PENAKSIRAN SELANG DAN PENGUJIAN HIPOTESIS

42 Kareana 1 adalah fungsi liniir dari u i , dan u i terdistribusi normal, maka 1 juga terdistribusi normal, dengan demikian Y i terdistribusi normal juga. Rerata : = + 1 34 = � 2 35 atau + 1 , � 2 36

BAB 4 PENAKSIRAN SELANG DAN PENGUJIAN HIPOTESIS

REGRESI DUA PEUBAH Penaksiran Selang Diperoleh kecenderungan konsumsi marjinal MPC yang ditaksir 1 = 0,5091 , yang merupakan taksiran tunggal dari MPC populasi 1 yang tak diketahui. Sampek di mana ini bisa dipercaya ? Dalam statistic, penaksir dapat dipercaya diukur dengan kesalahanstandar se atau varians nya . Jadi penaksir itu harus berada di selang tertentu atau selang di sekitar parameter sebenarnya , misalnya dalam 2 atau 3 se. Asumsikan ingin diketahui seberapa “dekat”, misalnya 1 terhadap 1 . 43 mikian sehingga probabilitas bahwa selang 1 − , 1 + berisi mengandung 1 .sebenarnya adalah 1 − . Atau 1 − ≤ 1 . ≤ 1 + = 1 − 37 Kalau selang ini ada disebut selang keyakinan confidence interval; 1 − disebut koefisien keyakinan;dan disebut tingkat penting level of signi ficance . Titik ujung selang keyakinan disebut batas keyakinan confibence limits nilai kritis, 1 − sebagai batas keyakinan bawah dan 1 + sebagai batas atas keyakinan. Dalam praktek digunakan 100 100 1 − persen.

4.1 Distribusi Normal, t, � dan F : Sebuah Penyimpangan

Beberapa distribusi yang berhubungan dengan distribusi Normal. Teorema 1 : Jika , 2 , … , peubah random yang didistribusikan se cara bebas dan normal sedemikian sehingga 1 , � 2 , maka jum lah = , di mana konstan tidak semua nol, juga didistribusi kan secara normal dengan rerata dan varians 2 � 2 ; yaitu , 2 � 2 . Teorema 2: Jika , 2 , … , peubah random yang didistribusikan se cara bebas dan normal sedemikian sehingga 0,1 , yaitu peubah 44 drat dengan derajat kebebasan N. menggunakan symbol, 2 � 2 , di mana N menggambarkan derajat kebebasan nya df. Teorema 3:Jika , 2 , … , peubah random yang didistribusikan se cara bebas masing-masing mengikuti suatu distribusi Chi-kudrat de ngan derajat kebebasan , maka jumlah juga mengikuti distribusi Chi-kuadrat dengan = df, derajat kebebasan. Teorema 4:jika Z 1 peubah yan distandardisir 0,1 dan peu bah lain Z 2 menkikuti distribusi Chi-kuadrat dengan derajat kebebasan k dan bebas terhadap Z 1, peubah tadi didefinisikan sebagai = 1 2 = 1 2 38 mengikuti distribusi Student t dengan derajat kebebasan k. Teorema 5 : Jika Z 1 dan Z 2 peubah Chi –kuadarat yang didistribusikan secara bebas dengan derajat kebebasan berurut-urut k 1 dan k 2 , maka peubah = 1 1 2 2 39 mempunyaidistribusiF dengan k 1 dan k 2 . 45 4.2 Selang Keyakinan Untuk Koefisien Regresi � dan � Jadi misalnya, peubah = 1 − 1 1 = 1 − 1 2 � 40 adalah peubah normal yang distandardisir. Distribusi Normal dapat digunakan untuk membuat pernyataan probabilistic 1 asalkan varians populasi yang sebenarnya � 2 diketahui. Jika � 2 diketahui, sifst penting peubah yang didistribusikan secara normal dengan rerata dan varians � 2 , bahwa luas di bawah kurva normal antara ± � kira-kira 68, antara batas ± 2 � kira-kira 95, dan antara � ± �kira-kira 99,7. Tapi � 2 jarang diketahui, dalam praktek ditentukan dengan penaksir tak bias � 2 . Dengan menggantikan � dengan � , persamaan 40 menjadi = 1 − 1 2 � 41 di mana 1 sekarang menyatakan kesalahan standar yang ditaksir. Persamaann 41 diturunkan sbb.: Misalkan 2 = − 2 � 2 � 2 dan 1 persamaan 40. Asalkan � diketahui, 1 mengikuti distribusi normal yang distandardisasikan ; yaitu 1 ~ 0,1 . 2 mengikuti distribusi Chi-kuadrat dengan = − 2. Dengan Teorema 4, diperoleh peubah 46 = 1 −2 2 Substitusi 1 2 diperoleh 41. Ditunjukkan bahwa peubah t mengikuti distribusi t dengan derajat kebebasan − 2. Jadi distribusi normal tak digunakan, jadi selang keyakinan untuk 1 sbb. : − 2 ≤ ≤ 2 = 1 − 42 di mana 2 adalah nilai peubah t yang diperoleh dari distribusi t untuk tingkat arti penting, signifikan 2 dan derajat kebebasan − 2. substitusi 41 ke 42 diperoleh − 2 ≤ 1− 1 1 ≤ 2 = 1 − 43 atau 1 − 2 1 ≤ 1 ≤ 1 + 2 1 = 1 − 44 Dengan 1 = 0,5091, 1 = 0,0357, = 8,. Jika diasumsikan = 5, 95 , maka tabel t menunjukkan bahwa derajat kebebasan 8, 2 = 0,025 = 2,306. Substitusi ke 44 diperoleh : 0,4268 ≤ 1 ≤ 0,5194 Interpretasinya : dengan koefisien keyakinan 95, dalam jangka panjang, da lam 95 dari 100 kejadian ,selang seperti 0,4628 , 0,5914 akan berisi sebe narnya. 47 4.3 Selang Keyakinan untuk � Di bawah asumsi kenormalan, peubah � 2 = − 2 � 2 � 2 45 mengikuti distribusi � 2 dengan derajat kebebasan − 2 df. Jadi menggunakan distribusi � 2 untuk menetapkan selang keyakinan untuk � 2 : � 1 − 2 2 ≤ � 2 ≤ � 2 2 = 1 − 46 di mana � 1 − 2 2 � 2 2 diperoleh dari Tabel Chi-kuadrat untuk derajat kebebasan − 2sehingga kedua nilai ini memotong 100 2 persen daerah ujung distribusi � 2 . Substitusi 45 ke 46 diperoleh : − 2 � 2 � 1 − 2 2 ≤ � 2 ≤ − 2 � 2 � 2 2 = 1 − 47 yang memberikan 100 1 − persen selang keyakinan untuk � 2 . 2,5 2,5 95 � 2 e p ad atan 48 Dari perhitungan diperoleh � 2 = 42,1591 dan derajat kebebasan 8. Jika = 5 , Tabel Chi-kuadrat memberi nilai kritis � 0,025 2 = 17,5346dan � 0,975 2 = 2,1797 . Nilai-nilai ini menunjukkan bahwa probabilitas nilai Chi- kuadrat melebihi 17,5346 adalah 2,5 dan probabilitas 2,1797 adalah 97,5. Substitusi data ke 47 diperoleh 19,231 ≤ � 2 ≤ 154,7038 4.4 Pengujian Hipotesis : Pendekatan Selang Keyakinan Untuk menggambarkan selang keyakinan, digunakan contoh terda hulu, konsumsi-pendapatan. Di sini, MPC yang ditaksir 1 = 0,5091. Missal sekarang diasumsikan : 1 = 0,3 1 : 1 ≠ 0,3 49 tif adalah hipotesis gabungan. Apakah 1 yang diamati sesuai dengan H ? Selang jangka panjang seperti diperoleh sebelumnya 0,4268 , 0,5914 akan memuat 1 sebenarnya dengan probabilitas 95. Dalam jangka panjang penyampelan berulang selang demikian memberikan sebuah jangkauan range atau batas-batas mana 1 mungkin terletak, ddengan koefisien keyakinan misalnya 95. Jadi selang keyakinan tadi memberikan sekelompok hipotesis nol yang masuk akal. Karenanya, jia 1 dalam H berada dalam selang keyakinan 100 1 − per sen, Anda bisa menerima H , jika 1 terletak di luar selang, Anda akan meno laknya. Jadi, pendekatan selang keyakinan terhadap pengujian hipotesis terdiri dari pertama mendapatkan selang-keyakinan yang sesuai dankemudian menguji apakah nilai dalam H terletak di dalam atau di luar selang. Untuk contoh hipotesis, : 1 = 0,3jelas terletak di luar selang keyakinan 95 untuk 1 . Jadi hipotesis tadi ditolak; probabilitas untuk mengamati 1 seperti itu dengan 1 = 0,3 urang dari 2,5. 4.5 Pengujian Hipotesis : Pendekatan Pengujian Tingkat-Penting Test-of Significance Melengkapi metode selang-keyakinan pengujian hipotesis statistic dengan pendekatan pengujian tingkat tingkat penting di sepanjang garis yang independen oleh R.A.FISHER dan NEYMAN dan PEARSON. Pengujian tingkat-penting adalah prosedur dengan mana hasil sampel digunakan untuk menguji kebenaran atau kepalsuan sebuah hipotesis nol. Ide dasar di belakang pengujian tingkat penting adalah pengujian atas statistic uji estimator dan distribusi sampling statistic seperti itu dalam hipotesis nol. Keputusan untuk menerima atau menolak H dibuat atas dasar nilai statistic uji yang diperoleh dari data yang dimiliki. 50 = 1 − 1 2 � mengikuti distribusi t dengan derajat kebebasan − 2. Jika nilai 1 sebenarnya yang dispesifikasikan dalam hipotesis nol, nilai t da pat segera dihitung dari sampel yang tersedia. Dan karenanya dapat berlaku se bagai statistic uji. Karena statistic uji ini mengikuti distribusi t, pernyataan mengenai selang-ke yakinan spt.berikut ini dapat dibuat : − 2 ≤ 1 − 1 ∗ 1 ≤ 2 = 1 − 48 di mana 1 ∗ adalah nilai 1 dalam H dan di mana − 2 2 adalah nilai t yang diperoleh dari Tabel t untuk tingkat penting 2 dan derajat kebebasan − 2 . Mengatur kembali 48 diperoleh 1 ∗ − 2 1 ≤ 1 ≤ 1 ∗ + 2 1 = 1 − 49 yang memberikan selang dalam mana 1 akan berada dengan probabilitas 1 − , dengan mengingat 1 = 1 ∗ . Dalam Bahasa pengujian hipotesis selang keyakinan 100 1 − persen yang dietapkan dalam 49 dikenal sebagai daerah penerimaan dari 51 daerah-dae rahpenolakan dari H atau daerah daerah-daerah kritis. Batas keyakinan, titik ujung selang-keyakinan, juga disebut nilai-nilai kritis. Dalam prosedur selang-keyakinan Anda mencoba untuk menetapkan batas dalam mana nilai 1 yang sebenarnya tetapi tak diketahui letaknya, sedangkan dalam pengujian tingkat penting Anda menghipotesiskan beberapa nilai untuk 1 dan mencoba untuk melihat apakah 1 yang dihitung terletak dalam batas keyakinan yang layak di sekitar nilai yang dihipootesiskan. Kembali pada Contoh sebelumnya, konsumsi-pendapatan. Diketahui � = , � � , � = 0,0357 , dan derajat kebebasan = 8. Asumsikan = 5 , 2 = 2,306. Misalkan : 1 = 1 ∗ = 0,3 1 : 1 ≠ 3, menjadi 0,2177 ≤ � ≤ 0,3823 = 0,95 perhatikan Gambar, Daerah kritis 2,5 � = , � � � � � � � , � 0,3823 0,2177 � � K e p ad atan Gambar Selang keyakinan 95 untuk � dengan hipote sis bahwa � = , Daerah kritis 2,5 = 5,86 2,5 K e p ad atan 52 Dapat pula dihitung nilai t di tengah ketidaksamaan ganda 48 dan melihat apakah t tadi terletak antara nilai-nilai t kritis atau di luarnya. = 0,5091 −0,3 0,0357 = 5,86 yang terletak dalam daerah kritis Gambar di atas; Kesimpulan menolak H . Dalam bahasa pengujan tingkat arti, sebuah statistic dikatakan penting secara statistic statistically significant jika nilai statistic uji terletak dalamdaerah kritis. Dalam kasus ini hipotesis nol ditolak. Dikatakan secara statistictidak penting jika nilai statistic uji terletak dalam daerah penerimaan . Hipotesis Nol diterima. Pengujan di atas disebut pengujian dua-sisi two-sided, atau dua ujung two-tail karena menunjukkan kedua ujung ekstrim distribusi probabilitas yang relevan, daerah penolakan, dan menolak hipotesis nol jika terletak di ujung manapun. Ini karena H 1 merupakan hipotesis gabungandua ujung, 1 : 1 ≠ 3, baerarti 1 bisa lebih besar atau kurang dari 0,3. Tetapi jika 1 : 1 0,3 , merupakan satu ujung. Batas atas keyakinan atau nilai kritis sekarang bersesuaian dengan 53 Perhatikan peubah berikut : � 2 = − 2 � 2 � 2 dengan hipotesis di atas, � 2 = 42,1591 dan derajat kebebasan 8. Jika didalil kan : � 2 = 85 lawan 1 : � 2 ≠ 85, persamaan di atas memberikan statistic uji untuk H . Substitusi nilai yang sesuai ke dalam persamaan diperoleh H 0, � 2 = 3,97 . Asumsikan = 5, nilai � 2 kritis adalah 2,1797 dan 17,5346. Karena � 2 dihitung terletak antara batas-batas ini, data mendukung hipotesis nol dan dapat diterima. Pengujian ini disebut pengujian tingkat penting Chi-kuadrat. 0,3664 0,3 K e p ad atan 95 Daerah Penerimaan 1 = 0,5091 terletak dalam daerah kritis 5 1 1 54 4.2 Analisis Regresi dan Analisis Varians Analisis regresi dari segi pandangan anlisis varians melengkapi masa lah inferensi yang bersifat statistic. Di depan telah diperoleh identitas : 2 = 2 + 2 = 1 2 2 + 2 55 jumlah kuadrat yang dijelaskan ESS dan kuadrat residual RSS. Studi ini disebut analisis varians ANOVA dari sudut pandang regresi. Berkaitan dengan tiap jumlah kuadrat adalah derajat kebebasan df banyaknya pengamatan independen yang mendasarinya. TSS mempunyai derajat kebebasan − 1 karena kehilangan 1 derajat kebebas an dalam menghitung rerata sampel . RSS memiliki derajat kebebasan − 2 .Ini hanya benar untuk model regresi 2 peubah termasuk intersep . ESS mempunyai 1 derajat kebebasan hanya benar untuk kasus 2 peubah, karena = 1 2 2 adalah fungsi dari 1 saja karena 2 diketahui. Peubah berikut diperoleh dari Tabel ANOVA , = = 1 2 2 2 −2 50 Persamaan 50 dapat diturunkan sbb.: Persaman 40 menunjukkkan bahwa 1 ~ 0,1 . Mengunakan Teorema 2, diperoleh, kuantitas 2 == 1− 1 2 � 2 2 = 1− 1 2 2 �2 Mengikuti distribusi � 2 dengan derajat kebebasan 1. 56 2 = −2 � 2 � 2 = 2 � 2 juga mengikuti distribusi � 2 dengan derajat kebebasan − 2 . 2 didistribusikan secara independen dari 1 . Maka menerapkan Teprema 5, diperoleh = 21 2 −2 = 1 − 1 2 2 2 −2 mengikuti distribusi F dengan derajat kebebasan berurut-urut 1 dan − 2 . Dengan anggapan berlaku hipotesis nol : 1 = 0, F rasio bisa disederhana kan menjadi persamaan 50 = 1 2 2 2 −2 Tabel ANOVA model regresi dua-peubah Sumber variasi SS df MSS = SSdf Akibat Regresi ESS 2 = 1 2 2 1 1 2 2 Akibat residual RSS 2 N –2 2 − 2 = � 2 57 Dengan asumsi gangguan disturbance u i didistribusikan secara nor mal dan : 1 = 0, dapat ditunjukkan bahwa F dari 50 memenuhi kondisi Teorema 5.5 dan karenanya mengikuti distribusi F dengan derajat kebebbasan 1 dan N –2. Dari 50 dapat ditunjukkan 1 2 2 = � 2 + 1 2 2 51 dan 2 −2 = � 2 = � 2 52 Pada ruas kanan 51 dan 52 parameter yang muncul 1 dan � 2 adalah yang sebenarnya. Jika pada kenyataannya 1 adalah nol, maka kedua persamaan memberikan taksiran yang identic � 2 . Dalam situasi ini, peubah yang menjelaskan X sama sekali tidak mempunyai pengaruh liniir atas Y dan seluruh variasi dalam Y dijelaskan oleh gangguan random u i . Oleh karena itu , rasio F memberikan sebuah pengujian hipotesis nol : 1 = 0 . F dapat dihitung dari sampel yang tersedia, dan membandingkannya dengan nilai F kritis dari Tabel F. Ada hubungan yang menarik antara pengujian tingkat penting F dengan pengujian t yang dijumpai sebelumnya. Bahwa, kuadrat nilai t dengan derajat kebebasan N –k adalah nilai F dengan derajat kebebasan 1 dan N –k . Derajat kebebasan pembilang rasio F harus 1 supaya pernyataan benar. 58 menerapkan nilai t yang diperoleh adalah 14,26. Nilai t ini mempunyai derajat kebebasan 8. Dengan hipotesis yang sama nilai F adalah 202,87 dengan derajat kebebasan 1 dan 8. Jadi 14,26 2 = nilai F. Soal 1. Menggunakan soal no.7 BAB 2 a Hitung kesalahan standar se taksiran parameter dan taksir � 2 . b Tetapkan selang keyakinan 95 untuk , 1 , � 2 . c Uji hipotesis berikut pada tingkat penting 5 : i 1 = 0, ii = 0 d Dapatkah Anda menguji hipotesis bahwa = 1 secara simultan de ngan menggunakan pengujian t ? Kenapa tidak ? 2. Tabel ANOVA untuk soal n0.6 BAB 2 adalah sbb.: Sumber variasi SS df MSS Karena regresi 2,153 1 2,153 Karena residual 1,144 11 0,104 Total 3297 12 Atas dasar data tadi, ujilah hipotesis nol bahwa tingkat keluarnya kar yawan tidak berhubungan secara liniir dengan tingkat pengangguran. 3. Tabel berikut ini memberikan indeks kompensasi per jam dan hasil per jam yaitu, produktivitas tenaga kerja untuk sector ekonomi swasta total AS untuk periode 1971-2 sampai 1975-4 59 Indeks kompensasi per jam 1967 =100 Indeks hasil per jam 1967 -100 1971-2 131,0 107,0 -3 133,3 108,4 4 134,1 107,9 1972-1 137,3 109,0 -2 138,9 110,6 -3 140,4 114,4 -4 143,0 113,1 1973-1 147,6 114,4 -2 149,5 113,2 -3 152,1 113,3 -4 155,5 113,2 1974-1 158,4 111,7 -2 163,4 111,0 -3 168,2 110,5 -4 172,1 109,4 1975-1 176,6 109,8 -2 179,3 114,4 -3 182,3 114,0 -4 185,6 114,3 a Gunakan model regresi liniir yang sesuai untuk mengetahui apakah ada hubungan antara produktivitas tenaga kerja rerata dan kompensasi rera ta. Petunjuk : Petakan lebih dulu diagram pencarnya b Gunakan pengujian t dan F untuk menguji hipotesis bahwa tidak ada hubungan antara produktivitas dengan kompensasi. 4. Tunjukkan bahwa koefisien determinasi r 2 yang didefinisikan dalam 26 dapat juga dihitung sbb.: 2 = − − 2 − 2 − 2 60 = 2 2 2 di mana Y i = Y sebenarnya, = , dan = = . Dengan menggunakan kata-kata, koefisien determinasi r 2 adalah kuadrat koefisien korelasi antara Y sebenarnya dan Y taksiran. Petunjuk : Terapkan definisi r yang diberikan dalam 29 dan ingat bahwa = + = 2 . Catatan : Hubungan tadi berlaku bahkan jika ada lebih dari satu peubah yang menjelaskan explanatory variable dalam model; yaitu hubungan tadi berlaku untuk model regresi majemuk berganda. 5. R.A.Fisher telah mendapatkan distribusi sampling koefisien korelasi yang didefinisikan dalam 29. Jika diasumsikan bahwa peubah X dan Y didistribusikan secara normal gabungan jointly normally distributed, yaitu bila peubah-peubah tadi berasal dari distribusi normal bivariate , maka dengan asumsi, maka dengan asumsi bahwa koefisien korelasi un tuk populasi � = 0, dapat ditunjukkan bahwa = − 2 1 − 2 mengikuti distribusi Student t dengan derajat kebebasan df sebesar − 2 . Tunjukkan bahwa nilai t ini indentik dengan nilai t yang diberikan dalam 41 dengan mengingat berlakunya hipotesis nol bahwa 1 = 0. Jadi tentukan bahwa dengan hipotesis nol yang sama = 2 . 6. Garis pasar modal capital market line,CML dari teori portofolio men dalilkan sebuah hubungan liniir antara tingkat hasil yang diharapkan dan risiko diukur dengan deviasi standarnyaa0 untuk portofolio yang efisien sbb.: = + 1 � di mana = dan � = . Berikut tingkat hasil yang diharapkan dan deviasi standar dari 10 portofolio dana bersama mutual fund di AS untuk periode 1954-1963. Periksa apakah data tsb. Mendukung teori, 61 Tingkat hasil tahunan rerata, Deviasi standar ting kat hasil tahunan, Boston Fund 12,4 12,1 Delaware Fund 14,4 21,4 Equity Fund 14,6 18,7 Fundamental Investors 16,0 21,7 Investors Mutual 11,3 12,4 Loomins-Sales Mutual Fund 10,0 10,4 Massashusetts Investors Trust 16,2 20,6 New England Fund 10,4 10,2 Putnam Fund of Bos ton 13,1 16,0 Wellington Fund 11,3 12,0 7. Misalkan persamaan indifference curve antara dua barang adalah: = + 1 Bagaimana Anda akan menaksir parameter model ini? Gunakan model tadi terhadap data berikut dan berikan komentar atas hasil Anda : Konsumsi barang X : 1 2 3 4 5 Konsumsi barang Y : 4 3,5 2,8 1,9 0,8

BAB 5 ANALISIS REGRESI MAJEMUK BERGANDA: