SMART SOLUTION UN MATEMATIKA SMA 2014 (Full Version – Free Edition)

Smart Solution

UJIAN NASIONAL

TAHUN PELAJARAN 201 3 /201 4

Disusun Sesuai Indikator Kisi-Kisi UN 201 4

Matematika SMA

(Program Studi IPA)

Disusun oleh :

Pak Anang

SMART SOLUTION dan TRIK SUPERKILAT UN Matematika SMA Program IPA Per Indikator Kisi-Kisi UN 201 4

By Pak Anang ( http://pak-anang.blogspot.com )

SKL 1. Menggunakan logika matematika dalam pemecahan masalah.

1. 1. Menentukan penarikan kesimpulan dari beberapa premis.

Implikasi

Kesetaraan Implikasi

Penarikan Kesimpulan

Modus Ponens & Tollens Silogisme

“implikasi” + “pernyataan” = “pernyataan” “implikasi” + “implikasi” = “implikasi”

Coret pernyataan yang sama

Selesai

Keterangan: Warning!! Jika terdapat pernyataan majemuk selain implikasi, maka ubah dulu menggunakan konsep kesetaraan implikasi.

Modus Ponens dan Modus Tollens Pola penarikan kesimpulan menggunakan Modus Ponens dan Modus Tollens adalah serupa, yakni penarikan kesimpulan dari dua premis. Premis pertama adalah harus sebuah implikasi, dan premis kedua berisi pernyataan tunggal. Hasil dari penarikan kesimpulan adalah pernyataan tunggal.

Contoh: Premis 1

: Jika hari ini hujan deras, maka Bona tidak keluar rumah.

Premis 2

: Bona keluar rumah.

Kesimpulan : Hari ini tidak hujan deras.

Silogisme Penarikan kesimpulan menggunakan Silogisme adalah penarikan kesimpulan dari dua premis yang harus berupa implikasi. Hasil dari penarikan kesimpulan adalah implikasi dan bentuk setara yang lain .

Contoh: Premis 1

: Jika cuaca hujan maka Agus pakai payung.

Premis 2

: Jika Agus pakai payung maka Agus tidak basah.

Kesimpulan : Jika cuaca hujan maka Agus tidak basah.

= Cuaca tidak hujan atau Agus tidak basah. = Jika Agus basah maka cuaca tidak hujan.

Bimbel UN Matematika SMA Program IPA by Pak Anang ( http://pak-anang.blogspot.com ) Halaman 1

1. 2. Menentukan ingkaran atau kesetaraan dari pernyataan majemuk atau pernyataan berkuantor.

Ingkaran

Pernyataan Majemuk Pernyataan Berkuantor

“Dan, Atau”

“Jika Maka”

“Semua, Ada”

Ubah operator dan pernyataan “dan tidak” Ubah kuantor dan pernyataan

Selesai

Keterangan:

“Dan, Atau” Pola ingkaran dari pernyataan majemuk konjungsi dan disjungsi adalah sama, yaitu tukarkan operator

dan ingkarkan semua pernyataannya.

Contoh: Ingkaran dari Saya makan mie dan dia membeli baju

adalah: Saya tidak makan mie

atau

tidak dia membeli baju

“Jika Maka” Pola ingkaran dari pernyataan majemuk implikasi adalah “dan tidak”.

Contoh: Ingkaran dari Jika saya lulus ujian maka ayah memberi hadiah

adalah: Saya lulus ujian

dan

tidak ayah memberi hadiah

“Semua, Ada” Pola ingkaran dari pernyataan berkuantor adalah sama, yaitu tukarkan operator kuantornya dan

ingkarkan pernyataannya.

Contoh: Ingkaran dari Semua siswa ikut upacara bendera pada hari Senin.

adalah:

Ada siswa

tidak ikut upacara bendera pada hari Senin

Halaman 2 Bimbel UN Matematika SMA Program IPA by Pak Anang ( http://pak-anang.blogspot.com )

Pembahasan TRIK SUPERKILAT pada contoh soal yang serupa pada UN 2012 kemarin:

1. Diketahui premis-premis sebagai berikut: Premis 1 : Jika hari ini hujan deras, maka Bona tidak keluar rumah. Premis 2 : Bona keluar rumah. Kesimpulan yang sah dari premis-premis tersebut adalah ....

A. Modus tollens : Hari ini hujan deras

B. Hari ini hujan tidak deras

C. Hari ini hujan tidak deras atau bona tidak keluar rumah ∴ ∼ ℎ𝑢𝑗𝑎𝑛

D. Hari ini tidak hujan dan Bona tidak keluar rumah

Jadi kesimpulannya hari ini tidak

E. Hari ini hujan deras atau Bona tidak keluar rumah

hujan deras.

2. Ingkaran pernyataan “Jika semua anggota keluarga pergi, maka semua pintu rumah dikunci rapat ” adalah ....

A. Jika ada anggota rumah yang tidak pergi maka ada pintu rumah yang tidak dikunci rapat.

B. Jika ada pintu rumah yang tidak dikunci rapat maka ada anggota keluarga yang tidak pergi.

C. Jika semua pintu rumah ditutup rapat maka semua anggota keluarga pergi.

D. Semua anggota keluarga pergi dan ada pintu rumah yang tidak dikunci rapat.

E. Semua pintu rumah tidak dikunci rapat dan ada anggota keluarga yang tidak pergi.

3. Diketahui premis-premis berikut: Premis 1 : Jika Tio kehujanan, maka Tio sakit. Premis 2 : Jika Tio sakit, maka ia demam.

Kesimpulan dari kedua premis tersebut adalah ....

A. Jika Tio sakit maka ia kehujanan.

Silogisme :

B. Jika Tio kehujanan maka ia demam.

C. Tio kehujanan dan ia sakit. 𝑠𝑎𝑘𝑖𝑡 ⇒ 𝑑𝑒𝑚𝑎𝑚

D. Tio kehujanan dan ia demam.

E. Tio demam karena kehujanan.

Jadi kesimpulannya Jika Tio kehujanan,

maka ia demam.

4. Ingkaran pernyataan “Jika semua mahasiswa berdemonstrasi maka lalu lintas macet” adalah ....

A. Mahasiswa berdemonstrasi atau lalu lintas macet.

B. Mahasiswa berdemonstrasi dan lalu lintas macet.

C. Semua mahasiswa berdemonstrasi dan lalu lintas tidak macet.

D. Ada mahasiswa berdemonstrasi.

E. Lalu lintas tidak macet. ∼ [(∀𝑚𝑎ℎ𝑎𝑠𝑖𝑠𝑤𝑎, 𝑑𝑒𝑚𝑜) ⇒ 𝑚𝑎𝑐𝑒𝑡] ≡ (∀𝑚𝑎ℎ𝑎𝑠𝑖𝑠𝑤𝑎, 𝑑𝑒𝑚𝑜) ∧ ∼ 𝑚𝑎𝑐𝑒𝑡

5. Diketahui premis-premis sebagai berikut:

Premis I : “Jika Cecep lulus ujian maka saya diajak ke Bandung.” Premis II : “Jika saya diajak ke Bandung maka saya pergi ke Lembang.”

Kesimpulan yang sah dari premis-premis tersebut adalah ....

Silogisme :

A. Jika saya tidak pergi ke Lembang maka Cecep lulus ujian. 𝑙𝑢𝑙𝑢𝑠 ⇒ 𝐵𝑎𝑛𝑑𝑢𝑛𝑔

B. Jika saya pergi ke Lembang maka Cecep lulus ujian.

C. Jika Cecep lulus ujian maka saya pergi ke Lembang.

Jadi kesimpulannya Jika Cecep lulus

D. Cecep lulus ujian dan saya pergi ke Lembang.

ujian maka saya pergi ke Lembang.

E. Saya jadi pergi ke Lembang atau Cecep tidak lulus ujian.

6. Negasi dari pernyataan: “Jika semua siswa SMA mematuhi disiplin sekolah maka Roy siswa teladan”, adalah ...

A. Semua siswa SMA mematuhi disiplin sekolah dan Roy bukan siswa teladan.

B. Semua siswa SMA mematuhi disiplin sekolah dan Roy siswa teladan.

C. Ada siswa SMA mematuhi disiplin sekolah dan Roy bukan siswa teladan.

D. Ada siswa SMA mematuhi disiplin sekolah atau Roy siswa teladan.

E. Jika siswa SMA disiplin maka Roy siswa teladan.

Bimbel UN Matematika SMA Program IPA by Pak Anang ( http://pak-anang.blogspot.com ) Halaman 3

SKL 2. Menyelesaikan masalah yang berkaitan dengan aturan pangkat, akar dan logaritma, fungsi aljabar sederhana,

fungsi kuadrat, fungsi eksponen dan grafiknya, fungsi komposisi dan fungsi invers, sistem persamaan linear, persamaan dan pertidaksamaan kuadrat, persamaan lingkaran dan garis singgungnya, suku banyak, algoritma sisa dan teorema pembagian, program linear, matriks dan determinan,vektor, transformasi geometri dan komposisinya, barisan dan deret, serta mampu menggunakannya dalam pemecahan masalah.

2. 1. Menggunakan aturan pangkat, akar dan logaritma.

Syarat: Pangkat 𝑎∈𝑅

Definisi

Sifat

𝑎 𝑛 =𝑎×𝑎×…×𝑎 ⏟ “Bilangan Pokok Sama”

untuk 𝑎 ≠ 0, berlaku:

Pangkat Pecahan

Syarat: Bentuk Akar

Definisi

Sifat

“Invers Pangkat”

“Bentuk Akar Sama”

“Kurung”

𝑝 √𝑎 𝑛 + 𝑞 √𝑎 = (𝑝 + 𝑞) √𝑎 √𝑎𝑏 = √𝑎 × √𝑏 "Pangkat Pecahan"

Haram menjadi penyebut pecahan

"Bentuk Akar Beda"

Untuk 𝑎 > 𝑏, berlaku:

Rasionalisasi √𝑎 + √𝑏 = √(𝑎 + 𝑏) + 2√𝑎𝑏

“kalikan sekawan penyebut”

Halaman 4 Bimbel UN Matematika SMA Program IPA by Pak Anang ( http://pak-anang.blogspot.com )

Syarat: Logaritma

Definisi

Sifat

𝑎 𝑏 =𝑐⇔ 𝑎 log 𝑐 = 𝑏 "Penjumlahan Pengurangan" "Perbandingan"

log 𝑏 = 1 𝑐 log 𝑎 0 = 𝑎 𝑏 log 𝑎 𝑎 =1⇔ log 1 = 0

Sehingga diperoleh: 𝑐 log(𝑏𝑐) = log 𝑏 + log 𝑐 𝑎 log 𝑏

Tipe soal yang sering keluar

Pangkat

Menyederhanakan bentuk pangkat Bilangan pokok berupa angka, ubah ke bentuk bilangan pokok yang paling sederhana. Bilangan pokok berupa variabel, lakukan operasi pangkat tiap variabel.

Contoh:

Contoh:

Tentukan bentuk sederhana dari: Tentukan bentuk sederhana dari:

Bimbel UN Matematika SMA Program IPA by Pak Anang ( http://pak-anang.blogspot.com ) Halaman 5

Bentuk Akar

Menyederhanakan Bentuk Akar Cari faktor bilangan tersebut yang dapat diakar, sehingga mendapatkan bentuk akar paling sederhana. Contoh: √72 = √36√2 = 6√2

Menyederhanakan bentuk akar dengan konsep √(𝒂 + 𝒃) ± 𝟐 √𝒂𝒃 = √𝒂 ± √𝒃

Pastikan bilangan di depan akar adalah harus angka 2. Jika bukan 2, maka ubahlah menjadi 2. Contoh: √5 + √24 = ….

Penyelesaian: √5 + √24 = √5 + √4√6 = √5 + 𝟐 √6 = √(3 + 2) + 2√3 ∙ 2 = √3 + √2

Menyederhanakan bentuk akar dengan merasionalisasi penyebut pecahan bentuk akar Kalikan dengan 1 (pecahan yang pembilang dan penyebutnya adalah sekawan bentuk akar tersebut)

Sekawan dari √𝑎 adalah √𝑎. Sekawan dari √𝑎 + √𝑏 adalah √𝑎 − √𝑏. Sekawan dari √𝑎 − √𝑏 adalah √𝑎 + √𝑏.

Contoh: Bentuk sederhana dari

Logaritma

Menyederhanakan bentuk logaritma Gunakan definisi dan sifat logaritma untuk menyederhanakan logaritma. Contoh:

= 9 log 3 4 = 9 log(3 2 ) 2 = 9 log 9 2 =2∙ 9 log 9 =2∙1

Halaman 6 Bimbel UN Matematika SMA Program IPA by Pak Anang ( http://pak-anang.blogspot.com )

Menyusun bentuk logaritma menggunakan beberapa bentuk logaritma yang lain. Gunakan definisi untuk menyusun bentuk logaritma menggunakan beberapa bentuk logaritma yang lain.

Contoh: Jika 2 3 log 3 = 𝑎 dan 12 log 5 = 𝑏. Nilai dari log 150 = ….

Penyelesaian:

12 log 150 3 log(2 ∙ 3 ∙ 5 2 ) 3 log 2 + 3 log 3 + 3 log 5 2 3 log 2 + 3 log 3 + 2 ∙ 3 log 150 = log 5

log 12 = 3 log(2 2 ∙ 3) =

Cara tersebut cukup menyita waktu kalau digunakan saat mengerjakan soal UN, karena kita harus menuliskan panjang lebar konsep definisi dan sifat logaritma. Nah, perhatikan urutan mengerjakannya: Pertama, ubah logaritma menjadi perbandingan. Kedua, faktorkan numerus kedua logaritma tersebut sehingga memuat bilangan pada logaritma yang diketahui. Ketiga, menjabarkan kedua logaritma tersebut dengan menggunakan sifat penjumlahan logaritma. Keempat, mengubah bentuk logaritma ke dalam variabel yang diketahui pada soal. Kelima, apabila masih terdapat bentuk pecahan, bulatkan dengan mengalikan KPK penyebut. Selesai.

TRIK SUPERKILAT: Perhatikan basis dan numerus pada bentuk logaritma yang diketahui.

𝟐 log 𝟑 = 𝑎 dan 𝟑 log 𝟓 = 𝑏. Ternyata bilangannya adalah

2, 3, dan 5 .

Lalu, cari bilangan yang sama.

Ternyata bilangan yang sama adalah 3 .

Semua bilangan akan menjadi numerus dari bentuk logaritma yang akan menjadi acuan kita nanti, sedangkan bilangan yang sama akan menjadi basis dari logaritma tersebut.

1 log 2 =

𝑎 log 5 = 𝑏 𝟑 log 3 = 1

Cara membacanya:

Bilangan 2 pada langkah berikutnya akan disubstitusi dengan 𝑎 . Bilangan 5 pada langkah berikutnya akan disubstitusi dengan b.

Bilangan 3 pada langkah berikutnya akan disubstitusi dengan 1.

Perhatikan basis dan numerus pada bentuk logaritma yang ditanyakan. Ubah menjadi pecahan 𝑛𝑢𝑚𝑒𝑟𝑢𝑠 (

Faktorkan kedua bilangan tersebut dengan memperhatikan ketiga angka tadi (2, 3, dan 5). Segera substitusikan faktor dari kedua bilangan tersebut seperti cara membaca ketiga logaritma acuan tadi. Jangan lupa untuk mengubah tanda perkalian menjadi penjumlahan.

Bimbel UN Matematika SMA Program IPA by Pak Anang ( http://pak-anang.blogspot.com ) Halaman 7

Pembahasan TRIK SUPERKILAT pada contoh soal yang serupa pada UN 2012 kemarin:

1. Diketahui a  , b  2 , dan c  1 . Nilai dari

2  1 adalah ....

2 a . b . c 𝑎 −2 𝑏𝑐 3 A. 4 1 𝑐 4 1

B. 𝑎𝑏 2 𝑐 −1 𝑎 4 3 𝑏= 3

C. 16 (12)

D. 64 =

E. 96 4 =4

2. Diketahui a b 4 ,  2 , dan c  . Nilai ( a )   3 adalah ....

= (4 A. −1 (𝑎 ) 2 ×

B. = ×

C. 8

D.

E.

 4  1 2 1 x yz

3. Jika diketahui x  , y  , dan z  2 . Nilai

adalah ....

A. 𝑥 −4 𝑦𝑧 32 −2 =𝑥 −4−(−3) 𝑦 (1−2) 𝑧 −2−(−4)

B. 60 𝑥 −3 𝑦 2 𝑧 −4

=𝑥 −1 𝑦 −1 𝑧 C. 2 100

D. 320 1 =( (

E. 3) 640 5)

Halaman 8 Bimbel UN Matematika SMA Program IPA by Pak Anang ( http://pak-anang.blogspot.com )

4. Bentuk

dapat disederhanakan menjadi bentuk ....

A. LOGIKA PRAKTIS:  25  5 21 3√3 + √7 3√3 + √7 √7 + 2√3

Pembilang positif semua tandanya.

B.  25  5 21 √7 − 2√3 √7 − 2√3 √7 + 2√3 Sekawan penyebut juga positif semua.

C.  5  5 21 =

Pasti pembilang hasil rasionalisasi

positif juga ( plus plus ).

D.  5  21 25 + 5√21 = Lihat bentuk bilangan negatif lebih besar

E.  5  21 −5

dari bilangan positif, artinya perkalian

penyebut dengan sekawan penyebut = −5 − √21

pasti negatif. Pola jawabannya pasti negatif semua

( min min ). Duh, tapi sayang ada dua jawaban yang seperti kriteria tsb. (A dan E).

5. Bentuk

dapat disederhanakan menjadi bentuk ....

A.  4  3 6 √2 − 2√3 √2 − 2√3 √2 + √3 = ×

B.  4  6

C. =  4  6 2−3

D. 4  6 = −4 − √6

E. 4  6

6. Bentuk

dapat disederhanakan menjadi bentuk ....

A.  17  4 10  √2 + 3√5 √2 + 3√5 √2 + √5

B.   15  4 10  2 + √10 + 3√10 + 15

C.  15  4 10  17 + 4√10

D.   17  4 10  =

E.   17  4 10  3 (17 + 4√10)

Bimbel UN Matematika SMA Program IPA by Pak Anang ( http://pak-anang.blogspot.com ) Halaman 9

Diketahui TRIK SUPERKILAT:

5 3 7. 4 log 3  a dan log 4  b . Nilai log 15  ....

1  a 4 3 log 15

Lihat bentuk logaritma. Cari angka yang sama. Paksakan angka

A. log 15 =

itu menjadi basis logaritma!

bertemu 5 tulis

B. 3 3 log 4 log 4 = 𝑏 bertemu 4 tulis 𝑏

3 log(3 × 5) 3 log 3 = 1 } bertemu 3 tulis 1

C. =

Ingat tanda kali diganti tambah ya. 3 log 4

1  a 3 log 3+ 3 log Cara cepat ini meringkas pengerjaan ini lho! Lihat angka 5

ab =

berwarna biru pada cara biasa di samping!

D. 3 log 4 Jadi,

ab ubah tanda 1 + 1𝑎 𝑎

faktorkan

sehingga

E. kali menjadi = × muncul

1  b 𝑎+1

jadikan

angka warna

4 pecahan 15 biru di atas 3×5

tambah,dan

3 3 8. 24 Diketahui log 6  p , log 2  q . Nilai log 288  ....

TRIK SUPERKILAT:

2 p  3 q 24 log 288

A. 3

Lihat bentuk logaritma. Cari angka yang sama. Paksakan angka itu

log 288

menjadi basis logaritma!

log 24

log 6 = 𝑝

bertemu 6 tulis 𝑝

B. 3 3 ×6 log 2 = 𝑞 2 log(2 } ) bertemu 2 tulis 𝑞

3 log(2 2 log 3 = 1

bertemu 3 tulis 1

p Ingat tanda kali diganti tambah ya.  2 q 3 log 2 3 + 3 log 2

C. 6 Cara cepat ini meringkas pengerjaan pada kotak biru disamping lho!

3 log 2 2 + 3 log 6 Lihat angka berwarna biru pada cara biasa di samping!

3∙ p 3  2 log 2 + 2 ∙ q 3 log 6 Jadi,

D. ⇔ 3 3 faktorkan

2∙ log 2 + log 6

sehingga

ubah tanda

muncul

kali menjadi

q jadikan  2 p ⇔

angka warna

3 2 tambah,dan

E.

pecahan 2𝑞 + 𝑝 24 288 biru di atas 2 ×6

2 2 9. 6 Diketahui log 3  x , log 10  y . Nilai log 120  ....

TRIK SUPERKILAT:

x  y  2 6 log 120

Lihat bentuk logaritma. Cari angka yang sama.

A. 2 Paksakan angka itu menjadi basis logaritma!

bertemu 3 tulis 𝑥

B. 2

2 log(2 2 × 3 × 10)

log 10 = 𝑦 } bertemu 10 tulis 𝑦

2 log 2 = 1

bertemu 2 tulis 1

log(2 × 3)

2 2 2 Ingat tanda kali diganti tambah ya.

C. log 2 + log 3 + 2 log 10 Cara cepat ini meringkas pengerjaan pada kotak biru

xy  2 ⇔

2 log 2 + 2 log 3 disamping lho! xy  2 2∙ 2 log 2 + 2 log 3 + 2 log 10 Lihat angka berwarna biru pada cara biasa di samping!

D. ⇔

E.

kali menjadi ⇔ muncul

sehingga

ubah tanda

x jadikan  1 angka warna

6 pecahan 120

biru di atas 2 × 3 × 10

tambah,dan

log 120 ⇒

Jika adik- adik butuh ’bocoran’ butir soal Ujian Nasional tahun 2013, maka adik-adik bisa download di http://pak-anang.blogspot.com/2012/11/prediksi-soal-un-matematika-sma-2013.html . Semua soal tersebut disusun sesuai kisi-kisi SKL UN tahun 2013 yang dikeluarkan secara resmi oleh BSNP tanggal 20November 2012 yang lalu.

Kisi-kisi SKL UN SMA tahun 2013 untuk versi lengkap semua mata pelajaran bisa adik-adik lihat di http://pak-anang.blogspot.com/2012/11/kisi-kisi-skl-un-2013.html .

Pak Anang.

Halaman 10 Bimbel UN Matematika SMA Program IPA by Pak Anang ( http://pak-anang.blogspot.com )

2. 2. Menggunakan rumus jumlah dan hasil kali akar-akar persamaan kuadrat.

Persamaan Kuadrat (PK)

Akar-Akar PK

Jumlah Akar-Akar PK Hasil Kali Akar-Akar PK

Selisih Akar-Akar PK

Bentuk Simetri Akar-Akar PK

Bimbel UN Matematika SMA Program IPA by Pak Anang ( http://pak-anang.blogspot.com ) Halaman 11

Menyusun bentuk simetri akar-akar PK Ubah bentuk operasi aljabar dari akar-akar persamaan kuadrat sedemikian sehingga memuat rumus jumlah dan hasil kali akar-akar PK (dan rumus selisih akar-akar PK, kalau diperlukan).

Berikut ini contoh bentuk simetri akar-akar PK yang sering muncul dalam soal:

Jumlah Kuadrat Akar-Akar PK:

Penyelesaian:

Ingat bentuk (𝑥 +𝑥 ) 2 =𝑥 1 2 𝑥

2 1 + 2𝑥 1 2 +𝑥 2 , maka diperoleh:

Selisih Kuadrat Akar-Akar PK

Penyelesaian:

Ingat bentuk (𝑥 1 −𝑥 2 ) 2 =𝑥 2 − 2𝑥

1 1 𝑥 2 +𝑥 2 , maka diperoleh:

Atau ingat bentuk (𝑥

)=𝑥 2 1 2 +𝑥 2 1 −𝑥 2 1 −𝑥 1 , maka diperoleh:

Jumlah Pangkat Tiga Akar-Akar PK

Penyelesaian: Ingat bentuk (𝑥

maka diperoleh:

Jumlah Pangkat Empat Akar-Akar PK:

Penyelesaian:

Ingat bentuk (𝑥 2 +𝑥 2 ) 2 =𝑥 4 2 2 𝑥 +𝑥 1 4 + 2𝑥 2 2 , maka diperoleh:

Dan lain- lain ….

Contoh:

Persamaan kuadrat −2𝑥 2 + 3𝑥 − 2 = 0 memiliki akar-akar 𝑥 dan 𝑥

1 2 , maka nilai 𝑥 1 +𝑥 2 = ....

Penyelesaian: Pertama, cari jumlah dan hasil kali akar-akar persamaan kuadrat tersebut:

Kedua, cari bentuk identik dari 𝑥 2 2 2 1 2 +𝑥 2 yang memuat bentuk 𝑥 1 +𝑥 2 dan 𝑥 1 +𝑥 2 .

Halaman 12 Bimbel UN Matematika SMA Program IPA by Pak Anang ( http://pak-anang.blogspot.com )

Menyusun PK Baru

Diketahui:

𝒂𝒙 𝟐 + 𝒃𝒙 + 𝒄 = 𝟎 adalah PK Lama 𝒙 𝟏 dan 𝒙 𝟐 adalah akar-akar PK Lama 𝜶 dan 𝜷 adalah akar-akar PK Baru

Cek dan perhatikan!

Apakah 𝜶 dan 𝜷 identik atau tidak?

Jika 𝛼 dan 𝛽 identik Jika 𝛼 dan 𝛽 tidak identik

Cari invers akar PK Baru, Cari jumlah dan hasil kali akar PK Lama

𝜷 −𝟏 𝒙 𝟏 +𝒙 𝟐 dan 𝒙 𝟏 𝒙 𝟐

cari jumlah dan hasil kali akar PK Baru Substitusi 𝜷 −𝟏 ke PK Lama

𝜶+𝜷 dan 𝜶𝜷

menggunakan nilai 𝒙 𝟏 +𝒙 𝟐 dan 𝒙 𝟏 𝒙 𝟐

Rumus PK Baru adalah Rumus PK Baru adalah

TRIK SUPERKILAT dan LOGIKA PRAKTIS:

Ditambah artinya substitusi pengurangan. Dikurangi artinya substitusi penjumlahan. Dikalikan artinya pangkat naik. Otomatis kalau dibagi maka pangkat turun. Dibalik artinya juga dibalik. Dinegatifkan artinya koefisien 𝑏 juga dinegatifkan.

Misal PK Lama adalah 2 𝑎𝑥 + 𝑏𝑥 + 𝑐 = 0, maka:

1. PK Baru yang akar-akarnya (𝛼 +𝒏 ) dan (𝛽 +𝒏 ) 𝑎(𝑥 2 −𝒏 ) + 𝑏(𝑥 −𝒏 )+𝑐=0

2. PK Baru yang akar-akarnya (𝛼 −𝒏 ) dan (𝛽 −𝒏 ) 𝑎(𝑥 2 +𝒏 ) + 𝑏(𝑥 +𝒏 )+𝑐=0

3. PK Baru yang akar-akarnya ( 𝒏 𝛼) dan ( 𝒏 𝛽) 𝑎𝑥 2 + 𝒏 𝑏𝑥 + 𝒏 𝟐 𝑐=0

4. PK Baru yang akar-akarnya (

𝜶 ) dan ( 𝜷 )

5. PK Baru yang akar-akarnya ( − 𝛼) dan ( − 𝛽) 𝑎𝑥 2 − 𝑏𝑥 + 𝑐 = 0

Bimbel UN Matematika SMA Program IPA by Pak Anang ( http://pak-anang.blogspot.com ) Halaman 13

Contoh 1:

Akar-akar persamaan kuadrat 3𝑥 2 − 12𝑥 + 2 = 0 adalah 𝛼 dan 𝛽.

Persamaan kuadrat baru yang akar-akarnya (𝛼 + 2) dan (𝛽 + 2) adalah ….

Penyelesaian: Pertama, cek dan perhatikan apakah akar-akar PK Baru simetris atau tidak?

Akar-akar PK Baru (𝛼 + 2) dan (𝛽 + 2), ternyata simetris. Memiliki pola yang sama, yaitu (𝑥 + 2).

Kedua, cari invers dari akar-akar PK Baru, (𝑥 + 2). Invers dari (𝑥 + 2) adalah (𝒙 − 𝟐) .

Ketiga, Substitusikan (𝒙 − 𝟐) menggantikan variabel 𝑥 pada PK Lama:

Jadi, PK Baru yang akar-akarnya (𝛼 + 2) dan (𝛽 + 2) adalah 3𝑥 2 − 24𝑥 + 38 = 0.

Contoh 2:

Akar-akar persamaan kuadrat 2𝑥 2 − 4𝑥 + 8 = 0 adalah 𝛼 dan 𝛽.

Persamaan kuadrat baru yang akar-akarnya dan 𝛽 𝛼 adalah ….

Penyelesaian: Pertama, cek dan perhatikan apakah akar-akar PK Baru simetris atau tidak?

Akar-akar PK Baru 𝛼 dan 𝛽 , ternyata tidak simetris. Tidak memiliki pola yang sama.

Kedua, cari jumlah dan hasil kali akar-akar PK Lama.

Ketiga, cari jumlah dan hasil kali akar-akar PK Baru menggunakan nilai 𝜶+𝜷 dan 𝜶𝜷 .

Keempat, rumus PK Baru adalah: 𝑥 2 −( jumlah akar-akar PK baru )𝑥 + hasil kali akar-akar PK baru =0

Jadi, PK Baru yang akar-akarnya dan adalah 2

Halaman 14 Bimbel UN Matematika SMA Program IPA by Pak Anang ( http://pak-anang.blogspot.com )

Contoh 3

Akar-akar persamaan kuadrat 2𝑥 2 − 5𝑥 + 3 = 0 adalah 𝛼 dan 𝛽.

Persamaan kuadrat baru yang akar-akarnya (𝛼 + 3) dan (𝛽 + 3) adalah ….

Penyelesaian TRIK SUPERKILAT: Akar-akar PK Baru adalah penjumlahan dengan dua, maka PK Baru adalah substitusi dengan (𝑥 − 3).

Jadi, PK Baru adalah: 2(𝑥 − 3) 2 − 5(𝑥 − 3) + 3 = 0

Jabarkan sendiri ya…!

Contoh 4

Akar-akar persamaan kuadrat 3𝑥 2 + 12𝑥 − 1 = 0 adalah 𝛼 dan 𝛽.

Persamaan kuadrat baru yang akar-akarnya (𝛼 − 2) dan (𝛽 − 2) adalah ….

Penyelesaian TRIK SUPERKILAT: Akar-akar PK Baru adalah pengurangan dengan dua, maka PK Baru adalah substitusi dengan (𝑥 + 2).

Jadi, PK Baru adalah:

3(𝑥 + 2) 2 + 12(𝑥 + 2) − 1 = 0 Jabarkan sendiri ya…!

Contoh 5

Akar-akar persamaan kuadrat −4𝑥 2 + 2𝑥 − 7 = 0 adalah 𝛼 dan 𝛽.

Persamaan kuadrat baru yang akar-akarnya 2𝛼 dan 2𝛽 adalah ….

Penyelesaian TRIK SUPERKILAT: Akar-akar PK Baru adalah perkalian dengan dua, maka setiap suku dikalikan dengan dua berpangkat naik, mulai dari pangkat nol. Pangkat nol nggak usah ditulis, karena jelas sama dengan 1. OK?

Jadi, PK Baru adalah:

Jabarkan sendiri ya…!

Contoh 6

Akar-akar persamaan kuadrat 7𝑥 2 − 5𝑥 + 13 = 0 adalah 𝛼 dan 𝛽.

Persamaan kuadrat baru yang akar-akarnya 𝛼 dan 𝛽

5 5 adalah ….

Penyelesaian TRIK SUPERKILAT: Akar-akar PK Baru adalah pembagian dengan lima, maka setiap suku dikalikan dengan lima berpangkat turun, sampai pangkat nol. Pangkat nol nggak usah ditulis, karena jelas sama dengan 1. OK?

Jadi, PK Baru adalah:

Jabarkan sendiri ya…!

Contoh 6

Akar-akar persamaan kuadrat 2𝑥 2 − 𝑥 + 5 = 0 adalah 𝛼 dan 𝛽.

𝛽 adalah ….

Persamaan kuadrat baru yang akar-akarnya 1 dan 1

Penyelesaian TRIK SUPERKILAT: Akar-akar PK Baru adalah kebalikan dari akar-akar PK Lama, maka Tukar posisi koefisien 𝑥 2 dengan konstanta.

Jadi, PK Baru adalah: 5𝑥 2 −𝑥+2=0

Bimbel UN Matematika SMA Program IPA by Pak Anang ( http://pak-anang.blogspot.com ) Halaman 15

Contoh 7

Akar-akar persamaan kuadrat −𝑥 2 + 2𝑥 + 4 = 0 adalah 𝛼 dan 𝛽.

Persamaan kuadrat baru yang akar-akarnya −𝛼 dan −𝛽 adalah ….

Penyelesaian TRIK SUPERKILAT: Akar-akar PK Baru adalah negatif dari akar-akar PK Lama, maka PK Baru adalah koefisien 𝑥 dikalikan (−1).

Jadi, PK Baru adalah: −𝑥 2 + 2𝑥(−1) + 4 = 0

Contoh 7

Akar-akar persamaan kuadrat 2𝑥 2 − 5𝑥 + 3 = 0 adalah 𝛼 dan 𝛽.

Persamaan kuadrat baru yang akar-akarnya (2𝛼 − 3) dan (2𝛽 − 3) adalah ….

Penyelesaian TRIK SUPERKILAT: Akar-akar PK Baru adalah perkalian dengan dua, dilanjutkan pengurangan dengan tiga dari akar-akar PK Lama, maka PK Baru adalah suku dikalikan dengan dua berpangkat naik, mulai dari pangkat nol, dilanjutkan dengan substitusi (𝑥 + 3).

Jadi, PK Baru adalah:

Dilanjutkan dengan substitusi (𝑥 + 3). 2(𝑥 + 3) 2 − 10(𝑥 + 3) + 12 = 0

Jabarkan sendiri ya…!

Halaman 16 Bimbel UN Matematika SMA Program IPA by Pak Anang ( http://pak-anang.blogspot.com )

Berlawanan

Berkebalikan

Sifat-Sifat Akar-Akar PK

Perbandingan Selisih

Menggunakan sifat-sifat akar-akar PK untuk menentukan bagian dari PK yang tidak diketahui.

Inti dari permasalahan ini adalah melengkapkan variabel yang tidak diketahui pada PK dengan menggunakan sifat tertentu dari akar-akarnya.

TRIK SUPERKILAT

Sifat akar-akar persamaan kuadrat 𝑎𝑥 2 + 𝑏𝑥 + 𝑐 = 0 yang mungkin keluar di soal:

1. Jika akar yang satu kelipatan 𝑛 dari akar yang lain (𝑥

2. Jika selisih akar-akarnya adalah 𝑛 (|𝑥 1 −𝑥 | = 𝑛), maka 𝐷 = (𝑛𝑎) 2 2

3. Jika akar-akarnya berlawanan (𝑥 1 = −𝑥 2 atau 𝑥 1 +𝑥 2 = 0), maka 𝑏 = 0

4. Jika akar-akarnya berkebalikan (𝑥 1 1 =

𝑥 atau 𝑥 𝑥 2 1 2 = 1), maka 𝑎 = 𝑐

Contoh:

Akar-akar persamaan kuadrat 2𝑥 2 + 𝑚𝑥 + 16 = 0 adalah 𝛼 dan 𝛽.

Jika 𝛼 = 2𝛽 dan 𝛼, 𝛽 positif maka nilai 𝑚 = ….

Penyelesaian: Pertama, lihat ternyata akar-akar PK tersebut adalah memiliki kelipatan tertentu.

Karena 𝛼 = 2𝛽, maka jelas nilai 𝑛 = 2.

Kedua, gunakan sifat perbandingan akar-akar PK.

Ketiga, karena akar-akarnya positif maka jumlah kedua akar tersebut juga positif, sehingga:

Sehingga pilih nilai 𝑚 yang negatif. Jadi, 𝑚 = −12.

Bimbel UN Matematika SMA Program IPA by Pak Anang ( http://pak-anang.blogspot.com ) Halaman 17

Pembahasan TRIK SUPERKILAT pada contoh soal yang serupa pada UN 2012 kemarin:

2 2 1. 2 Akar-akar persamaan kuadrat x  ax  4  0 adalah p dan q . Jika p  2 pq  q  8 a , maka nilai a  ....

A. −8

B. −4

C. ⇒ (𝑝 + 𝑞) 4 − 4𝑝𝑞 = 8𝑎

D. ⇔

E. 8

2. Persamaan kuadrat

x  ( m  1 ) x  5  0 mempunyai akar-akar

x 1 dan x 2 . Jika

1  x 2  2 x 1 x 2  8 m , maka nilai m  ....

A. −3 atau −7 2 𝑥

3 atau 7 2

B. 𝑥 .𝑥 = −5

C.

3 atau −7 2 ⇔ 𝑚 − 10𝑚 + 21 = 0

D. 6 atau 14

E. −6 atau −14 ⇔ 𝑎 − 3 = 0 atau 𝑎 − 7 = 0

1 dan x 2 . Jika x 1 x 2  x 1 x 2  32 , maka nilai p  ....

2 3. 2 Persamaan kuadrat x  px 4  4  0 mempunyai akar-akar x

A. −4

B. −2

C. 2 ⇔

D. 4

E. 8

Jika adik- adik butuh ’bocoran’ butir soal Ujian Nasional tahun 2013, maka adik-adik bisa download di http://pak-anang.blogspot.com/2012/11/prediksi-soal-un-matematika-sma-2013.html . Semua soal tersebut disusun sesuai kisi-kisi SKL UN tahun 2013 yang dikeluarkan secara resmi oleh BSNP tanggal 20November 2012 yang lalu.

Kisi-kisi SKL UN SMA tahun 2013 untuk versi lengkap semua mata pelajaran bisa adik-adik lihat di http://pak-anang.blogspot.com/2012/11/kisi-kisi-skl-un-2013.html .

Pak Anang.

Halaman 18 Bimbel UN Matematika SMA Program IPA by Pak Anang ( http://pak-anang.blogspot.com )

2. 3. Menyelesaikan masalah persamaan atau fungsi kuadrat dengan menggunakan diskriminan.

Persamaan Kuadrat (PK)

Diskriminan

Persamaan Kuadrat Fungsi Kuadrat

𝐷<0 akar real

akar imajiner

definit positif

definit negatif

𝐷=𝑟 2 rasional

TRIK SUPERKILAT. Perhatikan tiga soal di bawah ini, sebenarnya tidak berbeda. Alias maksud ketiga soal itu sama persis!

“ Persamaan kuadrat 𝑝𝑥 2 + (𝑝 + 2)𝑥 − 𝑝 + 4 = 0 akan memiliki dua akar real berbeda untuk nilai 𝑝 = ….“

“ Fungsi kuadrat 𝑦 = 𝑝𝑥 2 + (𝑝 + 2)𝑥 − 𝑝 + 4 memotong sumbu X di dua titik .

Batas-batas nilai 𝑝 yang memenuhi adalah ….”

“ Grafik 𝑦 = 𝑝𝑥 2 + (𝑝 + 2)𝑥 − 𝑝 + 4 memotong garis 𝒚 = 𝟎 di dua titik .

Batas-batas nilai 𝑝 yang memenuhi adalah ….”

𝑃𝑒𝑟𝑠𝑎𝑚𝑎𝑎𝑛 𝑘𝑢𝑎𝑑𝑟𝑎𝑡 𝐌𝐄𝐌𝐈𝐋𝐈𝐊𝐈 𝐃𝐔𝐀 akar real 𝐁𝐄𝐑𝐁𝐄𝐃𝐀 𝐹𝑢𝑛𝑔𝑠𝑖 𝑘𝑢𝑎𝑑𝑟𝑎𝑡 𝐌𝐄𝐌𝐎𝐓𝐎𝐍𝐆 sumbu X di 𝐃𝐔𝐀 titik 𝐁𝐄𝐑𝐁𝐄𝐃𝐀 }⇒𝐷>0 𝐺𝑟𝑎𝑓𝑖𝑘 𝑘𝑢𝑎𝑑𝑟𝑎𝑡 𝐌𝐄𝐌𝐎𝐓𝐎𝐍𝐆 garis di 𝐃𝐔𝐀 titik 𝐁𝐄𝐑𝐁𝐄𝐃𝐀

𝑃𝑒𝑟𝑠𝑎𝑚𝑎𝑎𝑛 𝑘𝑢𝑎𝑑𝑟𝑎𝑡 𝐌𝐄𝐌𝐈𝐋𝐈𝐊𝐈 akar real 𝐊𝐄𝐌𝐁𝐀𝐑 (= 𝐒𝐀𝐓𝐔) 𝐹𝑢𝑛𝑔𝑠𝑖 𝑘𝑢𝑎𝑑𝑟𝑎𝑡 𝐌𝐄𝐍𝐘𝐈𝐍𝐆𝐆𝐔𝐍𝐆 sumbu X di 𝐒𝐀𝐓𝐔 titik

𝐺𝑟𝑎𝑓𝑖𝑘 𝑘𝑢𝑎𝑑𝑟𝑎𝑡 𝐌𝐄𝐍𝐘𝐈𝐍𝐆𝐆𝐔𝐍𝐆 garis di 𝐒𝐀𝐓𝐔 titik 𝐁𝐄𝐑𝐁𝐄𝐃𝐀

𝑃𝑒𝑟𝑠𝑎𝑚𝑎𝑎𝑛 𝑘𝑢𝑎𝑑𝑟𝑎𝑡 𝐓𝐈𝐃𝐀𝐊 𝐌𝐄𝐌𝐈𝐋𝐈𝐊𝐈 akar real 𝐹𝑢𝑛𝑔𝑠𝑖 𝑘𝑢𝑎𝑑𝑟𝑎𝑡 𝐓𝐈𝐃𝐀𝐊 𝐌𝐄𝐌𝐎𝐓𝐎𝐍𝐆/𝐓𝐈𝐃𝐀𝐊 𝐌𝐄𝐍𝐘𝐈𝐍𝐆𝐆𝐔𝐍𝐆 sumbu X }⇒𝐷<0 𝐺𝑟𝑎𝑓𝑖𝑘 𝑘𝑢𝑎𝑑𝑟𝑎𝑡 𝐓𝐈𝐃𝐀𝐊 𝐌𝐄𝐌𝐎𝐓𝐎𝐍𝐆/𝐓𝐈𝐃𝐀𝐊 𝐌𝐄𝐍𝐘𝐈𝐍𝐆𝐆𝐔𝐍𝐆 garis

Soal jebakan, bila hanya ada kata Persamaan kuadrat memiliki dua akar real tanpa tambahan kata berbeda atau kembar, berarti dua akar real tersebut pasti gabungan dari dua akar real berbeda dan kembar. Jadi 𝐷 ≥ 0.

Bimbel UN Matematika SMA Program IPA by Pak Anang ( http://pak-anang.blogspot.com ) Halaman 19

Soal yang sering ditanyakan

PERSAMAAN KUADRAT.

Persamaan kuadrat memiliki dua akar berbeda.

Contoh: Jika persamaan kuadrat 𝑝𝑥 2 + (𝑝 + 2)𝑥 − 𝑝 + 4 = 0 akan memiliki dua akar berbeda . Batas-batas nilai p yang memenuhi adalah ….

Penyelesaian:

Dari persamaan kuadrat 𝑝𝑥 2 + (𝑝 + 2)𝑥 − 𝑝 + 4 = 0 diperoleh:

𝑎 = 𝑝, 𝑏 = (𝑝 + 2), dan 𝑐 = (−𝑝 + 4)

Persamaan kuadrat memiliki dua akar berbeda, maka diskriminan 𝐷 harus memenuhi 𝐷 > 0

m yang memenuhi adalah 𝑚 < 2 .

Sehingga nilai

Persamaan kuadrat memiliki akar kembar.

Contoh: Jika diketahui sebuah persamaan kuadrat 2 𝑥 + (𝑘 − 3)𝑥 + 4 = 0 memiliki dua akar kembar . Maka nilai 𝑘 yang memenuhi adalah ….

Penyelesaian:

Dari persamaan kuadrat 2 𝑥 + (𝑘 − 3)𝑥 + 4 = 0 diperoleh:

Persamaan kuadrat memiliki dua akar kembar, maka diskriminan 𝐷 harus memenuhi 𝐷 = 0 𝐷=0⇒

Sehingga persamaan kuadrat tersebut memiliki dua akar kembar untuk nilai 𝑘 = −1 atau 𝑘 = 7.

Halaman 20 Bimbel UN Matematika SMA Program IPA by Pak Anang ( http://pak-anang.blogspot.com )

Persamaan kuadrat tidak memiliki akar real (akarnya imajiner)

Contoh:

Persamaan kuadrat 𝑥 2 + (𝑝 + 2)𝑥 + (𝑝 + )=0 tidak memiliki akar real untuk nilai

Penyelesaian:

Dari persamaan kuadrat 1 2 7

Persamaan kuadrat memiliki akar imajiner maka diskriminan 𝐷 harus memenuhi 𝐷 < 0. 𝐷<0⇒

Daerah penyelesaian pertidaksamaan tersebut pada garis bilangan:

Jadi persamaan kuadrat akan memiliki akar-akar tidak real untuk nilai −1 < 𝑝 < 3.

Bimbel UN Matematika SMA Program IPA by Pak Anang ( http://pak-anang.blogspot.com ) Halaman 21

FUNGSI KUADRAT

Fungsi kuadrat memotong sumbu X di dua titik berbeda (memotong).

Contoh:

Grafik 𝑦 = 𝑝𝑥 2 + (𝑝 + 2)𝑥 − 𝑝 + 4 memotong sumbu X di dua titik .

Batas-batas nilai p yang memenuhi adalah ….

Penyelesaian:

Dari fungsi kuadrat 𝑦 = 𝑝𝑥 2 + (𝑝 + 2)𝑥 − 𝑝 + 4 diperoleh:

Grafik fungsi kuadrat memotong sumbu X, maka diskriminan 𝐷 harus memenuhi 𝐷 > 0 𝐷>0⇒

Sehingga nilai m yang memenuhi adalah 𝑚 < .

Fungsi kuadrat memotong satu titik di sumbu X (menyinggung).

Contoh: Grafik fungsi kuadrat 𝑓(𝑥) = 𝑥 2 + (𝑘 − 3)𝑥 + 4 menyinggung sumbu X pada satu titik . Maka nilai 𝑘 yang memenuhi adalah ….

Penyelesaian: Dari fungsi kuadrat

𝑓(𝑥) = 𝑥 2 + (𝑘 − 3)𝑥 + 4 diperoleh:

Persamaan kuadrat memiliki dua akar kembar, maka diskriminan 𝐷 harus memenuhi 𝐷 = 0 𝐷=0⇒

Sehingga fungsi kuadrat tersebut menyinggung sumbu X pada satu titik untuk nilai 𝑘 = −1 atau 𝑘 = 7.

Halaman 22 Bimbel UN Matematika SMA Program IPA by Pak Anang ( http://pak-anang.blogspot.com )

Fungsi kuadrat tidak memotong maupun menyinggung sumbu X. (terpisah)

Contoh:

Fungsi kuadrat 𝑦=

2 𝑥 2 + (𝑝 + 2)𝑥 + (𝑝 + 2 ) tidak akan menyinggung dan tidak memotong sumbu X untuk nilai 𝑝 = ….

Penyelesaian: Dari fungsi kuadrat

Persamaan kuadrat memiliki akar imajiner maka diskriminan 𝐷 harus memenuhi 𝐷 < 0.

Daerah penyelesaian pertidaksamaan tersebut pada garis bilangan:

Jadi fungsi kuadrat tidak akan menyinggung maupun memotong sumbu X untuk untuk nilai −1 < 𝑝 < 3.

Bimbel UN Matematika SMA Program IPA by Pak Anang ( http://pak-anang.blogspot.com ) Halaman 23

Fungsi kuadrat memotong garis di dua titik (memotong).

Contoh: Grafik fungsi kuadrat

𝑓(𝑥) = 𝑥 2 + 𝑏𝑥 + 4 memotong garis 𝑦 = 3𝑥 + 4.

Nilai b yang memenuhi adalah ….

Penyelesaian: Substitusikan

Koefisien-koefisien persamaan kuadrat 𝑎 = 1, 𝑏 = (𝑏 − 3), 𝑑𝑎𝑛 𝑐 = 0

Kurva memotong garis, maka diskriminan 𝐷 harus memenuhi D > 0

Sehingga grafik fungsi kuadrat akan memotong garis untuk nilai b > 3.

Perhatikan, soal di bawah ini masih menggunakan soal di atas, hanya kalimatnya saja yang diganti! OK?

Fungsi kuadrat memotong garis di satu titik (menyinggung).

Contoh:

Grafik fungsi kuadrat 𝑓(𝑥) = 𝑥 2 + 𝑏𝑥 + 4 menyinggung garis 𝑦 = 3𝑥 + 4.

Nilai b yang memenuhi adalah ….

Penyelesaian: Kurva menyinggung garis, maka diskriminan 𝐷 harus memenuhi 𝐷 = 0

Sehingga grafik fungsi kuadrat akan menyinggung garis untuk nilai 𝑏 = 3.

Fungsi kuadrat tidak memotong atau tidak menyinggung garis (terpisah).

Contoh: Grafik fungsi kuadrat 𝑓(𝑥) = 𝑥 2 + 𝑏𝑥 + 4 tidak memotong dan tidak menyinggung garis 𝑦 = 3𝑥 + 4. Nilai b yang memenuhi adalah ….

Penyelesaian: Kurva terpisah garis, maka diskriminan 𝐷 harus memenuhi 𝐷 < 0

Sehingga grafik fungsi kuadrat tidak akan memotong dan tidak menyinggung garis untuk nilai 𝑏 < 3.

Halaman 24 Bimbel UN Matematika SMA Program IPA by Pak Anang ( http://pak-anang.blogspot.com )

Pembahasan TRIK SUPERKILAT pada contoh soal yang serupa pada UN 2012 kemarin:

1. 2 Persamaan kuadrat x  ( m  2 ) x  2 m  4  0 mempunyai akar-akar real, maka batas nilai m yang memenuhi adalah ....

Akar-akar real ⇒𝐷≥0

A. m  2 atau m  10 𝑏 2 +

B. m   10 atau m   2 ⇒ (𝑚 − 2) 2 − 4 . 1 . (2𝑚 − 4) ≥ 0

C. m  2 atau m  10 ⇔

Jadi daerah penyelesaian:

D. 2 m  10 ⇔

(𝑚 − 2)(𝑚 − 10) ≥ 0 𝑚 ≤ 2 atau 𝑚 ≥ 10

E.  10  m   2 𝑚 − 2 = 0 atau 𝑚 − 10 = 0

2. 2 Persamaan kuadrat 2 x  2 ( p  4 ) x  p  0 mempunyai dua akar real berbeda. Batas-batas nilai p yang memenuhi adalah ....

Akar-akar real berbeda ⇒𝐷>0

A. p  2 atau p  8 𝑏 2 +

B. 2 8 p  2 atau p  8 ⇒ (2(𝑝 − 4)) −4.2.𝑝≥0

C. 2 p   8 atau p   2 ⇔ 4𝑝 − 40𝑝 + 64 ≥ 0

Jadi daerah penyelesaian:

p 

D. 2 8

E.  8  p   2 𝑝 − 2 = 0 atau 𝑝 − 8 = 0

Jika adik- adik butuh ’bocoran’ butir soal Ujian Nasional tahun 2013, maka adik-adik bisa download di http://pak-anang.blogspot.com/2012/11/prediksi-soal-un-matematika-sma-2013.html . Semua soal tersebut disusun sesuai kisi-kisi SKL UN tahun 2013 yang dikeluarkan secara resmi oleh BSNP tanggal 20November 2012 yang lalu.

Kisi-kisi SKL UN SMA tahun 2013 untuk versi lengkap semua mata pelajaran bisa adik-adik lihat di http://pak-anang.blogspot.com/2012/11/kisi-kisi-skl-un-2013.html .

Pak Anang.

Bimbel UN Matematika SMA Program IPA by Pak Anang ( http://pak-anang.blogspot.com ) Halaman 25

2. 4. Menyelesaikan masalah sehari-hari yang berkaitan dengan sistem persamaan linear.

Ingat lagi tentang konsep determinan matriks

Determinan Matriks

Untuk lebih detil tentang determinan matriks, lihat juga SMART SOLUTION untuk SKL tentang Matriks!

Sistem Persamaan Linear Dua Variabel (SPLDV)

Bentuk Umum SPLDV

Penyelesaian SPLDV

Nilai 𝑥

Nilai 𝑦

Kolom 𝑥 diganti!

Kolom 𝑦 diganti!

Halaman 26 Bimbel UN Matematika SMA Program IPA by Pak Anang ( http://pak-anang.blogspot.com )

Sistem Persamaan Linear Tiga Variabel (SPLTV)

Bentuk Umum SPLTV

Penyelesaian SPLTV

Nilai 𝑥

Nilai 𝑦

Nilai 𝑧

Kolom 𝑥 diganti!

Kolom 𝑦 diganti!

Kolom 𝑧 diganti!

Keterangan: Pada prakteknya dalam pengerjaan soal SPL, metode determinan matriks ini hanya bisa digunakan apabila matriks SPL-nya adalah berbentuk persegi. Tekniknya, gunakan metode determinan untuk menentukan salah satu variabel pada SPLDV, lalu variabel yang lain bisa diperoleh menggunakan metode substitusi.

Kenapa kok harus menggunakan determinan matriks. Karena langkah ini lebih pasti dalam menyelesaikan soal tipe UN, tanpa harus berfikir keras mencari langkah tepat untuk metode eliminasi maupun substitusi.

Namun, kalian tetap harus menguasai langkah eliminasi maupun substitusi supaya paham juga langkah dasarnya. Oke?

Penyelesaian SPLDV secara online bisa dilihat pada halaman berikut: http://pak-anang.blogspot.com/2012/11/simulasi-spldv-sistem-persamaan-linear.html?spref=pdf

Penyelesaian SPLDV secara online bisa dilihat pada halaman berikut: http://pak-anang.blogspot.com/2012/11/simulasi-spltv-sistem-persamaan-linear.html?spref=pdf

Bimbel UN Matematika SMA Program IPA by Pak Anang ( http://pak-anang.blogspot.com ) Halaman 27

TRIK SUPERKILAT: Untuk mencari penyelesaian SPLDV, variabel yang akan dicari harus diletakkan di pojok KIRI, lalu lihat koefisien variabel yang lain! Lalu kali silang, kali silang. Selesai deh.

Contoh Soal: Penyelesaian dari SPL {2𝑥 − 3𝑦 = 1 adalah ….

Penyelesaian TRIK SUPERKILAT:

Karena yang paling pojok kiri variabel 𝑥, maka ini berarti kita akan mencari nilai dari variabel 𝑥.

Lalu pilih salah satu koefisien dari variabel 𝑦. Bebas kok! Kita boleh memilih salah satu di antara −3atau 5.

Oke, misalkan kita bersepakat untuk menggunakan acuan bilangan −3, ya?

Siap? Perhatikan SPLDV tersebut yang saya beri kotak berwarna merah. Hitung selisih dari kali silang tersebut. Ingat acuan awal kita adalah bilangan −3! Hasilnya adalah:

−3 dikalikan silang dengan 11, dikurangi dengan 1 dikalikan silang dengan 5. (−3)(11) − (1)(5) = −33 − 5 = −𝟑𝟖

Oke, sekarang hitung selisih perkalian silang dari bagian yang berwarna biru tersebut. Masih ingat acuan awal kita tadi? Iya, bilangan −3 adalah acuan awal dalam menghitung selisih kali silang! Hasilnya adalah:

−3 dikalikan silang dengan 3, dikurangi 2 dikalikan silang dengan 5. (−3)(3) − (2)(5) = −9 − 10 = −𝟏𝟗

Jadi, nilai variabel 𝑥 adalah pembagian dari hasil selisih kali silang pertama dan kedua.

Paham, kan?

Kalau mencari nilai 𝑦, gimana dong? Gampang aja. Kalau ingin menerapkan langkah TRIK SUPERKILAT yang sama, maka syaratnya apa tadi? Ya! Betul! Variabel 𝑦 harus dipindah ke pojok kiri!!!!!! Sehingga SPLDV akan berubah menjadi:

Lalu lakukan dengan langkah yang sama seperti saat mencari variabel 𝑥 di atas. Oke?

Halaman 28 Bimbel UN Matematika SMA Program IPA by Pak Anang ( http://pak-anang.blogspot.com )

Contoh 1: Pak Ali bekerja selama 6 hari dengan 4 hari di antaranya lembur mendapat upah Rp74.000,00. Pak Bisri bekerja selama 5 hari dengan 2 hari di antaranya lembur mendapat upah Rp55.000,00. Pak Ali, Pak Bisri, dan Pak Catur bekerja dengan aturan upah yang sama. Jika Pak Catur bekerja 4 hari dengan terus menerus lembur, maka upah yang akan diperoleh adalah ....

Penyelesaian: Misal:

𝑥 = hari biasa 𝑦 = hari lembur

Maka sistem persamaan linear dari soal tersebut adalah: 6𝑥 + 4𝑦 = 𝟕𝟒. 𝟎𝟎𝟎

Ditanyakan: 4𝑥 + 4𝑦 = ?

Penyelesaian SPL menggunakan determinan matriks.

TRIK SUPERKILAT: Dengan acuan koefisien variabel 𝑦 adalah 4, maka nilai variabel 𝑦 diperoleh dengan cara:

“(4 dikali silang dengan 55.000) dikurangi (2 dikali silang dengan 74.000)” dibagi dengan “(4 dikali silang dengan 5) dikurangi (6 dikali silang dengan 2)”

Bimbel UN Matematika SMA Program IPA by Pak Anang ( http://pak-anang.blogspot.com ) Halaman 29

Contoh 2: Avi, Via dan Iva pergi bersama-sama ke toko buah. Avi membeli 1 kg apel, 2 kg salak, dan 2 kg kelengkeng dengan harga Rp47.000,00. Via membeli 2 kg apel, 1 kg salak, dan 3 kg kelengkeng dengan harga Rp68.500,00. Iva membeli 3 kg apel, 2 kg salak, dan 1 kg kelengkeng dengan harga Rp63.000,00. Jika Vero membeli 1 kg apel dan 1 kg kelengkeng di toko tersebut, maka berapakah yang harus dibayarkan oleh Vero?

Penyelesaian: Misal:

𝑥 = buah apel 𝑦 = buah salak

𝑧 = buah kelengkeng

Maka sistem persamaan linear dari soal tersebut adalah: 𝑥 + 2𝑦 + 2𝑧 = 47.000 2𝑥 + 𝑦 + 3𝑥 = 68.500 3𝑥 + 2𝑦 + 𝑧 = 63.000

Penyelesaian SPL menggunakan determinan matriks.

Contoh 3: Jumlah uang Artha dan Deby adalah Rp142.000,00. Selisih uang Yanti dan uang Artha Rp4.000,00. Dua kali uang

Yanti sama dengan uang Deby ditambah Rp100.000,00. Jumlah uang Artha, Deby, dan Yanti adalah ….

Penyelesaian: Misal:

𝑥 = uang Artha 𝑦 = uang Deby

𝑧 = uang Yanti

Perhatikan dan baca soal dengan seksama. Buat model matematikanya, jangan lupa ubah menjadi bentuk matriks ya!

Jumlah uang Artha dan Deby adalah Rp142.000,00 ⇔ 𝑥 + 𝑦 = 142.000

Selisih uang Yanti dan uang Artha Rp4.000 ⇔ 𝑧 − 𝑥 = 4.000

Dua kali uang Yanti sama dengan uang Deby ditambah Rp100.000,00 ⇔ 2𝑧 = 𝑦 + 100.000 ⇔ 𝟎𝒙 − 𝒚 + 𝟐𝒛 = 𝟏𝟎𝟎. 𝟎𝟎𝟎

Sehingga model matematika SPLTV dari soal tersebut adalah: 𝑥 + 𝑦 + 0𝑧 = 47.000 −𝑥 + 0𝑦 + 𝑥 = 68.500 0𝑥 − 𝑦 + 2𝑧 = 63.000

Penyelesaian SPL menggunakan determinan matriks.

Jadi nilai 𝑥 + 𝑦 + 𝑧 pasti ketemu deh!

Halaman 30 Bimbel UN Matematika SMA Program IPA by Pak Anang ( http://pak-anang.blogspot.com )

Pembahasan TRIK SUPERKILAT pada contoh soal yang serupa pada UN 2012 kemarin:

1. Umur pak Andi 28 tahun lebih tua dari umur Amira. Umur bu Andi 6 tahun lebih muda dari umur pak Andi. Jika jumlah umur pak Andi, bu Andi, dan Amira 119 tahun, maka jumlah umur Amira dan bu Andi adalah ....

A. 86 tahun Misal

Jadi, 𝑥 + 𝑦 + 𝑧 = 119

B. 74 tahun 𝑥 = Pak Andi

68 tahun 𝑥 + 𝑦 + 𝑧 = 119

C. 𝑦 = Bu Andi

64 tahun 𝑦 + 𝑧 = 68

𝑧 = Amira

D.

E. 58 tahun

2. Umur Deksa 4 tahun lebih tua dari umur elisa. Umur elisa 3 tahun lebih tua dari umur Firda. Jika jumlah umur Deksa, Elisa dan Firda 58 tahun, jumlah umur Deksa dan Firda adalah ....

A. 52 tahun

B. 45 tahun Misal

C. 42 tahun 𝑑 = Umur Deksa

39 tahun 𝑑 + 𝑒 + 𝑓 = 58

D. 𝑒 = Umur Elisa

35 tahun 𝑑 + 𝑓 = 39

𝑓 = Umur Firda

E.

Jika adik- adik butuh ’bocoran’ butir soal Ujian Nasional tahun 2013, maka adik-adik bisa download di http://pak-anang.blogspot.com/2012/11/prediksi-soal-un-matematika-sma-2013.html . Semua soal tersebut disusun sesuai kisi-kisi SKL UN tahun 2013 yang dikeluarkan secara resmi oleh BSNP tanggal 20November 2012 yang lalu.

Kisi-kisi SKL UN SMA tahun 2013 untuk versi lengkap semua mata pelajaran bisa adik-adik lihat di http://pak-anang.blogspot.com/2012/11/kisi-kisi-skl-un-2013.html .

Pak Anang.

Bimbel UN Matematika SMA Program IPA by Pak Anang ( http://pak-anang.blogspot.com ) Halaman 31

2. 5. Menentukan persamaan lingkaran atau garis singgung lingkaran.

Persamaan Lingkaran

Persamaan Lingkaran Bentuk Umum

dibagi (−2)

Pusat

Jari-jari

Pusat

Jumlah kuadrat pusat dikurangi 𝐶

Jari-jari

Halaman 32 Bimbel UN Matematika SMA Program IPA by Pak Anang ( http://pak-anang.blogspot.com )

Persamaan Garis Singgung (PGS) Lingkaran

PGS Lingkaran PGS Lingkaran

di titik (𝑥 1 ,𝑦 1 ) pada lingkaran

dengan gradien 𝑚

Pangkat dua menjadi perkalian dua faktor . Ingat pola persamaan garis lurus 𝒚 = 𝒎𝒙 + 𝒄 Pangkat satu menjadi setengah penjumlahan .

Lalu perhatikan gambar berikut!

Karena ada dua PGS Lingkaran bergradien 𝒎, maka PGS tersebut adalah 𝒚 = 𝒎𝒙 ± 𝒄

dimana 𝒄 = 𝒓√𝟏 + 𝒎 𝟐

PGS lingkaran di titik (𝑥 1 ,𝑦 1 )

pada lingkaran pusat di (0, 0) dan jari-jari 𝑟

𝑥 1 𝑥+𝑦 𝑦=𝑟 2 1 PGS dengan gradien 𝑚 dari lingkaran pusat (0, 0) dan jari-jari 𝑟

PGS lingkaran di titik (𝑥 1 ,𝑦 1 )

pada lingkaran pusat di (0, 0) dan jari-jari 𝑟

(𝑥 1 − 𝑎)(𝑥 − 𝑎) + (𝑦 1 − 𝑏)(𝑦 − 𝑏) = 𝑟 2 PGS dengan gradien 𝑚 dari lingkaran pusat (𝑎, 𝑏) dan jari-jari 𝑟

PGS lingkaran di titik (𝑥 1 ,𝑦 1 )

pada lingkaran dengan bentuk umum

Catatan Tambahan:

Ingat juga tentang konsep jarak titik (𝑥 1 ,𝑦 1 ) ke garis 𝑎𝑥 + 𝑏𝑦 + 𝑐 = 0: 𝑎𝑥 1 + 𝑏𝑦 1 +𝑐

TRIK SUPERKILAT:

PGS lingkaran pusat (𝑥 1 ,𝑦 1 ) jari-jari 𝑟 yang sejajar dengan garis 𝑎𝑥 + 𝑏𝑦 + 𝑐 = 0: 𝑎𝑥 + 𝑏𝑦 = 𝑎𝑥 1 + 𝑏𝑦 1 ± 𝑟√𝑎 2 +𝑏 2

PGS lingkaran pusat (𝑥 1 ,𝑦 1 ) jari-jari 𝑟 yang tegak lurus dengan garis 𝑎𝑥 + 𝑏𝑦 + 𝑐 = 0:

Bimbel UN Matematika SMA Program IPA by Pak Anang ( http://pak-anang.blogspot.com ) Halaman 33

PGS Lingkaran di titik (𝑥 1 ,𝑦 1 ) yang berada di luar lingkaran

Titik Singgung (𝑎, 𝑏)

Diperoleh PGS + Persamaan Lingkaran (dalam variabel 𝑎, 𝑏).

Substitusi titik (𝑥 1 ,𝑦 1 ) ke PGS, lalu substitusi PGS ke persamaan lingkaran

Diperoleh dua titik Singgung (𝑎 1 ,𝑏 1 ) dan (𝑎 2 ,𝑏 2 )

Substitusikan ke PGS di langkah kedua

Selesai

TRIK SUPERKILAT: Cari gradien PGS tersebut menggunakan rumus PGS dengan gradien tertentu. PGS akan diperoleh dengan mensubstitusi titik di luar lingkaran tersebut dan nilai gradien. Selesai.

Halaman 34 Bimbel UN Matematika SMA Program IPA by Pak Anang ( http://pak-anang.blogspot.com )

Contoh Soal: Tentukan persamaan garis singgung lingkaran di titik (5, 5) yang menyinggung lingkaran 𝑥 2 +𝑦 2 = 10!

Penyelesaian: (𝑎, 𝑏)

PGS menyinggung titik tertentu di lingkaran. Misal titik singgung tersebut (𝒂, 𝒃). Artinya titik (𝑎, 𝑏)tersebut berada

(0, 0) (5, 5) baik di PGS maupun lingkaran.

Sehingga, diperoleh PGS lingkaran dan persamaan lingkaran dalam variabel 𝒂 dan 𝒃 . Perhatikan bahwa (𝑎, 𝑏) berada di lingkaran, maka: PGS lingkaran di titik (𝑎, 𝑏) adalah 𝒂𝒙 + 𝒃𝒚 = 𝟏𝟎

Persamaan lingkaran dengan pusat (0, 0) dan melewati titik (𝑎, 𝑏) adalah 𝒂 𝟐 +𝒃 𝟐 = 𝟏𝟎

Karena PGS melewati (5, 5) maka bila kita substitusikan (𝟓, 𝟓) ke PGS akan diperoleh: 𝑎𝑥 + 𝑏𝑦 = 10 ⇔ 5𝑎 + 5𝑏 = 10

Dari persamaan lingkaran 𝑎 2 +𝑏 2 = 10 dan 𝑏 = 2 − 𝑎, substitusikan 𝒃 = 𝟐 − 𝒂 ke persamaan lingkaran diperoleh:

Dari 𝑎 = −1 atau 𝑎 = 3 akan diperoleh nilai 𝑏, yaitu: 𝑎 = −1 ⇔ 𝑏 = 2 − 𝑎 = 2 + 1 = 3

Jadi dua titik singgung tersebut adalah (−𝟏, 𝟑) dan (𝟑, −𝟏).

Sehingga PGS lingkaran pada titik (−𝟏, 𝟑) dan (𝟑, −𝟏) adalah: −𝑥 + 3𝑦 = 10 dan 3𝑥 − 𝑦 = 10.

TRIK SUPERKILAT:

Lingkaran 𝑥 2 +𝑦 2 = 10 adalah lingkaran dengan titik pusat (0, 0) dan jari-jari 𝑟 = √10.

Cari nilai gradien PGS tersebut dengan mensubstitusikan titik (5, 5) dan jari-jari √10 ke dalam rumus:

5 − 5𝑚 = ±√10√1 + 𝑚 2 (kuadratkan kedua ruas)

Jadi, persamaan garis singgung melalui (5 ,5) dan gradien

Persamaan garis singgung melalui (5 ,5) dan gradien 𝑚=3

Bimbel UN Matematika SMA Program IPA by Pak Anang ( http://pak-anang.blogspot.com ) Halaman 35

Tipe Soal Sering Muncul pada Bab Lingkaran:

Menentukan pusat dan jari-jari lingkaran Perhatikan pola persamaan lingkaran yang ada pada soal!

Contoh:

1. Diberikan persamaan lingkaran 𝑥 2 +𝑦 2 = 25, maka pusat dan jari-jari lingkaran adalah …. Penyelesaian:

Pusat di (0, 0) dan jari-jari 5.

2. Diberikan persamaan lingkaran (𝑥 − 3) 2 + (𝑦 − 4) 2 = 25, maka pusat dan jari-jari lingkaran adalah ….

Penyelesaian:

Pusat di (3, -4) dan jari-jari 5.

3. Diberikan persamaan lingkaran 𝑥 2 +𝑦 2 − 2𝑥 + 4𝑥 − 20 = 0, maka pusat dan jari-jari lingkaran adalah ….

Penyelesaian: 𝑥 2 +𝑦 2 − 2𝑥 + 4𝑥 − 20 = 0

1 −2 dibagi (-2) Maka pusat (1, −2), dan jari-jari adalah 𝑟 = √(1) 2 + (−2) 2 − (−20)

Halaman 36 Bimbel UN Matematika SMA Program IPA by Pak Anang ( http://pak-anang.blogspot.com )

Menentukan persamaan lingkaran Seringkali tidak diketahui jari-jari lingkaran. Misal diketahui pusat lingkaran (𝑎, 𝑏) dan lingkaran menyinggung sumbu X, maka 𝑟 = |𝑏|. Misal diketahui pusat lingkaran (𝑎, 𝑏) dan lingkaran menyinggung sumbu Y, maka 𝑟 = |𝑎|. Seringkali juga jari-jari diperoleh dengan menggunakan rumus jarak titik ke garis. Bila diketahui

pusat lingkaran dan garis singgung lingkaran, maka jari-jari lingkaran adalah jarak titik pusat ke garis singgung.

Contoh:

1. Persamaan lingkaran dengan pusat (5, −1) dan jari-jari 3 adalah …. Penyelesaian: Persamaan lingkaran dengan pusat (𝑎, 𝑏) dengan jari-jari 𝑟:

2 2 (𝑥 − 5) + (𝑦 + 1) =9 atau diubah ke bentuk umum persamaan lingkaran:

2. Persamaan lingkaran dengan pusat di (3, 2) yang menyinggung sumbu X adalah …. Penyelesaian:

3. Persamaan lingkaran dengan pusat di (−1, 2) yang menyinggung sumbu Y adalah …. Penyelesaian:

4. Persamaan lingkaran yang berpusat di (1, 4) dan menyinggung garis 3𝑥 − 4𝑦 − 2 = 0 adalah …. Penyelesaian:

Pusat (𝑥 1 ,𝑦 1 ) = (1, 4)

Garis 3𝑥 − 4𝑦 − 2 = 0, dengan 𝑎 = 3, 𝑏 = −4, dan 𝑐 = −2. Persamaan lingkaran dengan pusat (𝑥 1 ,𝑦 1 ) menyinggung garis 𝑎𝑥 + 𝑏𝑦 + 𝑐 = 0 adalah:

Bimbel UN Matematika SMA Program IPA by Pak Anang ( http://pak-anang.blogspot.com ) Halaman 37

Menentukan persamaan garis singgung lingkaran pada titik yang terletak di lingkaran. Ingat konsep PGS dapat dilihat dari bentuk persamaan lingkarannya. Pangkat dua diubah menjadi perkalian dua faktor. Pangkat satu, diubah menjadi setengah penjumlahan.

Contoh:

2 Persamaan garis singgung lingkaran 𝑥 2 +𝑦 = 25 di titik (4, −3) adalah …. Penyelesaian:

𝑥 1 = 4 dan 𝑦 1 = −3

Ingat, ganti 2 menjadi 𝑥 1 𝑥 +𝑥 𝑥

1 𝑥, dan 𝑥 menjadi (

Sehingga persamaan garis singgungnya adalah: 4𝑥 − 3𝑦 = 25

2. Persamaan garis singgung lingkaran (𝑥 − 1) 2 + (𝑦 − 4) 2 = 25 di titik (−2, 0) adalah …. Penyelesaian:

𝑥 1 = −2 dan 𝑦 1 =0 Ingat, ganti 𝑥 2 menjadi

1 𝑥, dan 𝑥 menjadi (

Sehingga persamaan garis singgungnya adalah: (−2 − 1)(𝑥 − 1) + (0 − 4)(𝑦 − 4) = 25

3. Persamaan garis singgung lingkaran 𝑥 2 +𝑦 2 − 6𝑥 + 4𝑦 − 12 = 0 di titik (7, 1) adalah …. Penyelesaian:

𝑥 1 = 7 dan 𝑦 1 =1

2 𝑥 1 Ingat, ganti +𝑥 𝑥 menjadi 𝑥

1 𝑥, dan 𝑥 menjadi ( 2 ).

Sehingga persamaan garis singgungnya adalah: 7𝑥 + 𝑦 − 3(7 + 𝑥) + 2(1 + 𝑦) − 12 = 0

Halaman 38 Bimbel UN Matematika SMA Program IPA by Pak Anang ( http://pak-anang.blogspot.com )

Menentukan persamaan garis singgung lingkaran pada titik yang terletak di luar lingkaran.

1. Persamaan garis singgung lingkaran 𝑥 2 +𝑦 2 = 9 di titik (1, 3) adalah ….

Penyelesaian: TRIK SUPERKILAT: Lingkaran pusat (0, 0) dan jari-jari 𝑟 = 3. Cek apakah titik (1, 3) berada di dalam atau di luar lingkaran (?).

2 2 2 𝑥 2 +𝑦 = 9 ⇒ (1) + (3) = 10 > 9 (maka titik berada di luar lingkaran) Gunakan rumus berikut:

3 − 𝑚 = ±3√1 + 𝑚 2 (kuadratkan kedua ruas)

∴ 𝑚 = 0 atau 𝑚 = −

Melalui (1 ,3) dan gradien 𝑚=0

Melalui (1 ,3) dan gradien 𝑚=−

Bimbel UN Matematika SMA Program IPA by Pak Anang ( http://pak-anang.blogspot.com ) Halaman 39

Menentukan persamaan garis singgung lingkaran yang sejajar atau tegak lurus terhadap sebuah garis.

1. Persamaan garis singgung lingkaran (𝑥 − 3) 2 + (𝑦 + 5) 2 = 80 yang sejajar dengan garis 𝑦 − 2𝑥 + 5 = 0 adalah …. Penyelesaian: Trik Superkilat:

Sesuaikan PGS lingkaran pusat sejajar apa nggak? (𝑥 1 ,𝑦 1 ) jari-jari 𝑟 yang sejajar dengan garis 𝑎𝑥 + 𝑏𝑦 + 𝑐 = 0:

𝑎𝑥 + 𝑏𝑦 = 𝑎𝑥 1 + 𝑏𝑦 1 ± 𝑟√𝑎 2 +𝑏 2 Masukkan substitusikan pusat

± Rumus substitusikan jari-jari dan koefisien

Lingkaran pusat (3, −5) dan jari-jari 𝑟 = √80 PGS yang sejajar 𝑦 − 2𝑥 + 5 = 0 adalah 𝑦 − 2𝑥 juga!!!

2. Salah satu persamaan garis singgung lingkaran 𝑥 2 +𝑦 2 − 4𝑥 − 8𝑦 + 15 = 0 yang tegak lurus garis 𝑥 + 2𝑦 = 6 adalah ….

Penyelesaian: Trik Superkilat: Lingkaran pusat (2, 4) jari-jari 𝑟 = √5 PGS yang sejajar 𝑥 + 2𝑦 = 6 adalah 𝑥 + 2𝑦 harus diubah menjadi 2𝑥 − 𝑦 !!!

⇔ 2𝑥 − 𝑦 = 5 dan 2𝑥 − 𝑦 = −5

Halaman 40 Bimbel UN Matematika SMA Program IPA by Pak Anang ( http://pak-anang.blogspot.com )

Pembahasan TRIK SUPERKILAT pada contoh soal yang serupa pada UN 2012 kemarin:

2 1. 2 Lingkaran L   x  1   y  3   9 memotong garis y  3 . Garis singgung lingkaran yang melalui titik

potong antara lingkaran dan garis tersebut adalah ....

A. x  2 dan x   4 Memotong garis 𝑦=3

PGS lingkaran

B. x  2 dan x   2 𝑦=3⇒ (𝑥 + 1) 2 + (3 − 3) 2 =9

C. x   2 dan x  4 ⇔

D. x   2 dan x   4 ⇔

E. x  8 dan x   10 ⇔ 𝑥 1 = −4   𝑥 2 =2

TRIK SUPERKILAT: Jadi titik potongnya di

Gunakan sketsa lingkaran (−4, 3) dan (2, 3) ⇔

Jika adik- adik butuh ’bocoran’ butir soal Ujian Nasional tahun 2013, maka adik-adik bisa download di http://pak-anang.blogspot.com/2012/11/prediksi-soal-un-matematika-sma-2013.html . Semua soal tersebut disusun sesuai kisi-kisi SKL UN tahun 2013 yang dikeluarkan secara resmi oleh BSNP tanggal 20November 2012 yang lalu.

Kisi-kisi SKL UN SMA tahun 2013 untuk versi lengkap semua mata pelajaran bisa adik-adik lihat di http://pak-anang.blogspot.com/2012/11/kisi-kisi-skl-un-2013.html .

Pak Anang.

Bimbel UN Matematika SMA Program IPA by Pak Anang ( http://pak-anang.blogspot.com ) Halaman 41

2. 6. Menyelesaikan masalah yang berkaitan dengan teorema sisa atau teorema faktor.

Polinomial (Suku Banyak)

Nilai Suku Banyak

Jika diketahui 𝐹(𝑥) = 2𝑥 3 − 5𝑥 2 +𝑥−3 Tentukan nilai 𝐹(𝑥) untuk 𝑥 = 3 !

Cara Biasa Cara Horner

“Substitusi 𝒙”

“Kalikan miring-miring”

Pembagian Suku Banyak

Tentukan hasil bagi dan sisa dari pembagian 2𝑥 3 − 5𝑥 2 + 𝑥 − 3 oleh 𝑥 − 3!

Cara Biasa Cara Horner

“Porogapit”

“Kalikan miring-miring”

𝑥 2 +𝑥 − hasil bagi sisa 𝑥 2 − 3𝑥 −

Halaman 42 Bimbel UN Matematika SMA Program IPA by Pak Anang ( http://pak-anang.blogspot.com )