Metode Simpleks Metode Solusi Program Linear

Grafik ini tidak mempunyai daerah layak dan juga tidak memiliki titik ekstrim yang dapat dibahas. Dengan demikian tidak terdapat solusi optimal dalam ruang kelaakan. Jadi diperlukan stuktur model yang lain untuk mencapai optimal.

2. Metode Simpleks

Persoalan program linear tidak selalu sederhana karena melibatkan banyak pembatas dan banyak variabel sehingga tidak mungkin diselesaikan dengan metode grafik melainkan menggunakan metode simpleks. Metode simpleks adalah suatu metode yang secara pemecahan basis yang layak ke pemecahan basis yang layak lainnya dan ini dilakukan berulang-ulang dengan jumlah ulangan yang terbatas sehingga akhirnya tercapai sesuatu pemecahan basis yang optimum dan pada setiap tahap menghasilkan suatu nnilai dari fungsi tujuan yang selalu lebih besar y x Gambar 2.8 Grafik Solusi Tidak Layak atau sama dengan tahap-tahap sebelumnya. Metode ini sangat berguna dalam menguraikan persoalan program linear dengan variabel yang banyak maupun fungsi kendala yang banyak. Penentuan solusi optimal menggunakan metode simpleks didasarkan pada teknik eleminasi Gauss Jordan. Penentuan solusi optimal dilakukan dengan memeriksa titik ekstrim satu per satu dengan cara perhitungan iteratif, sehingga penentuan solusi optimal dengan simpleks dilakukan tahap demi tahap yang disebut dengan iterasi. Iterasi ke-i hanya tergantung dari iterasi sebelumnya i-1. Pada metode simpleks dipekenalkan istilah standart form atau bentuk siap simpleks, yang digunakan untuk menyusun tabel- tabel simpleksnya. Sebagai gambaran dapat dilihat pada metode grafik yaitu terdapat satu atau beberapa titik potong yang merupakan suatu kumpulan solusi yang layak. Yang harus diperhatikan adalah bahwa solusi basis yang layak merupakan suatu solusi dan kumpulan dari persamaan linear kebanyakan persamaan program linear dengan fungsi kendalanya berbentuk ketidaksamaan. Munculnya kendala ketidaksamaan dapat diubah ke dalam kendala persamaan. Dengan demikian suatu program linear semua kendalanya dinyatakan dalam bentuk kendala persamaan dapat disebut juga sebagai bentuk siap simpleks. Ada beberapa istilah yang digunakan dalam metode simpleks, diantaranya : a Iterasi adalah tahapan perhitungan dimana nilai dalam perhitungan itu tergantung dari nilai tabel sebelumnya. b Variabel non basis adalah variabel yang nilainya diatur menjadi nol pada sembarang iterasi. Dalam terminologi umum, jumlah variabel non basis selalu sama dengan derajat bebas dalam sistem persamaan. c Variabel basis merupakan variabel yang nilainya bukan nol pada sembarang iterasi. Pada solusi awal, variabel basis merupakan variabel pengetat jika fungsi kendala merupakan pertidaksamaan ≤ atau variabel artifisial jika fungsi kendala menggunakan pertidaksamaan ≥ atau =. Secara umum, jumlah variabel basis selalu sama dengan jumlah fungsi pembatas tanpa fungsi non negatif. d Solusi atau nilai kanan merupakan nilai sumber daya pembatas yang masih tersedia. Pada solusi awal nilai kanan atau solusi sama dengan jumlah sumber daya pembatas awal yang ada, karena aktivitas belum dilaksanakan. e Variabel pengetat merepresentasikan sumber daya yang mengganggur pada suatu fungsi kendala, variabel ini digunakan untuk ditambahkan dalam fungsi pertidaksamaan ≤, supaya dengan menambahkan variabel pengetat ini diperoleh solusi fisibel awal initial feasible solution, sama dengan titik origin pada grafik. f Variabel semu mempresentasikan kekurangan sumber daya pada suatu fungsi kendala, variabel digunakan untuk di kurangkan dalam fungsi pertidaksamaan ≥, supaya dengan menambahkan variabel semu ini diperoleh solusi fisibel awal initial feasible solution, sama dengan titik origin pada grafik. g Variabel artifisial adalah variabel yang ditambahkan ke model matematik ke ndala dengan bentuk ≥ atau = untuk difungsikan sebagai variabel basis awal. Penambahan variabel ini terjadi pada tahap inisialisasi. Variabel ini harus bernilai 0 pada solusi optimal, karena kenyataannya variabel ini tidak ada. h Kolom pivot kolom kerja adalah kolom yang memuat variabel masuk. Koefisien pada kolom ini akn menjadi pembagi nilai kanan untuk menentukan baris pivot baris kerja. i Baris pivot baris kerja adalah salah satu baris dari antara variabel basis yang memuat variabel keluar. j Elemen pivot elemen kerja adalah elemen yang terletak pada perpotongan kolom dan baris pivot. Elemen pivot akan menjadi basis perhitungan untuk tabel simpleks berikutnya. k Variabel masuk adalah variabel yang terpilih untuk menjadi variabel basis pada iterasi berikutnya. Variabel masuk dipilih satu dari antara variabel non basis pada setiap iterasi. Variabel ini pada iterasi berikutnya akan bernilai positif. l Variabel keluar adalah variabel yang keluar dari variabel basis pada iterasi berikutnya dan digantikan oleh variabel masuk. Variabel keluar dipilih satu dari antara variabel basis pada setiap iiterasi. Variabel ini pada iterasi berikutnya akan bernilai nol. Sebelum melakukan perhitungan iteratif untuk menentukan solusi optimal, pertama sekali bentuk umum program linear dirubah ke dalam bentuk siap simpleks terlebih dahulu. Bentuk siap simpleks dalam metode simpleks tidak hanya mengubah persamaan kendala ke dalam bentuk sama dengan, tetapi setiap fungsi kendala harus diwakili oleh satu variabel basis awal. Variabel basis awal menunjukkan status sumber daya pada kondisi sebelum ada aktivitas yang dilakukan. Dengan kata lain, variabel keputusan semuanya masih bernilai nol. Dengan demikian, meskipun fungsi kendala pada bentuk umum program linear sudah dalam bentuk persamaan, fungsi kendala tersebut masih harus tetap berubah. Ada beberapa hal yang harus diperhatikan dalam membuat bentuk siap simpleks, yaitu: a. Fungsi kendala dengan pertidaksamaan kurang dari atau sama dengan . Untuk pengkonversian ini dapat digunakan contoh kendala sebagai berikut. Seandainya pernyataan kendalanya adalah + − mengubah ketidaksamaan ini harus ditambah dengan variabel pengetat sehingga kendala tersebut menjadi + − + � = , dimana � . Variabel pengetat � merepresentasikan sumber daya yang menganggur pada suatu fungsi kendala. Variabel � tidak berpengaruh pada fungsi tujuan. Koefisien dari � pada fungsi tujuan sama dengan nol. Dengan kata lain, biaya untuk 50 unit dari sumber yang kurang atau terbatas ini akan hilang. Setiap unit yang tersisa pun tidak akan berpengaruh terhadap fungsi tujuan dengan apapun yang ada. Namun bila hal ini tidak terjadi maka kendala dan fungsi tujuannya harus dapat diformulasikan khusus untuk biaya dari 50 unit serta nilai dari setiap unit tidak terpakai b. Fungsi kendala dengan pertidaksamaan lebih dari atau sama dengan Untuk perubahan ini dapat digunakan contoh kendala sebagai berikut. Seandainya pernyataan kendalanya adalah + + mengubah ketidaksamaan ini harus ditambah dengan variabel semu sehingga kendala tersebut menjadi + + − � = . Kita dapat menanggapi bahwa � sebagai jumlah yang melebihi 15 unit dan dalam hal ini kendalanya dapat dikatakan mempengaruhi target atau tujuan dari fungsi minimum pada fungsi tujuannya. Mengenai hal ini variabel semu tidak mempunyai informasi tambahan. Dapat juga dinyatakan bahwa koefisiennya adalah nol sehingga tidak berpengaruh pada fungsi tujuan. Setiap penambahan variabel semu pada fungsi kendala dengan ketidaksamaan lebih besar atau sama dengan tidak dapat langsung diselesaikan pada tabel simpleks tetapi harus ditambah lagi dengan variabel artificial untuk mendapatkan solusi optimal, sehingga kendala tersebut menjadi + + − � + � = . Dengan demikian pada setiap persoalan program linear dengan fungsi-fungsi kendala lebih besar atau sama dengan akan selalu digunakan variabel semu dan juga variabel artifisial untuk mendapatkan solusi yang optimal dari perhitungan di dalam tabel simpleks. c. Fungsi kendala dengan Persamaan =. Untuk menguraikan perubahan fungsi kendala persamaan atau sama dengan dapat juga digunakan contoh fungsi kendala + + = . Untuk mengkonversi fungsi kendala ini harus ditambahkan Artificial variable yang dinyatakan dengan + + + � = . Dengan begitu kita dapat menganggap bahwa � merupakan jumlah yang mengurangi atau sama dengan 25 unit dari fungsi kendala. Artificial variable ini secara fisik tidak mempunyai arti dan hanya digunakan untuk kepentingan perhitungan saja. Metode simpleks ini lebih efisien dan dilengkapi dengan kolom ratio yang dapat memberitahukan bilamana perhitungan harus dihentikan dan juga bilamana dilanjutkan hingga diperoleh solusi yang optimal. Selanjutnya untuk proses pembentukan basis tersebut dipergunakan tabel-tabel yang pertama akan memberikan pemecahan basis daerah layak yang pertama sampai pada pemecahan terakhir yang memberikan solusi yang optimal. Penguraian kasus program linear dapat juga dinyatakan dengan system persamaan kendala yang dibentuk melalui penambahan variabel seperti variabel pengetat yang berguna bagi solusi basis. Hal ini dapat juga ditunjukkan sebagai berikut. Secara umum rumusan model yang standar untuk metode simpleks dengan tabel berkolom variabel basis sebagai berikut. memaksimumkan − − − − − = dengan kendala: + + + + ± � = + + + + ± � = + + + + ± � = + + + + ± � = Bentuk tabelnya dapat disajikan sebagai berikut Dumairy:2005:362. Berikut keterangan tabel metode simpleks diatas: 1. Kolom Variabel Basis VB Kolom ini berisi variabel-variabel basis atau disebut juga dengan variabel-variabel tidak nol, yaitu variabel-variabel yang nilainya ditunjukan oleh konstanta-konstanta yang bersesuaian di kolom �. Pada solusi awal atau tabel pertama kolom VB ini berisi semua variabel semu. Pada tahap-tahap berikutnya veriabel-variabel yang termuat di kolom ini akan berganti-ganti kecuali z yang ada dari solusi awal hingga solusi akhir. Variabel-variabel lain yang tidak tercantum di kolom ini dinamakan variabel-variabel basis atau variabel nol. 2. Kolom-kolom variabel Kolom ini berisi koefisien-koefisien dari masing-masing variabel dalam persamaan yang bersesuaian yaitu untuk variabel-variabel asli dan 0 atau 1 untuk variabel-variabel semu � untuk tabel pertama. VB � � � � Persamaan – � 1 Persamaan - � � 1 Persamaan - � � 1 Persamaan - � Tabel 2.9 Tabel Metode Simpleks 3. Kolom � Kolom � solusi ini berisi nilai-nilai ruas kanan dari persamaan-persamaan implisit yang terdapat di dalam model baik persamaan fungsi tujuan maupun persamaan-persamaaan fungsi kendala. Angka-angka yang tercantum di kolom ini mencerminkan nilai z dan nilai-nilai variabel basis pada tahap solusi yang bersangkutan. Langkah-langkah pengerjaan program linear dengan metode simpleks dengan tabel berkolom variabel basis adalah sebagai berikut. 1. Membentuk masalah program linear menjadi bentuk kanonik yaitu kendalanya harus berbentuk persamaan, dengan menambahkan variabel pengetat, variabel semu dan sehingga memenuhi bentuk siap simpleks program linear. 2. Bentuk tabel pertama dengan menetapkan semua variabel semu sebagai variabel basis. 3. Tentukan satu variabel masuk entering variable di antara variabel-variabel basis yang ada untuk dijadikan variabel basis dalam tabel berikutnya. Menentukan kunci 1 yaitu: Pada program POM-QM untuk kunci satu adalah sebagai berikut. 4. Tentukan satu variabel keluar diantara variabel-variabel basis yang ada untuk menjadi variabel basis dalam tabel berikutnya. Menentukan kunci 2 yaitu: Kolom yang mengandung variabel masuk dinamakan kolom kunci, sedangkan baris yang mengandung variabel keluar dinamakan baris kunci. Unsur di dalam tabel yang merupakan perpotongan antara baris kunci dan kolom kunci dinamakan unsur kunci. Variabel masuk akan menggantikan variabel keluar dalam tabel yang berisi variabel basis berikutnya. Rasio solusi adalah hasil bagi dari konstanta pada kolom � dengan unsur sebaris pada Variabel basis yang nilainya pada baris- merupakan bilangan negatif terbesar. Kunci 1.a. Kasus Maksimisasi Variabel basis yang nilainya pada baris- merupakan bilangan positif terbesar. Kunci 1.b. Kasus Minimisasi Variabel basis yang memiliki rasio solusi dengan nilai positif terkecil. Kunci 2 Variabel basis yang nilainya pada baris- merupakan bilangan positif terbesar. Kunci 1.a. Kasus Maksimisasi Variabel basis yang nilainya pada baris- merupakan bilangan negatif terbesar. Kunci 1.b. Kasus Minimisasi kolom kunci. Jika menentukan variabel keluar atau baris kunci abaikan rasio solusi yang bernilai nol dan negatif baik untuk kasus maksimisasi maupun minimisasi. 5. Bentuk tabel berikutnya mensubtitusikan variabel masuk ke variabel basis dan mengeluarkan variabel keluar dari kolom variabel basis serta lakukan transformasi baris-baris kolom termasuk baris-z. Transformasi baris kunci yang sekarang bervariabel basis baru dilakukan sebagai berikut. Sedangkan tranformasi baris-baris lainnya adalah: 6. Lakukan pengujian optimalisasi. Jika semua koefisien variabel basis pada baris-z sudah tidak ada lagi yang negatif untuk kasus maksimisasi atau sudah tidak ada lagi yang positif untuk kasus minimisasi, berarti solusi sudah optimal tidak perlu dibentuk tabel selanjutnya. Jika masih berarti solusi belum optimal ulangi lagi langkah ke-3 sampai ke-6. � � = � � � � � = � − � � × � � Contoh 2.7 Misal , , dalam unit adalah banyak jenis produk I, II, dan III yang akan diproduksi suatu perusahaan dan akan memaksimumkan keuntungan = + + dalam dengan kendala + + , + + , + + , , , model standar dari masalah tersebut adalah Memaksimumkan − − − = dengan kendala + + + � = , + + + � = , + + + � = , , , , � , � , � Model yang sudah standar ini bisa langsung diterjemahkan menjadi tabel pertama, dengan menempatkan variabel-variabel semu dalam hal ini variabel pengetat � , � serta � sebagai variabel-variabel basis. Pada tahap ini , dan merupakan variabel- variabel basis, sebab tidak tercantum pada kolom VB. Langkah kita yang berikut ini adalah menentukan variabel VB � � � � 1 -8 -9 -4 Persamaan - � 1 1 2 1 2 Persamaan - � � 2 3 4 1 3 Persamaan - � � 7 6 2 1 8 Persamaan - � Tabel 2.10.a. Simpleks Contoh 2.7 Masuk Paling negatif Keluar unsur kunci masuk dan variabel keluar agar dapat membentuk tabel berikutnya. Dalam kasus maksimisasi ini variabel masuknya adalah karena nilainya pada baris z paling negatif. Konsekuensinya, kolom merupakan kolom kunci. Dari sini bisa dihitung rasio solusi untuk masing- masing variabel basis. Rasio solusi untuk � adalah = , untuk � adalah = , untuk � adalah = , . Karena rasio solusinya paling kecil maka � merupakan variabel keluar dan konsekuensinya barisnya merupakan baris kunci. Karena telah ditentukannya baris kunci dan kolom kunci maka unsur kunci bisa ditetapkan, sehingga, VB � � � � 1 -8 -9 -4 � 1 1 2 1 2 Rasio Solusi = 2 � 2 3 4 1 3 Rasio Solusi = 1 terkecil � 7 6 2 1 8 Rasio Solusi = 1,333 Tabel 2.10.b. Simpleks Contoh 2.7 Transformasi baris kunci menggantikan � . 1 1 Transformasi nilai baris lainnya: Baris-z Baris - � Baris - � VB � � � � 1 -2 8 3 9 � 0 2 − 1 Rasio Solusi = 3 1 Rasio Solusi = � 0 3 -6 -2 1 2 Rasio Solusi = terkecil Tabel 2.11 Iterasi 1 karena nilai baris z dibawah variabel masih negatif, maka tabel belum optimal. Lanjutkan ke Iterasi-2, yaitu: Transformasi baris kunci menggantikan � . 1 -8 -9 -4 -9 1 − 1 -2 8 3 9 1 1 2 1 2 1 1 − 2 − 0 1 7 6 2 1 8 6 1 − 3 -6 -2 1 2 Transformasi nilai baris lainnya: Baris-z 1 -2 8 3 9 -2 -2 − − 4 Baris - � 1 1 2 1 2 1 -2 − − 1 − − Baris - Tabel 2.12 Iterasi 2 − − 1 -2 − 23 1 43 13 1 1 -2 − − 1 − VB � � � � 1 4 � 0 1 − − 1 − 1 -2 − Tabel sudah optimal, karena variabel-variabel pada baris-z sudah tidak ada lagi yang negatif, sehingga perhitungan iterasi di hentikan. Dari data diatas dapat diambil suatu kesimpulan yang dihasilkan pada solusi tahap terakhir dapat dibaca langsung dari tabel optimal. Baris-baris yang bersesuaian pada kolom VB dan kolom s menunjukan z = , � = , = dan = Berarti untuk mendapatkan keuntungan yang maksimum sebesar , maka perusahaan harus menghasilkan produk sebesar unit dan produk sebesar unit. Variabel semua yang tidak tercantum di kolom VB dalam tabel optimal mengandung arti bahwa semua kendala yang diwakilinya merupakan sumberdaya habis terpakai. Dalam hal ini kendala + + dan + + merupakan sumberdaya habis terpakai, melihat � dan tidak tercantum pada kolom VB. Sedangkan variabel semu yang tercantum di kolom VB mengandung arti bahwa kendala yang diwakilinya merupakan sumberdaya berlebih. Dalam hal ini sumberdaya berlebih adalah kendala + + , melihat � tercantum di kolom VB.

C. Penggunaan POM-QM