Teorema (Penjabaran dari definisi)

Turunan Fungsi Aljabar
A. Turunan sebagai Limit Fungsi

𝑓(𝑡)

∆𝑡 = 𝑡2 − 𝑡1 jika dan hanya jika 𝑡2 = ∆𝑡 + 𝑡1

𝑚=
=

=

𝑓(𝑡2 )−𝑓(𝑡1 )

𝑡2 −𝑡1
𝑓(∆𝑡+𝑡1 )−𝑓(𝑡1 )

∆𝑡
𝑓(∆𝑡+𝑡1 )−𝑓(𝑡1 )

= lim

∆𝑡→0

= 𝑓′(𝑡1 )

𝑚 = lim

, karena melengkung maka

∆𝑡
𝑓(∆𝑡+𝑡1 )−𝑓(𝑡1 )

∆𝑥→0

∆𝑡

𝑓(∆𝑥+𝑥)−𝑓(𝑥)

= 𝑓′(𝑥)

𝑓′(𝑥) = lim

∆𝑥→0

∆𝑥

𝑓(∆𝑥+𝑥)−𝑓(𝑥)
∆𝑥

Definisi (Pengertian)
Misalkan fungsi 𝑓: 𝑆 → 𝑅 dan 𝑆 ⊆ 𝑅, maka fungsi 𝑓 dapat diturunkan di titik 𝑥 jika
𝑓(∆𝑥+𝑥)−𝑓(𝑥)
𝑑𝑓(𝑥)
𝑑𝑦
dan hanya jika lim
ada. Turunan dapat dinotasikan 𝑓′(𝑥), 𝑦′,
, atau .
∆𝑥→0

∆𝑥

Contoh: Jika diketahui 𝑓(𝑥) = 3𝑥 2 , maka tentukan 𝑓′(𝑥)!
Diketahui: 𝑓(𝑥) = 3𝑥 2
Ditanya: 𝑓′(𝑥) ?
Jawab: 𝑓(𝑥) = 3𝑥 2
𝑓(∆𝑥) = 3(∆𝑥)2
𝑓(𝑥 + ∆𝑥) = 3(𝑥 + ∆𝑥)2
1

𝑑𝑥

𝑑𝑥

𝑓(∆𝑥 + 𝑥) − 𝑓(𝑥)
∆𝑥→0
∆𝑥
3(𝑥+∆𝑥)2 −3𝑥 2
= lim

𝑓′(𝑥) = lim

∆𝑥→0

= lim

∆𝑥→0

= lim

∆𝑥→0

= lim

∆𝑥→0

= lim

∆𝑥→0

= lim

∆𝑥→0

= lim

∆𝑥→0

= lim

∆𝑥→0

∆𝑥
3(𝑥+∆𝑥)(𝑥+∆𝑥)−3𝑥 2

∆𝑥
3(𝑥 2 +2𝑥∆𝑥+∆𝑥 2 )−3𝑥2

∆𝑥
3𝑥 2 +6𝑥∆𝑥+3∆𝑥 2 −3𝑥 2
∆𝑥

3𝑥 2 −3𝑥 2 +6𝑥∆𝑥+3∆𝑥 2
∆𝑥
6𝑥∆𝑥+3∆𝑥 2
∆𝑥
∆𝑥(6𝑥+3∆𝑥)
∆𝑥
6𝑥+3∆𝑥
1

= lim 6𝑥 + 3∆𝑥
∆𝑥→0

= 6𝑥 + 3(0)
= 6𝑥

Jadi, 𝑓′(𝑥) = 6𝑥

B. Turunan Fungsi Aljabar
Teorema (Penjabaran dari definisi)
Jika 𝑓(𝑥) = 𝑎𝑥 𝑛 , maka 𝑓′(𝑥) = 𝑛𝑎𝑥 𝑛−1

Bukti:
Misal: 𝑓(𝑥) = 𝑎𝑥 𝑛

𝑓′(𝑥) = 𝑎 lim [
∆𝑥→0

𝑓(∆𝑥+𝑥)𝑛 −𝑓(𝑥)𝑛
∆𝑥

𝑥 𝑛 +𝑛𝑥 𝑛−1 ∆𝑥+

= 𝑎 lim [
∆𝑥→0

𝑛𝑥 𝑛−1 ∆𝑥+

= 𝑎 lim [
∆𝑥→0

𝑛𝑥 𝑛−1 +

= 𝑎 lim [
∆𝑥→0

= 𝑎 [𝑛𝑥

= 𝑎[𝑛𝑥 𝑛−1 ]
= 𝑎𝑛𝑥 𝑛−1
= 𝑛𝑎𝑥 𝑛−1

+

𝑛(𝑛−1) 𝑛−2
𝑥
∆𝑥 2 +⋯+𝑛𝑥∆𝑥 𝑛−1 +∆𝑥 𝑛
2

∆𝑥

∆𝑥

]

𝑛(𝑛−1) 𝑛−2
𝑥
∆𝑥+⋯+𝑛𝑥∆𝑥 𝑛−2 +∆𝑥 𝑛−1 )
2

∆𝑥

𝑛(𝑛−1) 𝑛−2
𝑥
∆𝑥+⋯+𝑛𝑥∆𝑥 𝑛−2 +∆𝑥 𝑛−1
2

𝑛(𝑛−1)

1

]

]
]

]

𝑥 𝑛−2 ∆𝑥 + ⋯ + 𝑛𝑥∆𝑥 𝑛−2 + ∆𝑥 𝑛−1 ]
2
𝑛(𝑛−1) 𝑛−2
𝑥 (0) + ⋯ + 𝑛𝑥(0)𝑛−2 + (0)𝑛−1 ]
2

= 𝑎 lim [𝑛𝑥 𝑛−1 +
∆𝑥→0
𝑛−1

∆𝑥

𝑛(𝑛−1) 𝑛−2
𝑥

∆𝑥 2 +⋯+𝑛𝑥∆𝑥 𝑛−1 +∆𝑥 𝑛
2

∆𝑥(𝑛𝑥 𝑛−1 +

= 𝑎 lim [
∆𝑥→0

𝑛(𝑛−1) 𝑛−2
𝑥
∆𝑥 2 +⋯+𝑛𝑥∆𝑥 𝑛−1 +∆𝑥 𝑛 −𝑥 𝑛
2

𝑥 𝑛 −𝑥 𝑛 +𝑛𝑥 𝑛−1 ∆𝑥+

= 𝑎 lim [
∆𝑥→0

]

Contoh: Jika diketahui 𝑓(𝑥) = 3𝑥 2 , maka tentukan 𝑓′(𝑥)!
Diketahui: 𝑓(𝑥) = 3𝑥 2
2

Ditanya: 𝑓′(𝑥) ?
Jawab: 𝑓(𝑥) = 3𝑥 2
𝑓′(𝑥) = 2 ⋅ 3𝑥 2−1
= 6𝑥
Jadi, 𝑓′(𝑥) = 6𝑥

C. Operasi Turunan
1) Penjumlahan Turunan
Teorema (Penjabaran dari definisi)
Jika 𝑓(𝑥) + 𝑔(𝑥), maka 𝑓′(𝑥) + 𝑔′(𝑥)

Bukti:
Misal: 𝑦 = 𝑓(𝑥) + 𝑔(𝑥)
{𝑓(∆𝑥+𝑥)−𝑓(𝑥)}+{𝑔(∆𝑥+𝑥)−𝑔(𝑥)}
]
𝑦 ′ = lim [
′

∆𝑥→0

𝑦 = lim [
∆𝑥→0

𝑦 ′ = lim [
∆𝑥→0

𝑓(∆𝑥+𝑥)−𝑓(𝑥)

∆𝑥
𝑓(∆𝑥+𝑥)−𝑓(𝑥)
∆𝑥

𝑦 ′ = 𝑓′(𝑥) + 𝑔′(𝑥)

∆𝑥
𝑔(∆𝑥+𝑥)−𝑔(𝑥)

+

]

∆𝑥
𝑔(∆𝑥+𝑥)−𝑔(𝑥)

] + lim [
∆𝑥→0

∆𝑥

]

Contoh: Jika diketahui 𝑓(𝑥) = 3𝑥 2 dan 𝑔(𝑥) = 2𝑥 2 , maka tentukan 𝑓′(𝑥) + 𝑔′(𝑥)!
Diketahui: 𝑓(𝑥) = 3𝑥 2
𝑔(𝑥) = 2𝑥 2
Ditanya: 𝑓′(𝑥) + 𝑔′(𝑥) ?
Jawab: 𝑓(𝑥) + 𝑔(𝑥) = 3𝑥 2 + 2𝑥 2
𝑓′(𝑥) + 𝑔′(𝑥) = 2 ⋅ 3𝑥 2−1 + 2 ⋅ 2𝑥 2−1
= 6𝑥 + 4𝑥
= 10𝑥
Jadi, 𝑓′(𝑥) + 𝑔′(𝑥) = 10𝑥

2) Pengurangan Turunan
Teorema (Penjabaran dari definisi)
Jika 𝑓(𝑥) − 𝑔(𝑥), maka 𝑓′(𝑥) − 𝑔′(𝑥)

Bukti:
Misal: 𝑦 = 𝑓(𝑥) − 𝑔(𝑥)
{𝑓(∆𝑥+𝑥)−𝑓(𝑥)}−{𝑔(∆𝑥+𝑥)−𝑔(𝑥)}
𝑦 ′ = lim [
]
′

∆𝑥→0

𝑦 = lim [
∆𝑥→0

𝑦 ′ = lim [
′

∆𝑥→0

𝑓(∆𝑥+𝑥)−𝑓(𝑥)

∆𝑥
𝑓(∆𝑥+𝑥)−𝑓(𝑥)
∆𝑥

𝑦 = 𝑓′(𝑥) − 𝑔′(𝑥)

∆𝑥
𝑔(∆𝑥+𝑥)−𝑔(𝑥)

−

]

∆𝑥
𝑔(∆𝑥+𝑥)−𝑔(𝑥)

] − lim [
∆𝑥→0

∆𝑥

]

Contoh: Jika diketahui 𝑓(𝑥) = 3𝑥 2 dan 𝑔(𝑥) = 2𝑥 2 , maka tentukan 𝑓′(𝑥) − 𝑔′(𝑥)!
Diketahui: 𝑓(𝑥) = 3𝑥 2
𝑔(𝑥) = 2𝑥 2
Ditanya: 𝑓′(𝑥) − 𝑔′(𝑥) ?
3

Jawab: 𝑓(𝑥) − 𝑔(𝑥) = 3𝑥 2 − 2𝑥 2

𝑓′(𝑥) − 𝑔′(𝑥) = 2 ⋅ 3𝑥 2−1 − 2 ⋅ 2𝑥 2−1
= 6𝑥 − 4𝑥
= 2𝑥
Jadi, 𝑓′(𝑥) − 𝑔′(𝑥) = 2𝑥

3) Perkalian Turunan
Teorema (Penjabaran dari definisi)
Jika 𝑓(𝑥) ⋅ 𝑔(𝑥), maka [𝑓(𝑥) ⋅ 𝑔(𝑥)]′ = 𝑓′(𝑥)𝑔(𝑥) + 𝑓(𝑥)𝑔′(𝑥)
Bukti:
Misal: 𝑦 = 𝑓(𝑥) ⋅ 𝑔(𝑥)
𝑓(∆𝑥+𝑥)⋅𝑔(∆𝑥+𝑥)−𝑓(𝑥)⋅𝑔(𝑥)
]
𝑦 ′ = lim [
′

∆𝑥→0

𝑦 = lim [
∆𝑥→0

𝑦 ′ = lim [
∆𝑥→0

𝑦 ′ = lim [
∆𝑥→0

𝑦 ′ = lim [

∆𝑥
𝑓(∆𝑥+𝑥)⋅𝑔(∆𝑥+𝑥)+0−𝑓(𝑥)⋅𝑔(𝑥)

]

∆𝑥
𝑓(∆𝑥+𝑥)⋅𝑔(∆𝑥+𝑥)−𝑓(∆𝑥+𝑥)⋅𝑔(𝑥)+𝑓(∆𝑥+𝑥)⋅𝑔(𝑥)−𝑓(𝑥)⋅𝑔(𝑥)
∆𝑥
{𝑓(∆𝑥+𝑥)⋅𝑔(∆𝑥+𝑥)−𝑓(∆𝑥+𝑥)⋅𝑔(𝑥)}

∆𝑥
∆𝑥→0
𝑓(∆𝑥+𝑥)⋅𝑔(∆𝑥+𝑥)−𝑓(∆𝑥+𝑥)⋅𝑔(𝑥)

𝑦 ′ = lim [
∆𝑥→0

𝑦 ′ = lim [
∆𝑥→0

𝑦 ′ = lim [
∆𝑥→0

𝑦 ′ = lim [
∆𝑥→0

]

∆𝑥
{𝑓(∆𝑥+𝑥)⋅𝑔(∆𝑥+𝑥)−𝑓(∆𝑥+𝑥)⋅𝑔(𝑥)}+{𝑓(∆𝑥+𝑥)⋅𝑔(𝑥)−𝑓(𝑥)⋅𝑔(𝑥)}

∆𝑥
𝑓(∆𝑥+𝑥){𝑔(∆𝑥+𝑥)−𝑔(𝑥)}

∆𝑥
𝑓(∆𝑥+𝑥){𝑔(∆𝑥+𝑥)−𝑔(𝑥)}
∆𝑥
𝑓(∆𝑥+𝑥){𝑔(∆𝑥+𝑥)−𝑔(𝑥)}
∆𝑥

𝑦 ′ = lim [𝑓(∆𝑥 + 𝑥)] lim [
∆𝑥→0

∆𝑥→0

+
+

+

+

∆𝑥
{𝑓(∆𝑥+𝑥)−𝑓(𝑥)}𝑔(𝑥)

]

∆𝑥
𝑔(𝑥){𝑓(∆𝑥+𝑥)−𝑓(𝑥)}

∆𝑥→0
𝑔(∆𝑥+𝑥)−𝑔(𝑥)

𝑦 ′ = 𝑓(𝑥)𝑔′(𝑥) + 𝑔(𝑥)𝑓′(𝑥)
𝑦 ′ = 𝑔(𝑥)𝑓′(𝑥) + 𝑓(𝑥)𝑔′(𝑥)
𝑦 ′ = 𝑓′(𝑥)𝑔(𝑥) + 𝑓(𝑥)𝑔′(𝑥)

{𝑓(∆𝑥+𝑥)⋅𝑔(𝑥)−𝑓(𝑥)⋅𝑔(𝑥)}

∆𝑥
𝑓(∆𝑥+𝑥)⋅𝑔(𝑥)−𝑓(𝑥)⋅𝑔(𝑥)

] + lim [
∆𝑥

]

]

∆𝑥
𝑔(𝑥){𝑓(∆𝑥+𝑥)−𝑓(𝑥)}
∆𝑥

]

]

] + lim [𝑔(𝑥)] lim [
∆𝑥→0

∆𝑥→0

]

𝑓(∆𝑥+𝑥)−𝑓(𝑥)
∆𝑥

]

Contoh: Jika diketahui 𝑓(𝑥) = 3𝑥 2 dan 𝑔(𝑥) = 2𝑥 2 , maka tentukan [𝑓(𝑥) ⋅ 𝑔(𝑥)]′!
Diketahui: 𝑓(𝑥) = 3𝑥 2
𝑔(𝑥) = 2𝑥 2
Ditanya: [𝑓(𝑥) ⋅ 𝑔(𝑥)]′ ?
Jawab: [𝑓(𝑥) ⋅ 𝑔(𝑥)]′ = 𝑓′(𝑥)𝑔(𝑥) + 𝑓(𝑥)𝑔′(𝑥)
= (2 ⋅ 3𝑥 2−1 )(2𝑥 2 ) + (3𝑥 2 )(2 ⋅ 2𝑥 2−1 )
= (6𝑥)(2𝑥 2 ) + (3𝑥 2 )(4𝑥)
= 12𝑥 3 + 12𝑥 3
= 24𝑥 3

Jadi, [𝑓(𝑥) ⋅ 𝑔(𝑥)]′ = 24𝑥 3

4

4) Pembagian Turunan
Teorema (Penjabaran dari definisi)
𝑓(𝑥)
𝑓(𝑥)
𝑓′(𝑥)𝑔(𝑥)−𝑓(𝑥)𝑔′(𝑥)
Jika
, maka [
]′ =
[𝑔(𝑥)]2
𝑔(𝑥)
𝑔(𝑥)

Bukti:
𝑓(𝑥)
Misal: 𝑦 =

𝑔(𝑥)

𝑓(∆𝑥+𝑥) 𝑓(𝑥)
−
𝑔(∆𝑥+𝑥) 𝑔(𝑥)

𝑦 ′ = lim [
∆𝑥→0

′

𝑦 = lim [
∆𝑥→0

𝑦 ′ = lim [

∆𝑥

]

𝑓(∆𝑥+𝑥)⋅𝑔(𝑥)−𝑓(𝑥)⋅𝑔(∆𝑥+𝑥)
𝑔(∆𝑥+𝑥)⋅𝑔(𝑥)

∆𝑥

]

𝑓(∆𝑥+𝑥)⋅𝑔(𝑥)−𝑓(𝑥)⋅𝑔(∆𝑥+𝑥)

𝑔(∆𝑥+𝑥)⋅𝑔(𝑥)
∆𝑥→0
𝑓(∆𝑥+𝑥)⋅𝑔(𝑥)−𝑓(𝑥)⋅𝑔(∆𝑥+𝑥)

𝑦 ′ = lim [
∆𝑥→0

𝑦 ′ = lim [
∆𝑥→0

𝑦 ′ = lim [
∆𝑥→0

𝑦 ′ = lim [
∆𝑥→0

𝑦 ′ = lim [
𝑦′ =

𝑦′ =

𝑦′ =

𝑦′ =

𝑦′ =

𝑦′ =

∆𝑥
𝑓(∆𝑥+𝑥)⋅𝑔(𝑥)−𝑓(𝑥)⋅𝑔(∆𝑥+𝑥)

Contoh:

1

]

𝑔(∆𝑥+𝑥)⋅𝑔(𝑥)
1

] lim [

∆𝑥

] lim [

]

∆𝑥→0 𝑔(∆𝑥+𝑥)⋅𝑔(𝑥)

]

1
𝑓(∆𝑥+𝑥)⋅𝑔(𝑥)−𝑓(𝑥)⋅𝑔(𝑥)+𝑓(𝑥)⋅𝑔(𝑥)−𝑓(𝑥)⋅𝑔(∆𝑥+𝑥)
] lim [𝑔(∆𝑥+𝑥)⋅𝑔(𝑥)]
∆𝑥
∆𝑥→0
{𝑓(∆𝑥+𝑥)⋅𝑔(𝑥)−𝑓(𝑥)⋅𝑔(𝑥)}+{𝑓(𝑥)⋅𝑔(𝑥)−𝑓(𝑥)⋅𝑔(∆𝑥+𝑥)}
1

] lim [

∆𝑥→0

𝑓(∆𝑥+𝑥)−𝑓(𝑥)
∆𝑥

] lim [𝑔(𝑥)] − lim [𝑓(𝑥)] lim [
∆𝑥→0

∆𝑥→0

1

𝑔(𝑥)⋅𝑔(𝑥)
1
[𝑓′(𝑥)𝑔(𝑥) − 𝑓(𝑥)𝑔′(𝑥)] [𝑔(𝑥)]2
𝑓′(𝑥)𝑔(𝑥)−𝑓(𝑥)𝑔′(𝑥)
[𝑔(𝑥)]2

∆𝑥→0

𝑔(∆𝑥+𝑥)−𝑔(𝑥)
∆𝑥

]] lim [

Diketahui: 𝑓(𝑥) = 3𝑥
𝑔(𝑥) = 2𝑥 2
𝑓(𝑥)
] ′ ?1
Ditanya: [
𝑓(𝑥)

𝑔(𝑥)

]

𝑔(𝑥)

]′ =
=

=
=

𝑓′(𝑥)𝑔(𝑥)−𝑓(𝑥)𝑔′(𝑥)
[𝑔(𝑥)]2
(2⋅3𝑥 2−1 )(2𝑥 2 )−(3𝑥 2 )(2⋅2𝑥2−1 )
[2𝑥 2 ]2
(6𝑥)(2𝑥 2 )−(3𝑥 2 )(4𝑥)
4𝑥 4
12𝑥 3 −12𝑥 3
4𝑥 4

5

1

∆𝑥→0 𝑔(∆𝑥+𝑥)⋅𝑔(𝑥)

Jika diketahui 𝑓(𝑥) = 3𝑥 2 dan 𝑔(𝑥) = 2𝑥 2 , maka tentukan [
2

Jawab: [

]

∆𝑥
∆𝑥→0 𝑔(∆𝑥+𝑥)⋅𝑔(𝑥)
𝑓(∆𝑥+𝑥)⋅𝑔(𝑥)+0−𝑓(𝑥)⋅𝑔(∆𝑥+𝑥)
1

𝑦 ′ = [𝑓′(𝑥)𝑔(𝑥) − 𝑓(𝑥)𝑔′(𝑥)]
𝑦′ =

⋅

1

∆𝑥

∆𝑥
∆𝑥→0 𝑔(∆𝑥+𝑥)⋅𝑔(𝑥)
{𝑓(∆𝑥+𝑥)⋅𝑔(𝑥)−𝑓(𝑥)⋅𝑔(𝑥)}−{−𝑓(𝑥)⋅𝑔(𝑥)+𝑓(𝑥)⋅𝑔(∆𝑥+𝑥)}
1
lim [
] lim [𝑔(∆𝑥+𝑥)⋅𝑔(𝑥)]
∆𝑥
∆𝑥→0
∆𝑥→0
{𝑓(∆𝑥+𝑥)⋅𝑔(𝑥)−𝑓(𝑥)⋅𝑔(𝑥)}−{𝑓(𝑥)⋅𝑔(∆𝑥+𝑥)−𝑓(𝑥)⋅𝑔(𝑥)}
1
lim [
lim [
]
]
∆𝑥
∆𝑥→0 𝑔(∆𝑥+𝑥)⋅𝑔(𝑥)
∆𝑥→0
{𝑓(∆𝑥+𝑥)⋅𝑔(𝑥)−𝑓(𝑥)⋅𝑔(𝑥)}
{𝑓(𝑥)⋅𝑔(∆𝑥+𝑥)−𝑓(𝑥)⋅𝑔(𝑥)}
1
lim [
−
] lim [𝑔(∆𝑥+𝑥)⋅𝑔(𝑥)]
∆𝑥
∆𝑥
∆𝑥→0
∆𝑥→0
𝑓(∆𝑥+𝑥)⋅𝑔(𝑥)−𝑓(𝑥)⋅𝑔(𝑥)
𝑓(𝑥)⋅𝑔(∆𝑥+𝑥)−𝑓(𝑥)⋅𝑔(𝑥)
1
lim [
−
] lim [𝑔(∆𝑥+𝑥)⋅𝑔(𝑥)]
∆𝑥
∆𝑥
∆𝑥→0
∆𝑥→0
{𝑓(∆𝑥+𝑥)−𝑓(𝑥)}𝑔(𝑥)
1
𝑓(𝑥){𝑔(∆𝑥+𝑥)−𝑔(𝑥)}
lim [
−
] lim [𝑔(∆𝑥+𝑥)⋅𝑔(𝑥)]
∆𝑥
∆𝑥
∆𝑥→0
∆𝑥→0
{𝑓(∆𝑥+𝑥)−𝑓(𝑥)}𝑔(𝑥)
𝑓(𝑥){𝑔(∆𝑥+𝑥)−𝑔(𝑥)}
1
−
lim
[ lim [
[
]
]] lim [𝑔(∆𝑥+𝑥)⋅𝑔(𝑥)]
∆𝑥
∆𝑥
∆𝑥→0
∆𝑥→0
∆𝑥→0
∆𝑥→0

𝑦 ′ = [ lim [

𝑦′ =

⋅

𝑓(𝑥)

𝑔(𝑥)

] ′!

]

0

Jadi, [

𝑓(𝑥)

𝑔(𝑥)

= 4
4𝑥
=0

]′ = 0

D. Teorema L’Hopital
Teorema (Penjabaran dari definisi)
Jika 𝑔 ≠ 0 dan 𝑥 ≠ 𝑐, maka
𝑓(𝑥)
𝑓′(𝑥)
lim
= lim
𝑥→𝑐 𝑔(𝑥)
𝑥→𝑐 𝑔′(𝑥)
Bukti:
𝑓(𝑥)
Misal: 𝑦1 = 𝑔(𝑥)
′

𝑦1 = lim [
∆𝑥→0

′

𝑦1 = lim [
∆𝑥→0

𝑦1 ′ = lim [

𝑓(∆𝑥+𝑥) 𝑓(𝑥)
−
𝑔(∆𝑥+𝑥) 𝑔(𝑥)

∆𝑥

]

𝑓(∆𝑥+𝑥)⋅𝑔(𝑥)−𝑓(𝑥)⋅𝑔(∆𝑥+𝑥)
𝑔(∆𝑥+𝑥)⋅𝑔(𝑥)

∆𝑥

]

𝑓(∆𝑥+𝑥)⋅𝑔(𝑥)−𝑓(𝑥)⋅𝑔(∆𝑥+𝑥)

𝑔(∆𝑥+𝑥)⋅𝑔(𝑥)
∆𝑥→0
𝑓(∆𝑥+𝑥)⋅𝑔(𝑥)−𝑓(𝑥)⋅𝑔(∆𝑥+𝑥)

𝑦1 ′ = lim [
∆𝑥→0

𝑦1 ′ = lim [
∆𝑥→0

𝑦1 ′ = lim [
∆𝑥→0

𝑦1 ′ = lim [
∆𝑥→0

𝑦1 ′ = lim [
𝑦1 ′ =

𝑦1 ′ =

𝑦1 ′ =

𝑦1 ′ =
𝑦1 ′ =
𝑦1 ′ =

∆𝑥
𝑓(∆𝑥+𝑥)⋅𝑔(𝑥)−𝑓(𝑥)⋅𝑔(∆𝑥+𝑥)

⋅
⋅

1

∆𝑥

]

1

]

𝑔(∆𝑥+𝑥)⋅𝑔(𝑥)
1

] lim [

∆𝑥
∆𝑥→0 𝑔(∆𝑥+𝑥)⋅𝑔(𝑥)
𝑓(∆𝑥+𝑥)⋅𝑔(𝑥)+0−𝑓(𝑥)⋅𝑔(∆𝑥+𝑥)
1
∆𝑥

] lim [

]

∆𝑥→0 𝑔(∆𝑥+𝑥)⋅𝑔(𝑥)

]

1
𝑓(∆𝑥+𝑥)⋅𝑔(𝑥)−𝑓(𝑥)⋅𝑔(𝑥)+𝑓(𝑥)⋅𝑔(𝑥)−𝑓(𝑥)⋅𝑔(∆𝑥+𝑥)
] lim [𝑔(∆𝑥+𝑥)⋅𝑔(𝑥)]
∆𝑥
∆𝑥→0
{𝑓(∆𝑥+𝑥)⋅𝑔(𝑥)−𝑓(𝑥)⋅𝑔(𝑥)}+{𝑓(𝑥)⋅𝑔(𝑥)−𝑓(𝑥)⋅𝑔(∆𝑥+𝑥)}
1

] lim [

]

∆𝑥
∆𝑥→0 𝑔(∆𝑥+𝑥)⋅𝑔(𝑥)
{𝑓(∆𝑥+𝑥)⋅𝑔(𝑥)−𝑓(𝑥)⋅𝑔(𝑥)}−{−𝑓(𝑥)⋅𝑔(𝑥)+𝑓(𝑥)⋅𝑔(∆𝑥+𝑥)}
1
lim [
] lim [𝑔(∆𝑥+𝑥)⋅𝑔(𝑥)]
∆𝑥
∆𝑥→0
∆𝑥→0
{𝑓(∆𝑥+𝑥)⋅𝑔(𝑥)−𝑓(𝑥)⋅𝑔(𝑥)}−{𝑓(𝑥)⋅𝑔(∆𝑥+𝑥)−𝑓(𝑥)⋅𝑔(𝑥)}
1
lim [
lim [
]
]
∆𝑥
∆𝑥→0 𝑔(∆𝑥+𝑥)⋅𝑔(𝑥)
∆𝑥→0
{𝑓(∆𝑥+𝑥)⋅𝑔(𝑥)−𝑓(𝑥)⋅𝑔(𝑥)}
{𝑓(𝑥)⋅𝑔(∆𝑥+𝑥)−𝑓(𝑥)⋅𝑔(𝑥)}
1
lim [
−
] lim [𝑔(∆𝑥+𝑥)⋅𝑔(𝑥)]
∆𝑥
∆𝑥
∆𝑥→0
∆𝑥→0
𝑓(∆𝑥+𝑥)⋅𝑔(𝑥)−𝑓(𝑥)⋅𝑔(𝑥)
𝑓(𝑥)⋅𝑔(∆𝑥+𝑥)−𝑓(𝑥)⋅𝑔(𝑥)
1
lim [
−
] lim [𝑔(∆𝑥+𝑥)⋅𝑔(𝑥)]
∆𝑥
∆𝑥
∆𝑥→0
∆𝑥→0
{𝑓(∆𝑥+𝑥)−𝑓(𝑥)}𝑔(𝑥)
𝑓(𝑥){𝑔(∆𝑥+𝑥)−𝑔(𝑥)}
1
lim [
−
lim
[
]
]
∆𝑥
∆𝑥
∆𝑥→0
∆𝑥→0 𝑔(∆𝑥+𝑥)⋅𝑔(𝑥)
{𝑓(∆𝑥+𝑥)−𝑓(𝑥)}𝑔(𝑥)
𝑓(𝑥){𝑔(∆𝑥+𝑥)−𝑔(𝑥)}
1
] − lim [
]] lim [𝑔(∆𝑥+𝑥)⋅𝑔(𝑥)]
[ lim [
∆𝑥
∆𝑥
∆𝑥→0
∆𝑥→0
∆𝑥→0
∆𝑥→0

𝑔(∆𝑥+𝑥)−𝑔(𝑥)
1
𝑦1 ′ = [ lim [𝑓(∆𝑥+𝑥)−𝑓(𝑥)
] lim [𝑔(𝑥)] − lim [𝑓(𝑥)] lim [
]] lim [
]
∆𝑥
𝑔(∆𝑥+𝑥)⋅𝑔(𝑥)
∆𝑥

′

∆𝑥→0

∆𝑥→0

𝑦1 = [𝑓′(𝑥)𝑔(𝑥) − 𝑓(𝑥)𝑔′(𝑥)]
′

𝑦1 =
𝑦1 ′ =

1

𝑔(𝑥)⋅𝑔(𝑥)
1
[𝑓′(𝑥)𝑔(𝑥) − 𝑓(𝑥)𝑔′(𝑥)] [𝑔(𝑥)]2
𝑓′(𝑥)𝑔(𝑥)−𝑓(𝑥)𝑔′(𝑥)
⋯ (1)
[𝑔(𝑥)]2

Misal: 𝑦2 =

𝑓′(𝑥)

𝑔′(𝑥)

𝑓(∆𝑥+𝑥) 𝑓(𝑥)
−
𝑔(∆𝑥+𝑥) 𝑔(𝑥)

𝑦2 = lim [
′

∆𝑥→0

∆𝑥→0

∆𝑥

𝑓(∆𝑥+𝑥) 𝑓(𝑥)
−
𝑔(∆𝑥+𝑥) 𝑔(𝑥)

𝑦2 = lim [ lim [
∆𝑥→0 ∆𝑥→0

]

∆𝑥

]]
6

∆𝑥→0

∆𝑥→0

′

𝑦2 = lim [ lim [
∆𝑥→0 ∆𝑥→0

𝑦2 ′ = lim [ lim [

𝑓(∆𝑥+𝑥)⋅𝑔(𝑥)−𝑓(𝑥)⋅𝑔(∆𝑥+𝑥)
𝑔(∆𝑥+𝑥)⋅𝑔(𝑥)

∆𝑥

]]

𝑓(∆𝑥+𝑥)⋅𝑔(𝑥)−𝑓(𝑥)⋅𝑔(∆𝑥+𝑥)

𝑔(∆𝑥+𝑥)⋅𝑔(𝑥)
∆𝑥→0 ∆𝑥→0
𝑓(∆𝑥+𝑥)⋅𝑔(𝑥)−𝑓(𝑥)⋅𝑔(∆𝑥+𝑥)

𝑦2 ′ = lim [ lim [
∆𝑥→0 ∆𝑥→0

𝑦2 ′ = lim [ lim [
∆𝑥→0 ∆𝑥→0

𝑦2 ′ = lim [ lim [
∆𝑥→0 ∆𝑥→0

𝑦2 ′ = lim [ lim [
∆𝑥→0 ∆𝑥→0

𝑦2 ′ = lim [ lim [
∆𝑥→0 ∆𝑥→0

∆𝑥→0 ∆𝑥→0

𝑦2 ′ = lim [ lim [
∆𝑥→0 ∆𝑥→0

]]

1

∆𝑥→0 ∆𝑥→0

]]

𝑔(∆𝑥+𝑥)⋅𝑔(𝑥)
1

] lim [

∆𝑥
∆𝑥→0 𝑔(∆𝑥+𝑥)⋅𝑔(𝑥)
1
𝑓(∆𝑥+𝑥)⋅𝑔(𝑥)+0−𝑓(𝑥)⋅𝑔(∆𝑥+𝑥)

] lim [

]]

∆𝑥→0 𝑔(∆𝑥+𝑥)⋅𝑔(𝑥)

∆𝑥

]]

𝑓(∆𝑥+𝑥)⋅𝑔(𝑥)−𝑓(𝑥)⋅𝑔(𝑥)+𝑓(𝑥)⋅𝑔(𝑥)−𝑓(𝑥)⋅𝑔(∆𝑥+𝑥)
1
] lim [𝑔(∆𝑥+𝑥)⋅𝑔(𝑥)]]
∆𝑥
∆𝑥→0

] lim [

1

]]

∆𝑥
∆𝑥→0 𝑔(∆𝑥+𝑥)⋅𝑔(𝑥)
{𝑓(∆𝑥+𝑥)⋅𝑔(𝑥)−𝑓(𝑥)⋅𝑔(𝑥)}−{−𝑓(𝑥)⋅𝑔(𝑥)+𝑓(𝑥)⋅𝑔(∆𝑥+𝑥)}
1

∆𝑥
{𝑓(∆𝑥+𝑥)⋅𝑔(𝑥)−𝑓(𝑥)⋅𝑔(𝑥)}−{𝑓(𝑥)⋅𝑔(∆𝑥+𝑥)−𝑓(𝑥)⋅𝑔(𝑥)}

𝑦2 ′ = lim [ lim [

𝑦2 ′ =

⋅

1

∆𝑥

{𝑓(∆𝑥+𝑥)⋅𝑔(𝑥)−𝑓(𝑥)⋅𝑔(𝑥)}+{𝑓(𝑥)⋅𝑔(𝑥)−𝑓(𝑥)⋅𝑔(∆𝑥+𝑥)}

𝑦2 ′ = lim [ lim [
𝑦2 ′ =

∆𝑥
𝑓(∆𝑥+𝑥)⋅𝑔(𝑥)−𝑓(𝑥)⋅𝑔(∆𝑥+𝑥)

⋅

] lim [

∆𝑥→0 𝑔(∆𝑥+𝑥)⋅𝑔(𝑥)
1

] lim [

∆𝑥
∆𝑥→0 𝑔(∆𝑥+𝑥)⋅𝑔(𝑥)
{𝑓(∆𝑥+𝑥)⋅𝑔(𝑥)−𝑓(𝑥)⋅𝑔(𝑥)}
{𝑓(𝑥)⋅𝑔(∆𝑥+𝑥)−𝑓(𝑥)⋅𝑔(𝑥)}
1

−

∆𝑥

∆𝑥

] lim [

]]

]]

∆𝑥→0 𝑔(∆𝑥+𝑥)⋅𝑔(𝑥)

]]

𝑓(∆𝑥+𝑥)⋅𝑔(𝑥)−𝑓(𝑥)⋅𝑔(𝑥)
𝑓(𝑥)⋅𝑔(∆𝑥+𝑥)−𝑓(𝑥)⋅𝑔(𝑥)
1
lim [ lim [
−
] lim [𝑔(∆𝑥+𝑥)⋅𝑔(𝑥)]]
∆𝑥
∆𝑥
∆𝑥→0 ∆𝑥→0
∆𝑥→0
{𝑓(∆𝑥+𝑥)−𝑓(𝑥)}𝑔(𝑥)
𝑓(𝑥){𝑔(∆𝑥+𝑥)−𝑔(𝑥)}
1
−
lim [ lim [
] lim [𝑔(∆𝑥+𝑥)⋅𝑔(𝑥)]]
∆𝑥
∆𝑥
∆𝑥→0
∆𝑥→0 ∆𝑥→0

𝑦2 ′ = lim [[ lim [
∆𝑥→0

∆𝑥→0

{𝑓(∆𝑥+𝑥)−𝑓(𝑥)}𝑔(𝑥)
∆𝑥

𝑓(𝑥){𝑔(∆𝑥+𝑥)−𝑔(𝑥)}

] − lim [
∆𝑥→0

∆𝑥

]] lim [

1

]]

∆𝑥→0 𝑔(∆𝑥+𝑥)⋅𝑔(𝑥)

𝑓(∆𝑥+𝑥)−𝑓(𝑥)
𝑔(∆𝑥+𝑥)−𝑔(𝑥)
1
𝑦2′ = ∆𝑥→0
lim [[ lim [
] lim [𝑔(𝑥)] − lim [𝑓(𝑥)] lim [
]] lim [
]]
∆𝑥
∆𝑥
∆𝑥→0
∆𝑥→0
∆𝑥→0
∆𝑥→0
∆𝑥→0 𝑔(∆𝑥+𝑥)⋅𝑔(𝑥)

1
𝑦2′ = ∆𝑥→0
lim [[𝑓′(𝑥)𝑔(𝑥) − 𝑓(𝑥)𝑔′(𝑥)] ( ) ( )]
𝑔 𝑥 ⋅𝑔 𝑥

𝑦2 ′ = [𝑓′(𝑥)𝑔(𝑥) − 𝑓(𝑥)𝑔′(𝑥)]
′

1

𝑔(𝑥)⋅𝑔(𝑥)
1

𝑦2 = [𝑓′(𝑥)𝑔(𝑥) − 𝑓(𝑥)𝑔′(𝑥)] [𝑔(𝑥)]2
𝑦2 ′ =

𝑓′(𝑥)𝑔(𝑥)−𝑓(𝑥)𝑔′(𝑥)
⋯ (2)
[𝑔(𝑥)]2

Dari (1) dan (2)
𝑓′(𝑥)𝑔(𝑥)−𝑓(𝑥)𝑔′(𝑥)
𝑓′(𝑥)𝑔(𝑥)−𝑓(𝑥)𝑔′(𝑥)
dan 𝑦2 ′ =
, maka
𝑦1 ′ =
[𝑔(𝑥)]2
[𝑔(𝑥)]2
Jika 𝑦1 ′ = 𝑦2 ′ , maka lim

Contoh:

𝑓(𝑥)

𝑥→𝑐 𝑔(𝑥)

= lim

𝑓′(𝑥)

𝑥→𝑐 𝑔′(𝑥)

Jika diketahui 𝑓(𝑥) = 𝑥 3 − 7𝑥 2 − 8𝑥 − 12
𝑓(𝑥)
] ′!
pada saat 𝑥 = 2, maka tentukan [

Diketahui: 𝑓(𝑥) = 𝑥 3 − 7𝑥 2 − 8𝑥 − 12
𝑔(𝑥) = 𝑥 − 2
𝑓(𝑥)
Ditanya: [
]′ ?
𝑔(𝑥)

Jawab:
𝑓(𝑥) = 𝑥 3 − 7𝑥 2 − 8𝑥 − 12
𝑓′(𝑥) = 3𝑥 2 − 14𝑥 − 8
𝑔(𝑥) = 𝑥 − 2
𝑔′(𝑥) = 1

7

𝑔(𝑥)

dan

𝑔(𝑥) = 𝑥 − 2

Cara1
𝑓(𝑥)
𝑓′(𝑥)𝑔(𝑥)−𝑓(𝑥)𝑔′(𝑥)
[
]′ =
[𝑔(𝑥)]2
𝑔(𝑥)
=

=

=

=
=
=
=
=

(3𝑥 2 −14𝑥−8)(𝑥−2)−(𝑥 3 −7𝑥 2 −8𝑥−12)(1)

[𝑥−2]2
(3𝑥 3 −6𝑥 2 −14𝑥2 +28−8𝑥+16)−(𝑥 3 −7𝑥 2 −8𝑥−12)

(𝑥−2)(𝑥−2)
3𝑥 3 −6𝑥 2 −14𝑥 2 +28−8𝑥+16−𝑥 3 +7𝑥2 +8𝑥+12

𝑥 2 −4𝑥+4
3𝑥 3 −𝑥 3 −6𝑥 2 −14𝑥 2 +7𝑥 2 −8𝑥+8𝑥+28+16+12
2𝑥 3 −13𝑥 2 +56

𝑥 2 −4𝑥+4
2(2)3 −13(2)2 +56
(2)2 −4(2)+4
16−52+56
4−8+4

20
0

𝑥 2 −4𝑥+4

, tidak terdefinisi

Cara2
𝑓′(𝑥)
𝑓(𝑥)
= lim
lim
𝑔′(𝑥)
𝑥→2 𝑔(𝑥)

𝑥→2

= lim

𝑥→2

3𝑥 2 −14𝑥−8
1

= lim 3𝑥 2 − 14𝑥 − 8
𝑥→2

Jadi, [

= 3(2)2 − 14(2) − 8
= 12 − 28 − 8
= −24

𝑓(𝑥) ′

𝑔(𝑥)

] = −24

E. Aplikasi Turunan
1) Gradien
Contoh: Jika diketahui fungsi 𝑓(𝑥) = 𝑥 3 + 3𝑥 2 dan memotong sumbu 𝑋 di titik
(2,0), maka tentukanlah gradiennya!
Diketahui: 𝑓(𝑥) = 𝑥 3 − 3𝑥 2
memotong sumbu 𝑋 di titik (2,0)
Ditanya: 𝑚 ?
Jawab: 𝑓(𝑥) = 𝑥 3 + 3𝑥 2
𝑓′(𝑥) = 3𝑥 2 + 6𝑥
𝑓′(2) = 3(2)2 + 6(2) = 12 + 12 = 24
𝑚 = 24
Jadi, 𝑚 = 24

1

Jika diketahui fungsi 𝑓(𝑥) = 𝑥 3 − 3𝑥 2 tentukan koordinat titik singgung
3
pada gradien −9!
1
Diketahui: 𝑓(𝑥) = 𝑥 3 − 3𝑥 2
3
𝑚 = −9
Ditanya: koordinat titik singgung ?
1
Jawab: 𝑓(𝑥) = 𝑥 3 − 3𝑥 2
3

Contoh:

8

𝑓′(𝑥) = 𝑥 2 − 6𝑥 jika dan hanya jika 𝑚 = 𝑥 2 − 6𝑥
−9 = 𝑥 2 − 6𝑥 jika dan hanya jika 𝑥 2 − 6𝑥 = −9
𝑥 2 − 6𝑥 + 9 = 0
(𝑥 − 3)(𝑥 − 3) = 0
𝑥−3=0
𝑥=3

1
𝑓(𝑥) = 𝑥 3 − 3𝑥 2
3
1 3
𝑦 = 𝑥 − 3𝑥 2
3
1
𝑦 = (3)3 − 3(3)2
3
𝑦 = 9 − 27 = −18

Jadi, koordinat titik singgung (3, −18)

2) Fungsi Naik dan Turun

Untuk setiap 𝑥1 , 𝑥2 ∈ 𝑆
 Fungsi 𝑓 dikatakan naik jika 𝑥1 < 𝑥2 , maka 𝑓(𝑥1 ) < 𝑓(𝑥2 )
 Fungsi 𝑓 dikatakan turun jika 𝑥1 > 𝑥2 , maka 𝑓(𝑥1 ) > 𝑓(𝑥2 )

Contoh: Seorang nelayan melihat seekor lumba-lumba sedang berenang mengikuti
kecepatan perahu mereka. Lumba-lumba tersebut berenang cepat, terkadang
menyelam dan tiba-tiba melayang ke permukakaan air laut. Pada saat
nelayan tersebut melihat lumba-lumba menyelam maka ia akan melihatnya
melayang ke permukaan 15 detik kemudian dan kembali ke permukaan air
laut setelah 3 detik di udara. Demikan pergerakan lumba-lumba tersebut
diamati berperiode dalam beberapa interval waktu pengamatan.

9

3) Titik Stasioner
Syarat mencapai nilai stasioner jika 𝑓′(𝑥) = 0
Contoh:

1

5

Jika 𝑓(𝑥) = 𝑥 3 − 2 𝑥 2 + 6𝑥, maka tentukanlah titik stasionernya!
1

5

3

Diketahui: 𝑥 3 − 𝑥 2 + 6𝑥
2
3
Ditanya: titik stasioner ?
1
5
Jawab: 𝑓(𝑥) = 𝑥 3 − 𝑥 2 + 6𝑥
3
2
𝑓′(𝑥) = 𝑥 2 − 5𝑥 + 6 jika dan hanya jika
𝑥 2 − 5𝑥 + 6 = 0
(𝑥 − 2)(𝑥 − 3) = 0
𝑥 − 2 = 0 atau 𝑥 − 3 = 0
𝑥 = 2 atau 𝑥 = 3

Jadi, titik stasionernya adalah (2,0) dan (3,0)

4) Kecepatan dan Percepatan
𝑑𝑥
𝑑𝑣
𝑣 = dan 𝑎 =
𝑑𝑡
𝑑𝑡
Keterangan: 𝑥 = jarak
𝑡 = waktu
𝑣 = kecepatan
𝑎 = percepatan
Contoh:

Diketahui:
Ditanya:
Jawab:
𝑑𝑥
𝑣=

𝑑𝑡
𝑑(2𝑡 3 )

Jika diketahui jarak yang ditempuh oleh benda adalah (2𝑡 3 ) meter dan
pada saat 𝑡 = 5 detik, maka tentukan kecepatan dan percepatannya!
𝑥 = 2𝑡 3
pada saat 𝑡 = 5 detik
𝑣 dan 𝑎 ?

= 𝑑𝑡
= 6𝑡 2
= 6(5)2
= 150 meter/detik

𝑎=

𝑑𝑣

𝑑𝑡
𝑑(6𝑡 2 )

= 𝑑𝑡
= 12𝑡
= 12(5)
= 60 meter/detik 2

Jadi, kecepatan adalah 150 meter/detik dan percepatan 60 meter/detik 2

5) Maksimum dan Minimum
Untuk menentukan nilai maksimum dan minimum fungsi dalam interval
tertutupdilakukan dengan langkah-langkah sebagai berikut.
10

a) Menentukan nilai fungsi pada batas interval.
b) Menentukan nilai stasioner apabila stationer dicapai pada xdi dalam interval.
c) Menentukan nilai minimum dan maksimum berdasarkan hasil dari (a) dan (b).
Jika 𝑓(𝑥) = −𝑥 3 + 6𝑥 2 dan pada interval −1 < 𝑥 < 3, maka tentukanlah
nilai maksimum dan minimum!
Diketahui: 𝑓(𝑥) = −𝑥 3 + 6𝑥 2
interval −1 < 𝑥 < 3
Ditanya: nilai maksimum dan minimum ?
Jawab:
Nilai fungsi pada batas interval
𝑓(−1) = −(−1)3 + 6(−1)2 = 1 + 6 = 7
𝑓(3) = −(3)3 + 6(3)2 = −27 + 54 = 27

Contoh:

Nilai stasioner
𝑓(𝑥) = −𝑥 3 + 6𝑥 2
𝑓′(𝑥) = −3𝑥 2 + 12𝑥 jika dan hanya jika −3𝑥 2 + 12𝑥 = 0
−3𝑥(𝑥 − 4) = 0
−3𝑥 = 0 atau 𝑥 − 4 = 0
𝑥 = 0 atau 𝑥 = 4
Nilai maksimum dan minimum
𝑓(0) = −(0)3 + 6(0)2 = 0 + 0 = 0
𝑓(4) = −(4)3 + 6(4)2 = −64 + 96 = 32

Sehingga pada interval −1 < 𝑥 < 3 diperoleh
𝑓(−1) = 7
𝑓(3) = 27
𝑓(0) = 0
Jadi, nilai maksimumnya 27 dan nilai minimumnya 0

Contoh:

Jika sebuah peluru ditembakkan dari permukaan tanah dengan jarak awal
(−𝑡 3 + 6𝑡 2 ) meter dengan sudut elevasi 45°, 𝑔 = 10 meter/detik 2 , dan
pada saat 𝑡 = 3 detik, maka berapa jarak maksimum yang dicapai peluru!
Diketahui: 𝑥0 = (−𝑡 3 + 6𝑡 2 ) meter
𝛼 = 45°
𝑔 = 10 meter/detik 2
pada saat 𝑡 = 3 detik
Ditanya: 𝑥𝑚𝑎𝑥 ?
Jawab:
𝑥0 = −𝑡 3 + 6𝑡 2
𝑣0 = −3𝑡 2 + 12𝑡 = −3(3)2 + 12(3) = −27 + 36 = 9
𝑥𝑚𝑎𝑥 =
=

=

𝑣0 2 sin 2𝛼

𝑔
(9)2 sin 2(45°)

10
81 sin 90°
10
81(1)

=
10
= 8,1 meter

Jadi, jarak maksimum yang dicapai peluru adalah 8,1 meter
11