5
BAB II LANDASAN TEORI
2.1. Definisi Asuransi
Definisi asuransi menurut Pasal 246 Kitab Undang-undang Hukum Dagang KUHD Republik Indones
ia, “Asuransi atau pertanggungan adalah suatu perjanjian, dengan mana seorang penanggung mengikatkan diri pada tertanggung
dengan menerima suatu premi, untuk memberikan penggantian kepadanya karena suatu kerugian, kerusakan atau kehilangan keuntungan yang diharapkan, yang
mungkin akan dideritanya karena sua tu peristiwa yang tak tertentu.”
Berdasarkan definisi tersebut, maka dalam asuransi terkandung 4 unsur, yaitu:
Pihak tertanggung insured yang berjanji untuk membayar uang premi kepada pihak penanggung, sekaligus atau pun bisa juga secara berangsur-
angsur Pihak penanggung insure yang berjanji akan membayar sejumlah uang
santunan kepada pihak tertanggung, sekaligus atau secara berangsur- angsur apabila terjadi sesuatu yang mengandung unsur tak tertentu
meninggal Suatu peristiwa accident yang tak tertentu tidak diketahui
sebelumnyatidak disengaja Kepentingan interest yang mungkin akan mengalami kerugian karena
peristiwa yang tak tertentu [1].
6
2.2. Dasar Teori Analysis Survival
2.2.1. probability density function pdf dan cumulative density function cdf Misal variabel acak kontinu T didefinisikan sebagai waktu survival dan
misalkan f t merupakan probability density function pdf, didefinisikan sebagai
[2]: 1.
f t
,
t R
. 2.
1 f t dt
.
3.
b a
p a t
b f t dt
.
sehingga diberikan F t merupakan cdf dari persamaan tersebut:
t
F t P T
t f u du
. 2.1
2.2.2. Fungsi Survival Survival Function Fungsi survival menyatakan sebagai suatu peluang ketahanan observasi
yang diamati selama waktu t. Misal
S t
adalah fungsi survival, didefinisikan sebagai berikut [4]:
S t P T
t
.
2.2 dari persamaan 2.2 di atas diperoleh:
1 S t
P T t
1 F t
2.3 dan diperoleh hubungan:
dS t f t
S t dt
. 2.4
7
hal ini dapat ditunjukkan sebagai berikut [3]:
lim
t
dF t F t
t F t
f t dt
t
[1 ] [1
] lim
lim
t t
P T t
t P T
t S t
t S t
t t
[ ]
lim
t
S t t
S t dS t
S t t
dt
.
2.2.3. Fungsi Hazard Hazard Function Fungsi hazard menyatakan sebagai perbandingan rasio peluang
kematiankegagalan pada selang waktu antara t dan
t t
. Misal
h t
adalah Fungsi hazard yang didefinisikan sebagai berikut [4]:
lim
t
P t T
t t T
t h t
t
1 lim
.
t
P t T
t t
T t
t P T
t
1 . lim
t
P t T
t t
P T t
t
1 . lim
t
P T t
t P T
t P T
t t
1
. dF t
f t S t
dt S t
. 2.5
berdasarkan persamaan 2.5 dan 2.4 diperoleh hubungan:
S t h t
S t
ln d
S t dt
. 2.6
8
sehingga mempunyai fungsi cumulative hazard
H t
:
t
H t h u du
ln ln
t
d S u
du S t
du
. 2.7
jika persamaan 2.7 ditransformasi dalam bentuk exponensial diperoleh:
exp S t
H t
. 2.8
2.2.4. Maximum Likelihood Estimation MLE Untuk menduga parameter model digunakan prosedur maximum likelihood
estimation berdasarkan atas kemungkinan bersyarat dikenal dengan nama partial likelihood.
Misal L
i
adalah likelihood dari kegagalan pada suatu waktu dalam himpunan
i
R , di mana himpunan resiko pada waktu
i
t berisi individu-individu yang bertahan hidup hingga waktu
i
t disebut { }
i i
R R t
dengan i adalah
spesifikasi waktu kegagalan sebanyak k waktu kegagalan. Perkalian peluang untuk setiap observasi waktu yang terjadi event membentuk persamaan
kemungkinan
L
yang hanya bergantung pada , sehingga didefinisikan sebagai berikut [5]:
1 2
1
. . ... .
k k
i i
L L L
L L
dengan exp
exp
i
i i
i i
l l R
h t X
L h t
X
, sehingga diperoleh:
1
exp exp
i
k i
i i
i l
l R
h t X
L h t
X
. 2.9
9
Persamaan 2.9 disebut partial likelihood. Persamaan ini tidak bergantung pada
h t , karena untuk menduga parameter-parameter
i
di dalam model regresi cox tidak perlu mengetahui
h t , sehingga diperoleh:
1
exp exp
i
k i
i i
i l
l R
X L
X
. 2.10
Untuk mempermudah pencarian penduga kemungkinan maksimum
L
, maka persamaan tersebut ditransformasi dalam bentuk ln menjadi
ln L
. Memaksimumkan
ln L
dengan cara menurunkannya terhadap , yaitu: d
lnL d
.
2.11 Untuk kasus sederhana, perhitungan dapat dilakukan secara eksak, namun
jika kasus sudah meliputi multivariable dan mempunyai data dalam cakupan besar, maka dilakukan perhitungan secara numerik dengan bantuan software
dengan metode pemaksimuman yang digunakan adalah prosedur iterasi Newton- Raphson yang dapat dilihat pada lampiran 1.
2.2.5. Pengujian Kontribusi Peubah A. Uji peubah tunggal
Uji peubah tunggal merupakan suatu uji yang dilakukan untuk mengetahui variabel-variabel apa saja yang berpengaruh terhadap model secara masing-
masing terhadap model. Dengan mengasumsikan data berdistribusi normal baku atau Z-score, maka digunakan Uji Wald sebagai uji peubah tunggal dengan [5]:
W SE
. 2.12
10
di mana: = koefisien penduga parameter
SE
= standard error penduga parameter . B. Uji peubah ganda
Pengujian peubah ganda berkebalikkan dengan uji peubah tunggal, dalam pengujian peubah ganda dilakukan pengajuan kontribusi peubah secara bersama-
sama. Uji statistik yang digunakan adalah likelihood ratio LR dengan menggunakan log likelihood statistik. LR dikenal juga dengan nama uji Chi-
Square
2
didefinisikan sebagai berikut [5]:
2
2 2
m r m
lnL lnL
2
m r m
lnL lnL
. 2.13
dengan:
m
L = log likelihood statistik dengan m variabel
m r
L
= log likelihood statistik dengan m variabel dan disisihkan sebanyak r variabel.
2.3. Survival Analysis
Kategori