SIMULASI NUMERIK KONVEKSI ALAMI DALAM KOTAK 2-D DENGAN VARIASI KEMIRINGAN DENGAN METODE SKEMA KOMPAK ORDE TINGGI SKRIPSI

SKRIPSI

Diajukan sebagai salah satu syarat untuk memperoleh gelar Sarjana Teknik

Oleh :

DANDUN MAHESA PRABOWOPUTRA NIM. I1409013 JURUSAN TEKNIK MESIN FAKULTAS TEKNIK UNIVERSITAS SEBELAS MARET SURAKARTA

2012

commit to user

Disusun oleh :

Dandun Mahesa Prabowoputra NIM. I1409013

Dosen Pembimbing I Dosen Pembimbing II

Eko Prasetya Budiana, S.T,M.T. Purwadi Joko Widodo, S.T,M.Kom NIP. 197109261999031002

NIP. 197301261997021001

Telah dipertahankan di hadapan dosen tim penguji pada hari kamis tanggal 26 Juli 2012

1. D.Danardono, S.T,M.T,PhD. NIP. 196905141999031001

…………………………..

2. Tri Istanto, S.T,M.T. NIP. 197308202000121001

…………………………..

3. Wibawa Endra Juwana, S.T,M.T. NIP. 197009112000031001

…………………………..

Mengetahui,

Ketua Jurusan Teknik Mesin Koordinator Tugas Akhir

Didik Djoko Susilo, S.T,M.T. Wahyu Purwo Raharjo, S.T,M.T. NIP. 197203131997021001

NIP. 197202292000121001

commit to user

Motto

Ilmu itu seperti udara, siapapun bisa mendapatkannya . Asalkan dia mau untuk menghirupnya. (anonym)

Manusia tidak memilih dirinya untuk menjadi luar biasa, melainkan mereka memilih untuk melakukan hal-hal yang luar biasa. (Sir Edmund Hillary)

Happiness is when what you think, what you say, and what you do are in harmony. ( Mahatma Gandhi)

Persembahan

Tugas Akhir ini saya persembahkan kepada :

Bapak (Alm. Handoyo Cipto) , Ibu (Hariani Pancawati) Kakak ( Jati Kusuma, Indira Putri Andini, Lindawati) dan Adikku (Gandita putri Cipta Cahayani)

commit to user

DANDUN MAHESA P, Simulasi Numerik Konveksi Alami Dalam Kotak 2-D Dengan Variasi Kemiringan Dengan Metode Skema Kompak Orde Tinggi

Penelitian ini dilakukan untuk mengetahui fenomena yang terjadi, meliputi pola aliran dan distribusi temperatur pada permasalahan Konveksi alami, pada

kotak 2D dengan variasi kemiringan. Variasi sudut dilakukan pada kemiringan 0 0 ,

30 0 , 45 0 , 90 0 , 120 0 , 135 0 , 150 0 , dan 180 0 .

Tulisan ini menguraikan metode untuk penyelesaiaan konveksi alami kondisi steady dalam kotak 2D dengan variasi kemiringan. Metode ini didasarkan pada skema Runge–Kutta untuk diskritisasi waktu dan skema kompak beda hingga orde-4 untuk diskritisasi ruang.Penyelesaian permasalahan tekanan dengan menggunakan metode kompresibilitas tiruan. Metode beda hingga dituliskan dengan bahasa Fortran sedangkan distribusi temperatur dan pola aliran divisualisasikan dengan perangkat lunak Matlab.

Visualisasi menunjukan bahwa pola aliran dan mekanisme perpindahan panas dipengaruhi oleh besarnya sudut kemiringan. Perbandingan nilai hasil pada metode ini dengan nilai hasil metode lain seperti MLB, DQ analysis, dan algoritma pseudo–spectral Chebsyev, yang dipublikasikan oleh peneliti lain pada penelitian sebelumnya, menunjukan kedekatan yang membuktikan metode ini dapat diterima. Penelitian ini Metode skema kompak orde-tinggi mampu memberikan hasil yang baik untuk kasus konveksi alami pada kotak 2D dengan

bilangan Rayleigh mencapai 10 7 . Program yang telah dibuat telah mampu

mencapai persamaan kontinuitas mendekati angka 0 yaitu pada nilai 10 -3.2 sampai

10 -3,59 .

Kata kunci : konveksi alami, skema kompak, skema Runge – Kutta , sudut kemiringan .

commit to user

DANDUN MAHESA P, Numerical Simulation of natural convection in 2D cavity with inclination variation by Higher-Order Compact Schemes method

The research was conducted to determine the phenomena, including stramlines and temperature distribution in a natural convection problem, the 2D

cavity with inclination variations. Variations of the inclination angle 0 0 , 30 0 , 45 0 ,

90 0 , 120 0 , 135 0 , 150 0 , and 180 0 .

This paper outlines a method for solving steady state natural convection in

a 2D cavity with a variation of the inclination. The method is based on the Runge- Kutta scheme for time discretization and compact finite difference scheme order-4 for the discretization of space. The pressure problems were solved by using the artificial compressibility method. The finite difference method was written in Fortran language whereas the temperature and flow patterns were visualized with Matlab software.

The visualization showed that the flow pattern and heat transfer mechanisms are influenced by the magnitude of the inclination. Comparison of the results of this method with the results of other method MLB, DQ analysis, and pseudo–spectral Chebsyev, in previous studies, showes the closeness which proves this method is acceptable. This research method of high-order compact schemes can give good results for the case of natural convection in a 2D cavity

with the Rayleigh number reaches 10 7 . The programs that have been made is able to reach the continuity equation close to 0, i.e at 10 -3.2 to 10 -3.59 .

Key words : natural convection, compact schemes, Runge-Kutta schemes, Inclination angles

commit to user

Puji dan syukur Alhamdulillah penulis panjatkan kehadirat Allah SWT, yang senantiasa melimpahkan rahmat, hidayah serta kekuatan kepada Penulis, sehingga Penulis dapat melaksanakan penelitian dan menyelesaikan laporan Tugas Akhir dengan judul “ SIMULASI NUMERIK KONVEKSI ALAMI

DALAM KOTAK 2-D DENGAN VARIASI KEMIRINGAN DENGAN

METODE SKEMA KOMPAK ORDE TINGGI ”, sebagai salah satu syarat untuk memperoleh gelar Sarjana Teknik di Jurusan Teknik Mesin Fakultas Teknik Universitas Sebelas Maret Surakarta.

Dalam penyusunan Tugas Akhir ini penulis banyak memperoleh bantuan dari berbagai pihak yang sangat berarti demi kesempurnaan Tugas Akhir ini. Oleh sebab tersebut pada kesempatan ini penulis mengucapkan rasa terima kasih sedalam dalamnya kepada :

1. Didik Djoko Susilo, S.T.,M.T., selaku Ketua Jurusan Teknik Mesin UNS.

2. Bapak Eko Prasetya Budiana, ST.,MT., selaku Pembimbing I tugas akhir, atas bimbingan, nasehat, kesabaran, motivasi dan ilmu pengetahuan yang diajarkannya.

3. Bapak Purwadi Joko Widodo, S.T.,M.Kom, selaku Pembimbing II tugas akhir, atas bimbingan, nasehat, kesabaran dan ilmu pengetahuan yang diajarkannya.

4. Bapak Heru Sukanto, ST.,MT, selaku Pembimbing Akademik.

5. Bapak–bapak dosen dan staf karyawan di lingkungan Teknik Mesin UNS, atas didikan, nasehat, ilmu yang diajarkan dan kerjasamanya.

6. Ayah, Ibu, kakak dan adik yang selalu memberikan dorongan semangat dan doa kepada Penulis terima kasih untuk kasih sayangnya.

7. Teman–teman Teknik Mesin transfer angkatan 2009 dan teman–teman Teknik Mesin UNS

8. Seluruh pihak yang telah membantu Penulis dalam menyelesaikan skripsi ini. Dengan segenap bantuan dan dukungan yang telah diberikan kepada penulis semoga akan mendapat limpahan berkah dari Allah SWT.

commit to user

maupun saran yang membangun demi kesempurnaan Tugas Akhir tersebut. Akhir kata penulis berharap Tugas Akhir ini dapat bermanfaat bagi para pembaca pada umumnya dan penulis pada khususnya.

Surakarta, Juli 2012

Penulis

commit to user

Gambar 3.2 Kondisi batas dan syarat batas .................................................. 16 Gambar 3.3 Kotak 2D dengan kemiringan ............................................... 17

Gambar 3.4 Diagram Alir Program .............................................................. 20 Gambar 4.1 Kondisi batas dan syarat batas penelitian ................................. 21 Gambar 4.2 Perbandingan Isotermal penelitian Munir dengan

hasil penelitian pada(a) kemiringan ( ) =40 0 ,

(b) kemiringan ( ) = 120 0 , (c) kemiringan ( ) = 160 0 .......... 24 Gambar 4.3 Isotermal pada Ra = 10 6 , sudut = 0 0 .................................... 25

Gambar 4.4 Isotermal pada Ra = 10 6 , (a) sudut = 30 0

(b) sudut = 45 0 ...................................................................... 26

Gambar 4.5 Isotermal pada Ra = 10 6 , (a) sudut = 60 0

(b) sudut = 90 0 ...................................................................... 27

Gambar 4.6 Isotermal pada Ra = 10 6 , (a) sudut = 120 0

(b) sudut = 135 0 .................................................................... 28

Gambar 4.7 Isotermal pada Ra = 10 6 , (a) sudut = 150 0

(b) sudut = 180 0 .................................................................... 29

Gambar 4.8 streamlines pada Ra = 10 6 , (a) sudut = 0 0

(b) sudut = 30 0 ..................................................................... 30

Gambar 4.9 streamlines pada Ra = 10 6 , (a) sudut = 45 0

(b)) sudut = 60 0 ................................................................... 31

Gambar 4.10 streamlines pada Ra = 10 6 , (a) sudut = 90 0

(b) sudut = 120 0 ..................................................................... 32

Gambar 4.11 streamlines pada Ra = 10 6 , (a) sudut = 135 0

(b) sudut = 145 0 .................................................................... 33

Gambar 4.12 Stream Function untuk rasio 2:1 .............................................. 34 Gambar 4.13 Isotermal untuk rasio 2:1 .......................................................... 34 Gambar 4.14 Komponen gaya apung dalam kotak miring ............................. 36

Gambar 4.15 konvergensi untuk Ra=10 6 dan Sudut Kemiringan 0 0 .............. 37 Gambar 4.16 konvergensi untuk Ra=10 6 dan Sudut Kemiringan 30 0 ............ 37

commit to user

Gambar 4.19 konvergensi untuk Ra=10 6 dan Sudut Kemiringan 90 0 ............ 38 Gambar 4.20 konvergensi untuk Ra=10 6 dan Sudut Kemiringan 120 0 .......... 38 Gambar 4.21 konvergensi untuk Ra=10 6 dan Sudut Kemiringan 135 0 .......... 39 Gambar 4.22 konvergensi untuk Ra=10 6 dan Sudut Kemiringan 150 0 .......... 39

commit to user

Tabel 2.1 Koefisien Runge-Kutta orde-4 dari Carpenter dan Kennedy ......... 8

Tabel 4.1 Hasil Perhitungan dan Perbandingan untuk Ra=10 6 ....................... 22 Tabel 4.2 Hasil Perhitungan dan Perbandingan untuk Ra=10 7 ....................... 22

Tabel 4.3 Hasil nilai Nu rata-rata dan Perbandingan untuk Ra=10 5 ................ 23 Tabel 4.4 Hasil nilai Nu rata-rata dan Perbandingan untuk Ra=10 6 ............... 23

commit to user

a : koefisien skema kompak

a M : koefisien skema Runge-Kutta

b : koefisien skema kompak

b M : koefisien skema Runge-Kutta

c : konstanta persamaan konveksi 1-D

g : percepatan gravitasi (m/s 2 )

H : tinggi kotak

H M : variabel untuk skema Runge-Kutta i,j

: indek nodal k

: numerical wave number Lr

: variabel referensi untuk panjang kotak nx

: jumlah index arah x ny

: jumlah indek arah y Nu

: bilangan Nusselt p

: tekanan u

: kecepatan arah x v

: kecepatan arah y Vr

: variabel referensi untuk kecepatan x,y

: koordinat Pr

: bilangan Prandtl Ra

: bilangan Rayleigh t

: variabel waktu tr

: variabel reverensi untuk waktu

Huruf Yunani

a : koefisien skema kompak

b : koefisien ekspansi volumetri

d : operator diferensial ¶ : operator diferensial parsial

e : konstanta metode kompresibilitas tiruan

commit to user

F ” : variabel turunan kedua r : densitas q : variabel temperatur

Ø : sudut kemiringan j : stream function S : jumlah

commit to user

Lampiran 1. Non-Dimensional Persamaan Atur .............................................. 44 Lampiran 2. Skema kompak beda-hingga........................................................ 47 Lampiran 3. Program Penyelesaian Konveksi Alami ...................................... 49 Lampiran 4. Program Perhitungan Tambahan ................................................ 55 Lampiran 5. Program Untuk Visualisasi Hasil ............................................... 60

commit to user

1.1 Latar Belakang Masalah

Proses perpindahan panas dapat terjadi melalui tiga cara, yaitu secara konduksi, konveksi, dan radiasi. Perpindahan panas konveksi adalah perpindahan panas yang terjadi di antara permukaan benda dengan fluida yang bergerak ketika temperatur keduanya berbeda. Perpindahan panas secara konveksi berdasarkan jenis penyebab aliran fluida yang terjadi, dikategorikan menjadi dua kategori yaitu konveksi paksa dan konveksi alami.

Konveksi paksa (forced convection) adalah konveksi yang mana aliran fluida yang terjadi disebabkan adanya alat-alat eksternal, seperti fan, pompa, aliran udara atmosfer (angin). Sedangkan konveksi alami (natural convection) adalah perpindahan panas antara suatu permukaan dan fluida yang mengalir diatasnya, dimana aliran fluida disebabkan oleh adanya perbedaan densitas fluida yang ditimbulkan oleh pemanasan dan pendinginan. Densitas fluida akan berkurang jika fluida mendapat pemanasan sehingga fluida akan mengapung dan daerah yang ditinggalkan akan diisi oleh fluida yang relatif dingin. Fluida yang relatif panas jika mendekati dinding yang relatif dingin densitasnya akan meningkat sehingga akan mengalir turun akibat tarikan gaya grafitasi. Dengan demikian densitas merupakan driving force sirkulasi fluida.

Konveksi alami memegang peranan penting dalam rekayasa industri seperti: perancangan alat penukar kalor, perancangan ventilasi, pendinginan transformator, pendinginan kabel bawah tanah dan pendinginan komponen elektronika. Penelitian mengenai fenomena pada konveksi alami telah banyak dilakukan baik secara eksperimental maupun secara numerik. Penelitian secara eksperimen laboratorium untuk mengetahui fenomena yang terjadi pada proses konveksi alami membutuhkan biaya yang cukup mahal dan proses yang cukup rumit. Oleh karena itu, dikembangkan penelitian secara numerik yang membutuhkan biaya yang jauh lebih murah. Berbagai metode pendekatan numerik

commit to user

berkembang pesat sejalan dengan perkembangan komputer digital berkecepatan tinggi yang semakin pesat.

Perkembangan penelitian secara numerik terus berkembang dari tahun ke tahun. Le Quere (1990) meneliti konveksi alami dalam kotak 2-D dengan diskritasi pseudo-spectral yang didasarkan pada polinomial Chebyshev, kemudian Wilson dan Demuren (1998) menggunakan skema kompak untuk mendiskritisasi turunan ruang dan skema Runge-Kutta untuk mendiskritisasi turunan waktu pada simulasi aliran fluida tak mampat. Lo (2009) meneliti konveksi alami pada kotak 2D dan 3D dengan DQ analisis menggunakan formulasi velocity-vorticity. Azwadi (2010) melakukan penelitian pada konveksi alami pada kotak 2D dengan sudut kemiringan dimana metode yang digunakan adalah metode lattice Boltzmann, begitu juga Munir dan Sidik (2011) meneliti konveksi alami pada kotak 2D dengan kemiringan menggunakan metode lattice Boltzmann. Sen (2012) meneliti persamaan konveksi untuk kondisi unsteady dengan metode skema kompak orde-

4 secara implisit.

1.2 Perumusan Masalah

Perumusan masalah dalam penelitian ini adalah :

1. Bagaimana membuat diskritisasi pada permasalahan konveksi alami dalam kotak 2-D, dengan menggunakan skema kompak beda hingga orde-4 untuk diskritisasi ruang dan skema Runge-Kutta orde-4 untuk diskritisasi waktu dengan variasi kemiringan.

(program) yang mengimplementasikan model yang telah dibuat agar dapat dikomputasikan oleh komputer.

3. Bagaimanakah membuat visualisasi 2-D berdasarkan hasil komputasi numerik yang telah dilaksanakan.

commit to user

Masalah pada penelitian ini dibatasi pada persoalan konveksi alami pada kotak 2-D dengan variasi kemiringan. Penyelesaian masalah tersebut menggunakan skema kompak beda hingga orde-4 untuk diskritisasi ruang, dan skema Runge-Kutta orde-4 untuk diskritisasi waktu, untuk memperoleh vektor kecepatan dan distribusi temperatur.

1.4 Tujuan Penelitian

Tujuan penelitian ini adalah mengekplorasi skema kompak orde-tinggi untuk menyelesaikan permasalahan dan mengetahui fenomena yang terjadi pada konveksi alami pada kotak 2-D dengan variasi kemiringan. Hal tersebut meliputi vektor kecepatan dan distribusi temperatur.

1.5 Manfaat Penelitian

Manfaat dari penelitian ini adalah :

1. Untuk mengembangkan ilmu pengetahuan, terutama dalam bidang komputasi numerik dinamika fluida dan perpindahan panas.

2. Untuk mengetahui penerapan skema kompak orde tinggi pada permasalahan konveksi alami 2D.

1.6 Sistematika Penulisan

Sistematika penulisan yang digunakan :

1. BAB I : PENDAHULUAN Berisi dasar-dasar dan latar belakang pengambilan tugas akhir dan penyusunan skripsi.

2. BAB II : LANDASAN TEORI Berisi tentang tinjauan pustaka, dasar teori konveksi alami, skema kompak beda hingga orde-4 untuk pendekatan turunan ruang dan skema Runge- Kutta orde-4 untuk pendekatan turunan waktu serta metode kopresibilitas tiruan.

commit to user

Berisi tentang alat dan bahan yang digunakan dalam penelitian, cara penelitian, diskritisasi persamaan atur.

4. BAB IV : HASIL DAN PEMBAHASAN Berisi data hasil penelitian (simulasi) dan pembahasannya.

5. BAB V : PENUTUP Berisi kesimpulan yang diperoleh dan saran-saran bagi penelitian selanjutnya.

6. DAFTAR PUSTAKA

7. LAMPIRAN

commit to user

2.1 Tinjauan Pustaka

Prosedur numerik dengan orde akurasi tinggi telah dikembangkan untuk menyelesaikan persamaan Navier-Stokes pada problem aliran fluida tak mampat 2-D dan 3-D. Metode tersebut didasarkan pada skema Runge-Kutta untuk diskritisasi waktu dan skema kompak beda hingga untuk diskritisasi ruang. Persamaan tekanan diselesaikan dengan metode kompresibilitas tiruan.

Le Querre (1990) menggunakan algoritma pseudo–spectral Chebsyev untuk meneliti konveksi alami pada kotak 2D dengan dinding kiri di panasi, dinding kanan didinginkan, serta dinding atas dan bawah adiabatik. Dengan metode ini dapat menghilangkan osilasi numerik dan mencapai hasil yang akurat hingga nilai

Ra 10 8 . Wilson dan Demuren (1998), menggunakan skema kompak beda hingga untuk diskritasi ruang dan skema Runge-Kutta untuk diskritasi waktu pada simulasi aliran fluida tak mampat. Pada penelitian ini skema kompak beda hingga digunakan untuk diskritisasi turunan ruang dan skema Runge-Kutta orde-empat untuk diskritasi turunan waktu.

Sulistyono (2006) melakukan penelitian untuk mengetahui fenomena yang terjadi pada konveksi alami kotak 2D dengan berbagai variasi kemiringan dengan menggunakan metode beda hingga. Zhao dan Dai (2007) menggunakan metode skema kompak orde-4 dalam permasalahan perpindahan panas konduksi dengan kondisi batas Neumann. Laizet (2009) menggunakan skema kompak orde tinggi untuk meneliti aliran fluida tak mampat . Lo (2009) meneliti konveksi alami dengan sudut kemiringan pada kotak 2D dan 3D dengan DQ analisis menggunakan formulasi velocity-vorticity.

Azwadi (2010) melakukan penelitian pada konveksi alami pada kotak 2D dengan sudut kemiringan 20 0 -160 0 , dimana metode yang digunakan adalah

metode lattice Boltzmann. Kondisi batas yang digunakan adalah pemanasan dari samping kiri, dan pendinginan dari samping kanan serta perfectly conducting wall pada bagian atas dan bawah.

commit to user

digunakan adalah pemanasan dari samping kiri, dan pendinginan dari samping kanan serta perfectly conducting wall pada bagian atas dan bawah pada penelitian pertama, dan isolasi pada bagian atas dan bawah pada penelitian berikutnya. Sen (2012) meneliti persamaan konveksi untuk kondisi unsteady dengan metode skema kompak orde-4 secara implisit.

2.2 Dasar Teori

Konveksi alami adalah perpindahan panas di antara sebuah permukaan dan fluida yang bergerak di atasnya dengan gerakan fluida yang disebabkan gaya apung (buoyancy force) yang timbul karena perbedaan density akibat perbedaan tekanan di dalam aliran (Oosthuizen,1999).

Dewasa ini, berkembang metode Lattice Boltzmann (MLB), dimana MLB merupakan teknik simulasi yang sangat berguna untuk pemodelan fluida dengan banyak fase dan komponen. Dinamika fluida umumnya mencakup partikel- partikel mikroskopik, sehingga kalkulasinya sangat rumit yang tidak bisa diselesaikan sepenuhnya melalui metode tradisional.MLB berbasis pada model partikel mikroskopik dan persamaan kinetik, memberikan alternatif numerik untuk memecahkan masalah ini, namun MLB memiliki tingkat kerumitan boundaries dan beban komputasi yang tinggi.Penghitunga fase yang lebih banyak memerlukan ketelitian yang tinggi menyebabkan waktu hitung lebih panjang. Sedangkan untuk skema kompak beda hingga dengan akurasi orde-4 dan orde-6, ternyata skema tersebut memiliki resolusi yang lebih baik dibanding skema beda hingga biasa. Skema kompak beda hingga orde-4 memiliki grid stensil yang sama dengan skema beda hingga orde-dua, hal ini mempermudah penerapan metode ini pada model matematika, akurasinya tinggi, fleksibel, dan pengoperasianya lebih mudah.

Persamaan atur konveksi alami terdiri dari persamaan kontinyuitas, persamaan momentum dan persamaan energi. Model matematika dari persamaan atur konveksi alami terdiri dari persamaan diferensial parsial orde-1 dan orde-2. Agar persamaan atur konveksi alami dapat diaplikasikan dalam bahasa program

commit to user

kompak beda hingga orde-4.

2.2.1 Persamaan atur konveksi alami

Pada konveksi alami dengan perbedaan temperatur yang kecil, maka berlaku pendekatan Boussenesq, yaitu dalam analisis mengenai aliran pada konveksi alami, properties fluida diasumsikan konstan kecuali perubahan density terhadap temperatur yang menyebabkan munculnya gaya apung (buoyancy force) (Oosthuizen, 1999). Sehingga untuk permasalahan 2-D persamaan atur konveksi alami dalam bentuk variabel tak berdimensi adalah sebagai berikut (Quere,1990):

Pesamaan Kontinuitas :

) 

0 (2.1)

Persamaan Navier Stokes :

焸 興os cos ∅ (2.2)

 焸 .   焸   焸 興os sin ∅

(2.3)

Persamaan Energi :

(2.4)

Persamaan di atas diperoleh dengan membagi variabel berdimensi dengan variabel referensi. Variabel referensi untuk panjang adalah Lr=H, untuk kecepatan

Vr=(a/H)Ra -0.5 , dimana Ra=(g bDTH 3 )/( na), untuk variabel waktu tr=(H 2 /a)Ra -0.5 ,

untuk temperatur (q) didefinisikan sebagai berikut : q=(T-Tr)/(Th-Tc), dan Tr=(Th+Tc)/2 dimana T adalah variabel berdimensi untuk suhu, Tr adalah variabel referensi untuk suhu, Th adalah variabel berdimensi untuk suhu yang tinggi dan Tc adalah variabel berdimensi untuk suhu yang rendah sedangkan Pr=(n/a).

commit to user

2.2.2 Diskritisasi waktu

Diskritisasi waktu untuk persamaan momentum menggunakan skema Runge- Kutta orde-4 dari Williamson (Wilson dan Demuren,1998) yang didefinisikan sebagai berikut :

(2.5) dimana :

Dt = langkah waktu

b M = koefisien skema Runge-Kutta

a M = koefisien skema Runge-Kutta u i M = komponen kecepatan arah x i pada sub tingkat ke-M P i M = tekanan

Pr

M M xx i

Ra

d d (2.6)

Tabel 2.1. Koefisien Runge-Kutta orde-4 dari Carpenter dan Kennedy

2.2.3 Diskritisasi Ruang

Skema beda-hingga orde-2 untuk turunan pertama memiliki galat dispersi yang besar, sedangkan skema kompak beda hingga memiliki kelebihan yaitu akurasi tinggi, fleksibel dan pengoperasiannya lebih mudah.

commit to user

hingga orde-4 dan orde-6 dirumuskan oleh Wilson dan Demuren (1998). Bentuk persamaanya adalah :

a a (2.7)

dengan : Dx = L x /N x

= jumlah grid point

F = turunan pertama dari variabel i F terhadap x

a, a, b = koefisien skema kompak Turunan terhadap y dan z dapat dilakukan dengan cara yang sama. Untuk skema orde-empat maka ; a=1/4, a=3/2 dan b=0. Untuk skema orde-6 maka; a=1/4, a=14/9, dan b=1/9. Untuk syarat batas diselesaikan dengan skema kompak orde-3 dengan persamaan sebagai berikut :

/ 1 1 1 bs a bs adalah koefisien orde-3 dari

syarat batas pada i=1. Persamaan yang sama juga digunakan untuk syarat batas pada i=N.

Untuk skema orde-6, syarat batas diselesaikan dengan skema ekplisit beda- hingga orde-5 untuk titik i=1 dan i=N. Persamaan syarat batas adalah sebagai berikut :

bsi a bsi

(2.9)

commit to user

a bs2 =415/48

a bs6 =791/80

a bs3 =-125/8

a bs7 =-25/8

a bs4 =985/48

a bs8 =245/336

Untuk syarat batas pada i=2 dan i=N-1 juga digunakan skema ekplisit orde-lima sebagai berikut :

nbi a nbi

(2.10) dimana :

a nb1 =-3/16

a nb5 =115/144

a nb2 =-211/180

a nb6 =-1/3

a nb3 =109/48

a nb7 =23/40

a nb4 =-35/24

a nb8 =-1/72

b. Turunan kedua

Persamaan skema kompak beda hingga untuk turunan kedua adalah sebagai berikut :

()

()

(2.11) dimana :

F = turunan kedua dari variabel i F terhadap x

a b , a , = koefisien skema kompak beda hingga turunan kedua Untuk orde-empat, a=1/10,

/ 6 = a = , b=0 dan untuk orde-enam, a=2/11, / 12 = a = , b=3/11. Kondisi batas pada i=1 dan i=N diselesaikan dengan skema kompak orde-3 sebagai berikut :

()

bsi bs i bs a

a (2.12)

dimana, a bs =11 dan a bs1 =13, a bs2 =-27, a bs3 =15 dan a bs4 =-1 adalah koefisien skema kompak orde-3.

commit to user

2.2.4 Metode Kompresibilitas Tiruan (Artificial Compressibility)

Konsep metode kompresibilitas tiruan adalah menambahkan turunan terhadap waktu pada persamaan kontinyuitas. Bentuk modifikasi persamaan adalah :

(2.13)

Dimana e adalah konstanta positif. Persamaan ini tidak mempunyai arti fisik jika kondisi tunak belum tercapai.

commit to user

PELAKSANAAN PENELITIAN

3.1 Alat dan Bahan

3.1.1. Alat

a. Laptop dengan spesifikasi Intel(R) Pentium(R) Dual CPU T2390 @1.86GHz, Memori 3062 MB

b. Perangkat lunak Mikrosoft Fortran Power Station 4.0 dan Matlab

c. Printer Canon iP 1980

3.1.2. Bahan

a. Perangkat lunak hasil implementasi penyelesaian numerik persamaan Navier- Stoke, persamaan kontinuitas, dan persamaan energi dengan skema kompak beda hingga digunakan untuk diskritisasi turunan ruang dan skema Runge- Kutta orde-4 untuk diskritasi turunan waktu.

b. Data-data referensi untuk bahan penyusunan kode.

3.2 Garis Besar penelitian

Penelitian dilakukan dengan cara membuat implementasi program untuk menyelesaikan persamaan momentum, persamaan energi dan persamaan kontinyuitas dengan pendekatan skema kompak orde-4 dan skema Runge-Kutta orde-4. Langkah-langkah penelitian yang dilakukan adalah seperti berikut :

1. Mengumpulkan literatur

2. Mempelajari literatur

a. Mempelajari penelitan-penelitian yang pernah dilakukan

b. Mempelajari persamaan atur yang berhubungan dengan permasalahan

3. Merencanakan algoritma program

a. Membuat diskritisasi persamaan atur

b. Menyusun bagan alir program

4. Menulis bagan alir dalam bahasa program (Fortran)

5. Menjalankan program

6. Validasi Program

7. Memperbaiki kesalahan pemrograman

commit to user

ya

tidak

b. Kesalahan algoritma

8. Membuat visualisasi hasil program dengan perangkat lunak Matlab

9. Menyusun laporan penelitian Garis besar penelitian tersebut dapat dibuat diagram alir sebagai berikut :

Gambar 3.1. Diagram Alir Penelitian

Mengumpulkan dan Mempelajari literatur - literatur

Membuat diskritisasi persamaan atur

Mulai

Membuat algoritma program

Menulis bagan alir dalam bahasa fortran

Menjalankan program

Program benar

Membuat visualisasi dengan Matlab

Analisa hasil

Selesai

Kesimpulan

commit to user

Persamaan atur konveksi alami terdiri dari persamaan kontinuitas, persamaan momentum dan persamaan energi. Model matematika dari persamaan atur konveksi alami terdiri dari persamaan diferensial parsial orde-1 dan orde-2. Agar persamaan atur konveksi alami dapat diaplikasikan dalam bahasa program maka terlebih dahulu dibuat diskritisasi persamaan atur. Diskritisasi waktu dilakukan dengan skema Runge-Kutta orde-4 dan diskritisasi ruang dengan skema kompak beda hingga orde-4. Matrik yang terbentuk dari diskritisasi turunan ruang adalah matrik tridiagonal yang bisa diselesaikan dengan algoritma Thomas.

3.3.1 Diskritisasi persamaan momentum

a. Persamaan momentum arah x:

Diskritisasi waktu (Runge-Kutta) :

Diskritisasi Ruang ( Skema Kompak orde- 4) : · Turunan pertama

(3.6) · Turunan kedua

� �5

AA �, 㻘 AA , 㻘 � �5 AA �,

�,

�,

(3.7)

commit to user

b. Persamaan momentum arah y :

Diskritisasi waktu (Runge-Kutta) :

, (3.11) Diskritisasi Ruang ( Skema Kompak orde- 4) :

· Turunan pertama � 鶈A

鶈 ,� 鶈 ,� (3.14) · Turunan kedua

3.3.2. Diskritisasi persamaan energi

� 㻘 � � 㻘鶈 � �

(3.17)

Diskritisasi waktu (Runge-Kutta) : , �

, (3.18)

commit to user

AA , 㻘 99 , 㻘

, (3.19) Diskritisasi Ruang ( Skema Kompak orde- 4) : · Turunan pertama � A

,1 (3.21) · Turunan kedua

3.3.3. Diskritisasi metode kompresibilitas tiruan.

(3.24)

, (3.25)

3.4 Diskritisasi Syarat Batas

Dalam penelitian ini kasus yang dibahas adalah konveksi alami dalam kotak 2-D dengan dinding bawah di panasi, dinding atas didinginkan, serta dinding kiri dan kanan adiabatik dengan variasi kemiringan. Untuk kondisi batas domain adalah pada seluruh dinding kecepatan bernilai nol sedangkan syarat batas tekanan dan temperatur adalah seperti berikut :

q = 0.5

q = -0.5

commit to user

Gambar 3.3. Kotak 2D dengan kemiringan ∅

3.4.1. Syarat batas kecepatan

· Turunan pertama. Untuk i=1 dan i=nx

2鶈 , (3.28) Untuk j=1 dan j=ny

· Turunan kedua. Untuk i=1 dan i=nx

AA �, 㻘 11 AA ,

13 �, 27 , 㻘1 ,

(3.33)

AA , 㻘 11 AA �,

13 ,

27 �, 㻘1

(3.34)

commit to user

鶈AA �, 㻘 11鶈AA ,

13鶈 �, 27鶈 , 㻘1鶈 , 鶈 , (3.35)

鶈AA , 㻘 11鶈AA

Untuk j=1 dan j=ny

3.4.2. Syarat batas tekanan

Untuk i=1 dan i=nx

A �, (3.41)

(3.42) Untuk j=1 dan j=ny

3.4.3. Syarat batas temperatur

· Turunan pertama Untuk i=1 dan i=nx q A

�,

� �∆

3q , 㻘1q , 3q , 㻘 48q , 2q �, (3.45)

� �∆

, 㻘3 q , 48 q �, 2 q , (3.46)

commit to user

,�

(3.47) q 9

(3.48) · Turunan kedua

Untuk i=1 dan i=nx q AA

�, 㻘 11qAA ,

13q �, 27q , 㻘1q , q , (3.49)

q AA , 㻘 11 q AA �,

13 q , 27 q �, 㻘1 q , q , (3.50)

Untuk j=1 dan j=ny q 99

,� 㻘 11q99 ,

13q ,� 27q , 㻘1q , q , (3.51)

3.5. Algoritma Pemrograman

Algoritma pemrograman tersebut dapat dituliskan sebagai berikut :

1. Tentukan kondisi awal dan kondisi batas untuk semua variabel (u,v,q,p).

2. Hitung turunan pertama dari kecepatan, temperatur dan tekanan (u x ,u y ,v x ,v y ,q x ,q y ,p x ,p y ) dan turunan kedua dari kecepatan dan temperatur(u xx ,u yy ,v xx ,v yy ,q xx ,q yy ) dengan skema kompak orde-empat.

3. Hitung kecepatan(u,v) dengan skema Runge-Kutta orde-empat.

4. Hitung tekanan dengan metode artificial compressibility.

5. Hitung temperatur(q)dengan skema Runge-Kutta orde-4.

6. Periksa apakah sudah mencapai batas perhitungan atau belum, jika belum kembali ke langkah 2, jika sudah ke langkah 7.

7. Tulis hasil

8. Selesai

commit to user

Gambar 3.4. Diagram Alir Program

MULAI DATA AWAL SYARAT BATAS

TENTUKAN TURUNAN PERTAMA UNTUK u,v,p,q DAN TURUNAN KEDUA UNTUK u,v,q

SELESAIKAN PERSAMAAN MOMENTUM UNTUK MEMPEROLEH U m+1 DAN v m+1

HITUNG TEKANAN p m+1 DENGAN METODE ARTIFICIAL COMPRESSIBILITY

SELESAIKAN PERSAMAAN ENERGI UNTUK MEMPEROLEH

q m+1

PERIKSA KONVERGENSI ? TULIS HASIL SELESAI

commit to user

HASIL DAN PEMBAHASAN

4.1 Validasi Program

Validasi program dilakukan dengan cara membandingkan hasil dari proses simulasi dengan hasil penelitian yang telah dilakukan oleh Le Quere. Domain pada Penelitian Le Quere adalah penyelesaian permasalahan konveksi alami pada kotak 2D, dengan aspek rasio 1:1, dengan kondisi dinding bawah dan atas merupakan dinding adiabatis, dinding kiri mendapat pemanasan dan dinding kanan mendapat pendinginan.

Gambar 4.1. Kondisi batas dan syarat batas Penelitian Kondisi Batas Le Quere sama dengan kondisi batas pada penelitian pada

sudut kemiringan ( ) = 90 0 . Hasil Perhitungan akan dibandingkan dengan penelitian Le Quere pada Ra=10 6 , dan Ra=10 7 . Hasil perhitungan dan

perbandingan dengan hasil penelitian Le Quere disajikan dalam tabel 4.1 dan 4.2.

q = 0.5

q = -0.5

commit to user

Skema Kompak Le Quere Beda (%) j middle 0.0162925

0.0163864 0.57

j max 0.01683449

u max(1/2,y) 0.064892

0.0648344 0.09

0.85 0.85 0.00

v max(x,1/2) 0.220252

Nu wall 8.73409

8.8252

1.03

Nu middle 8.821

8.8252

0.05

Nu max 17.157

17.536

2.16

Nu min 0.9845

0.97946

0.51

Tabel 4.2 Hasil Perhitungan dan Perbandingan untuk Ra=10 7

Skema Kompak

Le Quere

Beda (%)

j middle 0.009213797

0.00928496 0.77

j max 0.00960185

u max(1/2,y) 0.047195

v max(x,1/2) 0.221108

Nu wall 16.21204

16.523

1.88

Nu middle 16.53448

16.523

0.07

Nu max 40.3283

39.3948

2.37

Nu min 1.375111

1.36636

0.64

commit to user

dengan hasil penelitian yang telah dilakukan oleh Lo. Domain untuk penelitian.Lo pada permasalahan konveksi alami, kotak 2D dengan aspek rasio 1 :1, dengan kondisi dinding bawah dan atas merupakan dinding adiabatis, dinding kanan mendapat pemanasan dan dinding kiri mendapat pendinginan.

Kondisi Batas ini sama dengan kondisi batas pada penelitian pada sudut kemiringan ( ) = 270 0 . Pada penelitian Lo kotak dimiringkan berlawanan

dengan arah jarum jam. Hasil Perhitungan akan dibandingkan dengan penelitian

Lo pada Ra=10 5 , dan Ra=10 6 . Hasil perhitungan Nusselt rata-rata dan

perbandingan dengan hasil penelitian Lo disajikan dalam tabel 4.3 dan 4.4. Tabel 4.3 Hasil nilai Nusselt rata-rata dan Perbandingan untuk Ra=10 5

Sudut Kemiringan

Skema Kompak

Tabel 4.4 Hasil nilai Nusselt rata-rata dan Perbandingan untuk Ra=10 6

Sudut Kemiringan

Skema Kompak

0.128 Validasi secara visual dilakukan dengan membandingkan hasil visual

isotermal dengan hasil visual isotermal pada penelitian Munir. Hasil penelitian Munir menggunakan metode lattice Boltzmann dan kondisi batas yang sama dengan kondisi batas pada penelitian. Perbandingan ditunjukan dengan gambar berikut :

commit to user

(a)

(b)

(c) Gambar 4.2. perbandingan Isotermal penelitian Munir dengan Hasil penelitian

pada (a) kemiringan ( ) =40 0 , (b) kemiringan ( ) = 120 0 ,

(c) kemiringan ( ) = 160 0

commit to user

Hasil perhitungan yang ditunjukan tabel 4.1 sampai 4.4 menunjukkan kedekatan yang baik antara hasil penelitian dengan hasil penelitian Le Quere maupun Lo. Secara visual, hasil penelitian menunjukan kemiripan dengan penelitian yang dilakukan Munir. Sehingga dapat dikatakan hasil penelitian dari skema kompak orde tinggi memiliki kesesuaian yang baik.

4.2. Simulasi Konveksi Alami dalam kotak 2D

Simulasi kasus konveksi alami dalam kotak 2-D ditampilkan dengan susunan grid sebesar 101 x 101, bilangan Prandtl (Pr) = 0.71 , langkah waktu dt = 0.005

dan angka Rayleigh yang digunakan adalah Ra = 10 6 dengan rasio 1:1 . Hasil simulasi selengkapnya dapat dilihat pada gambar berikut : · Distribusi temperatur :

Gambar 4.3 Isotermal pada Ra = 10 6 , sudut = 0 0

Panas

Dingin

Iso

la

si

Isol

asi

commit to user

(a)

(b)

Gambar 4.4 Isotermal pada Ra = 10 6 , (a) sudut = 30 0 (b) sudut = 45 0

Dingin

Panas

Isolasi

Isolasi

Dingin

Panas

Isolasi

Isolasi

commit to user

(a)

(b)

Gambar 4.5 Isotermal pada Ra = 10 6 , (a) sudut = 60 0 (b) sudut = 90 0

Dingin

Panas

Isolasi

Isolasi

Isolasi

Isolasi

di

ngi

ana

commit to user

(a)

(b)

Gambar 4.6 Isotermal pada Ra = 10 6 , (a) sudut = 120 0 (b) sudut = 135 0

Isolasi

Isolasi

Panas

Dingin

Isolasi

Isolasi

Panas

Dingin

commit to user

(a)

(b)

Gambar 4.7 Isotermal pada Ra = 10 6 , (a) sudut = 150 0 (b) sudut = 180 0

Isolasi Isolasi

Isolasi

Isolasi

dingin

Panas

Panas

dingin

commit to user

Gambar 4.8 streamlines pada Ra = 10 6 , (a) sudut = 0 0 (b) sudut = 30 0

commit to user

(a)

(b)

Gambar 4.9 streamlines pada Ra = 10 6 , (a) sudut = 45 0 (b) sudut =60 0

commit to user

(a)

(b)

Gambar 4.10 streamlines pada Ra = 10 6 , (a) sudut = 90 0 (b) sudut = 120 0

commit to user

(a)

(b)

Gambar 4.11 streamlines pada Ra = 10 6 , (a) sudut = 135 0 (b) sudut = 150 0

commit to user

susunan grid sebesar 81 x 41, bilangan Prandtl (Pr) = 0.71 , langkah waktu dt =

0.0005, sudut = 0 0 dan angka Rayleigh yang digunakan adalah Ra = 10 6 dengan

rasio 2:1. Hasil simulasi selengkapnya dapat dilihat pada gambar berikut :

Gambar 4.12 Streamlines untuk rasio 2:1

Gambar 4.13 Isotermal untuk rasio 2:1

Isolasi

Panas

Isolasi

Dingin

commit to user

menunjukan distribusi temperatur secara visual. Gambar 4.3 pada sudut = 0 0 ,

terlihat bahwa pergerakan fluida panas bergerak keatas karena adanya gaya apung (buoyancy force). Hal ini disebabkan karena density yang turun akibat dari temperatur panas, sedangkan fluida dingin bergerak ke bawah karena density lebih besar serta adanya gaya gravitasi. Temperatur fluida yang dekat dengan dinding sangat terpengaruh oleh temperatur di dinding. Gambar 4.3 menunjukkan pengaruh nilai Ra pada distribusi temperatur, dimana bagian yang relatif panas di bagian kiri bawah semakin condong ke atas dan distribusi temperatur yang relatif dingin di bagian kanan bawah semakin condong ke bawah, hal ini karena pengaruh kecepatan gerakan fluida yang membawa panas pada nilai Ra tersebut.

Hal ini pun terjadi pada kemiringan kotak untuk sudut = 30 0 ,45 0 ,60 0 , 90 0 , 120 0 , 135 0 dan 150 0 yang di tunjukan pada gambar 4.4 sampai 4.7. Gambar

isotherm tersebut Di sini terlihat bahwa kecepatan fluida pada dinding kiri dan kanan relatif cepat dari pada bagian tengah. Pada dinding yang dipanaskan, fluida mendapat pemanasan sehingga densitas fluida mengecil . Penyusutan densitas pada dinding yang dipanaskan menyebabkan terjadinya gaya apung sehingga fluida bergerak ke atas. Aliran fluida setelah mencapai dinding atas bergerak turun dan selanjutnya membelok ke arah dinding yang didinginkan dan mengalami pendinginan. Gerakan fluida turun setelah mencapai dinding atas disebabkan oleh pengaruh inersia. Hal ini terjadi karena nilai Bilangan Prandtl untuk udara adalah Pr<1 sehingga keseimbangan persamaan aliran dipengaruhi oleh inersia. Untuk nilai Pr>1 maka pengaruh inersia akan semakin berkurang sehingga keseimbangan persamaan aliran dipengaruhi oleh friction dan buoyancy. Setelah mencapai dinding dingin fluida membelok ke bawah, karena temperatur dinding lebih rendah, sehingga fluida mengalami pendinginan sehingga densitasnya meningkat, dengan demikian kecepatan aliran bertambah karena pengaruh gaya gravitasi. Setelah mencapai dinding bawah aliran fluida bergerak ke atas karena pengaruh inersia kemudian berbelok ke dinding yang dipanaskan dan mengalami pemanasan pada dinding kiri. . Dimana fenomena ini menjelaskan arah gaya apung, dimana dapat digambarkan seperti gambar 4.14 berikut :

commit to user

Gambar 4.14 Komponen gaya apung dalam kotak miring

Gambar 4.7 (b), untuk kemiringan sudut = 180 0 menunjukan tidak terjadi

perpindahan panas secara konveksi, melainkan perpindahan panas terjadi secara konduksi. Hal ini dikarenakan pemanasan terjadi pada bagian atas, dan pendinginan terjadi pada bagian bawah. Sehingga fluida tidak terjadi pergerakan, dan efek gaya apung (buoyancy force) tidak terjadi pada sudut ini.

Gambar. 4.8 dan Gambar 4.11 menunjukkan plot dari streamlines untuk sudut kemiringan sudut = 30 0 ,45 0 ,60 0 , 90 0 , 120 0 , 135 0 dan 150 0 . Simulasi pada Ra 10 6 dengan sudut kemiringan ≥ 30 0 , fluida yang dekat dengan dinding panas

dipanaskan dan naik karena pengaruh gaya apung (buoyancy force). Kemudian fluida yang didinginkan oleh dinding dingin, fluida terjadi peningkatan density yang kemudian akan turun. Hal ini digambarkan secara sederhana melalui

gambar 4.14. Hasil simulasi untuk sudut kemiringan > 30 0 , pada bagian tengah

muncul sel lebih dari satu karena tingginya gaya tarik gravitasi di sepanjang dinding vertikal dari kotak. Sedangkan untuk hasil simulasi pada sudut

kemiringan yang lebih rendah ( < 30 0 ), hanya sel pusat tunggal muncul karena

kecepatan aliran yang lebih tinggi di sepanjang dinding panas dan dingin.

Hasil simulasi untuk sudut kemiringan =0 0 yang ditunjukan gambar 4.8

(a) terdapat satu gulungan sel, dimana bila rasio ditingkatkan maka akan terlihat beberapa gulungan sel. gulungan sel itu biasa disebut benard sell. Hal ini nampak lebih jelas pada simulasi kasus dengan rasio 2:1. Dimana hal ini ditunjukan pada plot Streamlines gambar 4.12. Gambar tersebut menunjukan adanya 2 benard sell.

commit to user

Gambar 4.15 konvergensi untuk Ra=10 6 dan Sudut Kemiringan 0 0

Gambar 4.16 konvergensi untuk Ra=10 6 dan Sudut Kemiringan 30 0

Gambar 4.17 konvergensi untuk Ra=10 6 dan Sudut Kemiringan 45 0

commit to user

Gambar 4.18 konvergensi untuk Ra=10 6 dan Sudut Kemiringan 60 0

Gambar 4.19 konvergensi untuk Ra=10 6 dan Sudut Kemiringan 90 0

Gambar 4.20 konvergensi untuk Ra=10 6 dan Sudut Kemiringan 120 0

commit to user

Gambar 4.21 konvergensi untuk Ra=10 6 dan Sudut Kemiringan 135 0

Gambar 4.22 konvergensi untuk Ra=10 6 dan Sudut Kemiringan 150 0 Gambar kurva konvergensi pada gambar 4.15 sampai gambar 4.22

menunjukan nilai logaritma -3,2 sampai -3,59. Nilai logaritma tersebut menunjukan bahwa program yang telah dibuat telah mampu mencapai persamaan kontinuitas mendekati angka 0 yaitu pada nilai 10 -3.2 sampai 10 -3,59 . Sehingga dari gambar kurva konvergensi menunjukan bahwa skema kompak orde tinggi dapat mencapai persamaan kontinuitas mendekati 0 untuk berbagai sudut kemiringan.

commit to user

PENUTUP

5.1 Kesimpulan

Dari penelitian dan pembahasan yang telah dilakukan, dapat ditarik beberapa kesimpulan yaitu :

a. Hasil penelitian pada domain kotak 2D pada sudut kemiringan 90 0 menunjukkan kedekatan nilai yang baik dengan hasil penelitian Querre pada Ra = 10 6 dan Ra = 10 7 . Pada sudut kemiringan 270 0 , 255 0 , 240 0 , dan 210 0 menunjukan kedekatan nilai yang baik dengan hasil penelitian Lo. Prosentase perbedaan kurang dari 5% secara keseluruhan.

b. Metode skema kompak orde-tinggi mampu memberikan hasil yang baik untuk kasus konveksi alami pada kotak 2D dengan bilangan Rayleigh mencapai 10 7 .

c. Konveksi alami pada kotak 2D dengan kemiringan telah dapat disimulasikan dengan penyelesaian persamaan Navier Stokes menggunakan metode skema kompak orde-tinggi , dimana ditunjukan dengan gambar pola streamlines, dan distribusi temperatur.

d. Pada kotak 2D dengan pemanasan dari bawah ( sudut kemiringan 0 0 ) terjadi

konveksi alami dengan pola aliran fluida membentuk benard sell.

e. Arah pergerakan fluida pada kotak 2D yang dimiringkan mengikuti arah bouyancy forcé , dimana pada sisi panas bergerak keatas, dan pada sisi dingin bergerak kebawah.

f. Pada kotak 2D dengan pemanasan dari atas ( sudut kemiringan 180 0 ) tidak terjadi perpindahan panas konveksi, melainkan perpindahan panas secara konduksi.

g. program yang telah dibuat telah mampu mencapai persamaan kontinuitas mendekati angka 0 yaitu pada nilai 10 -3.2 sampai 10 -3,59 .

commit to user

Untuk lebih mengembangkan ilmu pengetahuan dibidang simulasi numerik, penulis memberikan saran :

a. Dilakukan penelitian lebih lanjutmengenai konveksi alami pada bidang 3D

b. Melakukan pengembangan dengan metode yang dapat menghasilkan keakuratan lebih tinggi, misalnya metode Lattice Boltzmann.