Grafik ini tidak mempunyai daerah layak dan juga tidak memiliki titik ekstrim yang dapat dibahas. Dengan
demikian tidak terdapat solusi optimal dalam ruang kelaakan. Jadi diperlukan stuktur model yang lain untuk
mencapai optimal.
2. Metode Simpleks
Persoalan program linear tidak selalu sederhana karena melibatkan banyak pembatas dan banyak variabel sehingga tidak
mungkin diselesaikan
dengan metode
grafik melainkan
menggunakan metode simpleks. Metode simpleks adalah suatu metode yang secara pemecahan basis yang layak ke pemecahan
basis yang layak lainnya dan ini dilakukan berulang-ulang dengan jumlah ulangan yang terbatas sehingga akhirnya tercapai sesuatu
pemecahan basis yang optimum dan pada setiap tahap menghasilkan suatu nnilai dari fungsi tujuan yang selalu lebih besar
y
x
Gambar 2.8 Grafik Solusi Tidak Layak
atau sama dengan tahap-tahap sebelumnya. Metode ini sangat berguna dalam menguraikan persoalan program linear dengan
variabel yang banyak maupun fungsi kendala yang banyak. Penentuan solusi optimal menggunakan metode simpleks
didasarkan pada teknik eleminasi Gauss Jordan. Penentuan solusi optimal dilakukan dengan memeriksa titik ekstrim satu per satu
dengan cara perhitungan iteratif, sehingga penentuan solusi optimal dengan simpleks dilakukan tahap demi tahap yang disebut dengan
iterasi. Iterasi ke-i hanya tergantung dari iterasi sebelumnya i-1. Pada metode simpleks dipekenalkan istilah standart form
atau bentuk siap simpleks, yang digunakan untuk menyusun tabel- tabel simpleksnya. Sebagai gambaran dapat dilihat pada metode
grafik yaitu terdapat satu atau beberapa titik potong yang merupakan suatu kumpulan solusi yang layak.
Yang harus diperhatikan adalah bahwa solusi basis yang layak merupakan suatu solusi dan kumpulan dari persamaan linear
kebanyakan persamaan program linear dengan fungsi kendalanya berbentuk ketidaksamaan. Munculnya kendala ketidaksamaan
dapat diubah ke dalam kendala persamaan. Dengan demikian suatu program linear semua kendalanya dinyatakan dalam bentuk
kendala persamaan dapat disebut juga sebagai bentuk siap simpleks.
Ada beberapa istilah yang digunakan dalam metode simpleks, diantaranya :
a
Iterasi adalah tahapan perhitungan dimana nilai dalam
perhitungan itu tergantung dari nilai tabel sebelumnya. b
Variabel non basis adalah variabel yang nilainya diatur
menjadi nol pada sembarang iterasi. Dalam terminologi umum, jumlah variabel non basis selalu sama dengan derajat bebas
dalam sistem persamaan. c
Variabel basis merupakan variabel yang nilainya bukan nol
pada sembarang iterasi. Pada solusi awal, variabel basis merupakan variabel pengetat jika fungsi kendala merupakan
pertidaksamaan ≤ atau variabel artifisial jika fungsi kendala
menggunakan pertidaksamaan ≥ atau =. Secara umum, jumlah variabel basis selalu sama dengan jumlah fungsi
pembatas tanpa fungsi non negatif. d
Solusi atau nilai kanan merupakan nilai sumber daya
pembatas yang masih tersedia. Pada solusi awal nilai kanan atau solusi sama dengan jumlah sumber daya pembatas awal
yang ada, karena aktivitas belum dilaksanakan. e
Variabel pengetat merepresentasikan sumber daya yang
mengganggur pada suatu fungsi kendala, variabel ini digunakan untuk ditambahkan dalam fungsi pertidaksamaan
≤, supaya dengan menambahkan variabel pengetat ini diperoleh
solusi fisibel awal initial feasible solution, sama dengan titik origin pada grafik.
f
Variabel semu mempresentasikan kekurangan sumber daya
pada suatu fungsi kendala, variabel digunakan untuk di
kurangkan dalam fungsi pertidaksamaan ≥, supaya dengan menambahkan variabel semu ini diperoleh solusi fisibel awal
initial feasible solution, sama dengan titik origin pada grafik. g
Variabel artifisial adalah variabel yang ditambahkan ke
model matematik ke ndala dengan bentuk ≥ atau = untuk
difungsikan sebagai variabel basis awal. Penambahan variabel ini terjadi pada tahap inisialisasi. Variabel ini harus bernilai 0
pada solusi optimal, karena kenyataannya variabel ini tidak ada.
h
Kolom pivot kolom kerja adalah kolom yang memuat
variabel masuk. Koefisien pada kolom ini akn menjadi pembagi nilai kanan untuk menentukan baris pivot baris
kerja. i
Baris pivot baris kerja adalah salah satu baris dari antara
variabel basis yang memuat variabel keluar. j
Elemen pivot elemen kerja adalah elemen yang terletak
pada perpotongan kolom dan baris pivot. Elemen pivot akan menjadi basis perhitungan untuk tabel simpleks berikutnya.
k
Variabel masuk adalah variabel yang terpilih untuk menjadi
variabel basis pada iterasi berikutnya. Variabel masuk dipilih satu dari antara variabel non basis pada setiap iterasi. Variabel
ini pada iterasi berikutnya akan bernilai positif. l
Variabel keluar adalah variabel yang keluar dari variabel
basis pada iterasi berikutnya dan digantikan oleh variabel masuk. Variabel keluar dipilih satu dari antara variabel basis
pada setiap iiterasi. Variabel ini pada iterasi berikutnya akan bernilai nol.
Sebelum melakukan perhitungan iteratif untuk menentukan solusi optimal, pertama sekali bentuk umum program linear
dirubah ke dalam bentuk siap simpleks terlebih dahulu. Bentuk siap simpleks dalam metode simpleks tidak hanya mengubah persamaan
kendala ke dalam bentuk sama dengan, tetapi setiap fungsi kendala harus diwakili oleh satu variabel basis awal. Variabel basis awal
menunjukkan status sumber daya pada kondisi sebelum ada aktivitas yang dilakukan. Dengan kata lain, variabel keputusan
semuanya masih bernilai nol. Dengan demikian, meskipun fungsi kendala pada bentuk umum program linear sudah dalam bentuk
persamaan, fungsi kendala tersebut masih harus tetap berubah. Ada beberapa hal yang harus diperhatikan dalam membuat
bentuk siap simpleks, yaitu:
a. Fungsi kendala dengan pertidaksamaan kurang dari atau sama
dengan .
Untuk pengkonversian ini dapat digunakan contoh kendala sebagai berikut. Seandainya pernyataan kendalanya adalah
+ −
mengubah ketidaksamaan ini harus ditambah dengan variabel pengetat sehingga kendala tersebut
menjadi +
− + � =
, dimana � . Variabel
pengetat � merepresentasikan sumber daya yang
menganggur pada suatu fungsi kendala. Variabel
� tidak berpengaruh pada fungsi tujuan. Koefisien dari
� pada fungsi tujuan sama dengan nol. Dengan kata lain, biaya untuk 50 unit dari sumber yang kurang atau
terbatas ini akan hilang. Setiap unit yang tersisa pun tidak akan berpengaruh terhadap fungsi tujuan dengan apapun yang ada.
Namun bila hal ini tidak terjadi maka kendala dan fungsi tujuannya harus dapat diformulasikan khusus untuk biaya dari
50 unit serta nilai dari setiap unit tidak terpakai b.
Fungsi kendala dengan pertidaksamaan lebih dari atau sama dengan
Untuk perubahan ini dapat digunakan contoh kendala sebagai berikut. Seandainya pernyataan kendalanya adalah
+ +
mengubah ketidaksamaan ini harus ditambah dengan variabel semu sehingga kendala tersebut
menjadi +
+ − � =
. Kita dapat menanggapi bahwa
� sebagai jumlah yang melebihi 15 unit dan dalam hal ini kendalanya dapat dikatakan mempengaruhi target atau
tujuan dari fungsi minimum pada fungsi tujuannya. Mengenai hal ini variabel semu tidak mempunyai
informasi tambahan.
Dapat juga
dinyatakan bahwa
koefisiennya adalah nol sehingga tidak berpengaruh pada fungsi tujuan. Setiap penambahan variabel semu pada fungsi
kendala dengan ketidaksamaan lebih besar atau sama dengan tidak dapat langsung diselesaikan pada tabel simpleks
tetapi harus ditambah lagi dengan variabel artificial untuk mendapatkan solusi optimal, sehingga kendala tersebut
menjadi +
+ − � + � =
. Dengan demikian pada setiap persoalan program linear
dengan fungsi-fungsi kendala lebih besar atau sama dengan akan selalu digunakan variabel semu dan juga variabel
artifisial untuk mendapatkan solusi yang optimal dari perhitungan di dalam tabel simpleks.
c. Fungsi kendala dengan Persamaan =.
Untuk menguraikan perubahan fungsi kendala persamaan atau sama dengan dapat juga digunakan contoh fungsi kendala
+ +
= . Untuk mengkonversi fungsi kendala
ini harus ditambahkan Artificial variable yang dinyatakan
dengan +
+ + � =
. Dengan begitu kita dapat menganggap bahwa
� merupakan jumlah yang mengurangi atau sama dengan 25 unit dari fungsi kendala. Artificial
variable ini secara fisik tidak mempunyai arti dan hanya digunakan untuk kepentingan perhitungan saja.
Metode simpleks ini lebih efisien dan dilengkapi dengan kolom ratio yang dapat memberitahukan bilamana perhitungan
harus dihentikan dan juga bilamana dilanjutkan hingga diperoleh solusi yang optimal. Selanjutnya untuk proses pembentukan basis
tersebut dipergunakan tabel-tabel yang pertama akan memberikan pemecahan basis daerah layak yang pertama sampai pada
pemecahan terakhir yang memberikan solusi yang optimal. Penguraian kasus program linear dapat juga dinyatakan dengan
system persamaan kendala yang dibentuk melalui penambahan variabel seperti variabel pengetat yang berguna bagi solusi basis.
Hal ini dapat juga ditunjukkan sebagai berikut. Secara umum rumusan model yang standar untuk metode
simpleks dengan tabel berkolom variabel basis sebagai berikut. memaksimumkan
− −
− − −
= dengan kendala:
+ +
+ + ± � =
+ +
+ + ± � =
+ +
+ + ± � =
+ +
+ + ± � =
Bentuk tabelnya dapat disajikan sebagai berikut Dumairy:2005:362.
Berikut keterangan tabel metode simpleks diatas: 1.
Kolom Variabel Basis VB Kolom ini berisi variabel-variabel basis atau disebut juga
dengan variabel-variabel tidak nol, yaitu variabel-variabel yang nilainya ditunjukan oleh konstanta-konstanta yang
bersesuaian di kolom �. Pada solusi awal atau tabel pertama
kolom VB ini berisi semua variabel semu. Pada tahap-tahap berikutnya veriabel-variabel yang termuat di kolom ini akan
berganti-ganti kecuali z yang ada dari solusi awal hingga solusi akhir. Variabel-variabel lain yang tidak tercantum di kolom ini
dinamakan variabel-variabel basis atau variabel nol. 2.
Kolom-kolom variabel Kolom ini berisi koefisien-koefisien dari masing-masing
variabel dalam persamaan yang bersesuaian yaitu untuk
variabel-variabel asli dan 0 atau 1 untuk variabel-variabel
semu � untuk tabel pertama.
VB � �
� �
Persamaan –
�
1
Persamaan - �
�
1
Persamaan - �
�
1
Persamaan - �
Tabel 2.9 Tabel Metode Simpleks
3. Kolom �
Kolom � solusi ini berisi nilai-nilai ruas kanan dari
persamaan-persamaan implisit yang terdapat di dalam model baik persamaan fungsi tujuan maupun persamaan-persamaaan
fungsi kendala. Angka-angka yang tercantum di kolom ini mencerminkan nilai z dan nilai-nilai variabel basis pada tahap
solusi yang bersangkutan. Langkah-langkah pengerjaan program linear dengan metode
simpleks dengan tabel berkolom variabel basis adalah sebagai berikut.
1. Membentuk masalah program linear menjadi bentuk
kanonik yaitu kendalanya harus berbentuk persamaan, dengan menambahkan variabel pengetat, variabel semu
dan sehingga memenuhi bentuk siap simpleks
program linear. 2.
Bentuk tabel pertama dengan menetapkan semua variabel semu sebagai variabel basis.
3. Tentukan satu variabel masuk entering variable di antara
variabel-variabel basis yang ada untuk dijadikan variabel basis dalam tabel berikutnya. Menentukan kunci 1 yaitu:
Pada program POM-QM untuk kunci satu adalah sebagai berikut.
4. Tentukan satu variabel keluar diantara variabel-variabel
basis yang ada untuk menjadi variabel basis dalam tabel berikutnya. Menentukan kunci 2 yaitu:
Kolom yang mengandung variabel masuk dinamakan kolom kunci, sedangkan baris yang mengandung variabel
keluar dinamakan baris kunci. Unsur di dalam tabel yang merupakan perpotongan antara baris kunci dan kolom
kunci dinamakan unsur kunci. Variabel masuk akan menggantikan variabel keluar dalam tabel yang berisi
variabel basis berikutnya. Rasio solusi adalah hasil bagi dari konstanta pada kolom
� dengan unsur sebaris pada
Variabel basis yang nilainya pada baris- merupakan bilangan negatif terbesar.
Kunci 1.a. Kasus
Maksimisasi
Variabel basis yang nilainya pada baris- merupakan bilangan positif terbesar.
Kunci 1.b. Kasus
Minimisasi
Variabel basis yang memiliki rasio solusi dengan nilai positif terkecil.
Kunci 2 Variabel basis yang nilainya pada baris-
merupakan bilangan positif terbesar. Kunci 1.a.
Kasus Maksimisasi
Variabel basis yang nilainya pada baris- merupakan bilangan negatif terbesar.
Kunci 1.b. Kasus
Minimisasi
kolom kunci. Jika menentukan variabel keluar atau baris kunci abaikan rasio solusi yang bernilai nol dan negatif
baik untuk kasus maksimisasi maupun minimisasi. 5.
Bentuk tabel berikutnya mensubtitusikan variabel masuk ke variabel basis dan mengeluarkan variabel keluar dari
kolom variabel basis serta lakukan transformasi baris-baris kolom termasuk baris-z.
Transformasi baris kunci yang sekarang bervariabel basis baru dilakukan sebagai berikut.
Sedangkan tranformasi baris-baris lainnya adalah:
6. Lakukan pengujian optimalisasi. Jika semua koefisien
variabel basis pada baris-z sudah tidak ada lagi yang negatif untuk kasus maksimisasi atau sudah tidak ada lagi
yang positif untuk kasus minimisasi, berarti solusi sudah optimal tidak perlu dibentuk tabel selanjutnya. Jika masih
berarti solusi belum optimal ulangi lagi langkah ke-3 sampai ke-6.
� �
= �
� � �
� =
� −
� � × �
�
Contoh 2.7
Misal , , dalam unit adalah banyak jenis
produk I, II, dan III yang akan diproduksi suatu perusahaan dan akan memaksimumkan keuntungan
= +
+
dalam dengan kendala
+ +
,
+ +
,
+ +
,
, ,
model standar dari masalah tersebut adalah Memaksimumkan
− −
− =
dengan kendala
+ +
+ � = , +
+ +
� = , +
+ + � = , , , , � , � , �
Model yang sudah standar ini bisa langsung diterjemahkan
menjadi tabel
pertama, dengan
menempatkan variabel-variabel semu dalam hal ini variabel pengetat
� , � serta � sebagai variabel-variabel basis.
Pada tahap ini ,
dan merupakan variabel-
variabel basis, sebab tidak tercantum pada kolom VB. Langkah kita yang berikut ini adalah menentukan variabel
VB � � �
�
1 -8
-9 -4
Persamaan - �
1 1
2 1
2
Persamaan - �
�
2 3
4 1
3
Persamaan - �
�
7 6
2 1
8 Persamaan -
�
Tabel 2.10.a. Simpleks Contoh 2.7
Masuk Paling negatif
Keluar unsur kunci
masuk dan variabel keluar agar dapat membentuk tabel berikutnya. Dalam kasus maksimisasi ini variabel
masuknya adalah karena nilainya pada baris z paling
negatif. Konsekuensinya, kolom merupakan kolom
kunci. Dari sini bisa dihitung rasio solusi untuk masing- masing variabel basis. Rasio solusi untuk
� adalah = , untuk � adalah = , untuk � adalah
= ,
. Karena rasio solusinya paling kecil maka
� merupakan variabel keluar dan konsekuensinya barisnya merupakan
baris kunci. Karena telah ditentukannya baris kunci dan kolom
kunci maka unsur kunci bisa ditetapkan, sehingga,
VB � � �
�
1 -8
-9 -4
�
1 1
2 1
2
Rasio Solusi = 2
�
2 3
4 1
3
Rasio Solusi = 1 terkecil
�
7 6
2 1
8
Rasio Solusi = 1,333
Tabel 2.10.b. Simpleks Contoh 2.7 Transformasi baris kunci
menggantikan � .
1 1
Transformasi nilai baris lainnya: Baris-z
Baris - �
Baris - �
VB �
� �
�
1 -2
8 3
9
� 0
2 −
1 Rasio Solusi = 3
1 Rasio Solusi =
� 0 3
-6 -2
1 2
Rasio Solusi = terkecil
Tabel 2.11 Iterasi 1
karena nilai baris z dibawah variabel masih negatif,
maka tabel belum optimal. Lanjutkan ke Iterasi-2, yaitu: Transformasi baris kunci
menggantikan � .
1 -8
-9 -4
-9 1
−
1 -2
8 3
9
1 1
2 1
2 1
1
−
2 − 0
1
7 6
2 1
8 6
1
−
3 -6
-2 1
2
Transformasi nilai baris lainnya: Baris-z
1 -2
8 3
9 -2
-2
−
−
4
Baris - �
1 1
2 1
2 1
-2
− −
1 − −
Baris -
Tabel 2.12 Iterasi 2
− −
1 -2
−
23 1
43 13
1 1
-2 −
−
1 −
VB � �
� �
1 4
� 0
1 − −
1 −
1
-2 −
Tabel sudah optimal, karena variabel-variabel pada baris-z sudah tidak ada lagi yang negatif, sehingga perhitungan
iterasi di hentikan. Dari data diatas dapat diambil suatu kesimpulan yang
dihasilkan pada solusi tahap terakhir dapat dibaca langsung dari tabel optimal. Baris-baris yang bersesuaian
pada kolom VB dan kolom s menunjukan z = ,
� = ,
= dan = Berarti untuk mendapatkan
keuntungan yang maksimum sebesar , maka
perusahaan harus menghasilkan produk sebesar
unit dan produk
sebesar unit.
Variabel semua yang tidak tercantum di kolom VB dalam tabel optimal mengandung arti bahwa semua
kendala yang diwakilinya merupakan sumberdaya habis terpakai. Dalam hal ini kendala
+ +
dan +
+ merupakan sumberdaya habis
terpakai, melihat � dan tidak tercantum pada kolom
VB. Sedangkan variabel semu yang tercantum di kolom VB mengandung arti bahwa kendala yang diwakilinya
merupakan sumberdaya
berlebih. Dalam
hal ini
sumberdaya berlebih adalah kendala
+ +
, melihat
� tercantum di kolom VB.
C. Penggunaan POM-QM