memberikan vektor karakteristik
sedemikian sehingga : i,j=
1,2,…,n
2.2 Analisis Regresi Linier Berganda
Universitas Sumatera Utara
Dalam perkembangannya terdapat dua jenis regresi yang sangat terkenal, yaitu regresi linier sederhana dan regresi linier berganda. Regresi linier sederhana digunakan untuk
menggambarkan hubungan antara suatu variabel bebas X dengan satu variabel tak bebas Y dalam bentuk persamaan linier sederhana.
i = 1,2,…, n 2.4
Regresi linier berganda merupakan perluasan dari regresi linier sederhana. Perluasannya terlihat dari banyaknya variabel bebas pada model regresi tersebut.
Bentuk umum regresi linier berganda dapat dinyatakan secara statistik sebagai berikut: 2.5
dengan : = variabel tak bebas
= variabel bebas = parameter regresi
= variabel gangguan Dalam melakukan analisis regresi linier berganda, sering dijumpai masalah
multikolinieritas pada peubah – peubah bebasnya X. Akibatnya adanya pelanggaran
terhadap salah satu asumsi yang disyaratkan pada penggunaan regresi linier tersebut sehingga mempengaruhi sifat
– sifat penduga atau penaksir koefisien regresi linier bergandanya.
Adapun asumsi – asumsi yang mendasari analisis regresi berganda tersebut
antara lain : 1.
Nilai rata-rata kesalahan pengganggu nol, yaitu untuk i
= 1, 2, …, n 2.
, adalah konstan untuk semua kesalahan pengganggu asumsi homokedastisitas.
3. Tidak ada otokorelasi antara kesalahan pengganggu , berarti kovarian
. 4.
Variabel bebas konstan dalam sampling yang terulang dan bebas
terhadap kesalahan pengganggu . 5.
Tidak ada multikolinieritas diantara variabel bebas X.
Universitas Sumatera Utara
6. , artinya kesalahan pengganggu menyebar mengikuti distribusi
normal dengan rata-rata 0 dan varian .
Dalam data PDRB propinsi Sumatera Utara, salah satu asumsi yaitu tidak ada multikolinieritas diantara variabel bebasnya yaitu antara faktor
– faktor yang mempengaruhinya telah dilanggar sehingga mengakibatkan penduga koefisien regresi
linier ganda relatif tidak stabil atau kurang tepat dalam hal ini dianggap asumsi lainnya telah terpenuhi.
2.3 Penduga Parameter
