Hal tersebut yang mendasari pentingnya penelitian tentang “Optimalisasi
Parameter Regresi Response Surface Methodology dalam Laba Usaha Pedagang Buah dan Aplikasinya dengan Matlab
”.
1.2 Rumusan Masalah
Berdasarkan latar belakang yang diuraikan di atas, permasalahan yang muncul dalam penelitian ini adalah
1. Bagaimana pemrograman matlab untuk permukaan respon optimal pada laba
usaha dagang? 2.
Bagaimana model regresi permukaan respon optimal pada laba usaha dagang?
3. Bagaimana titik optimum modal usaha, biaya tenaga kerja, dan lama usaha
yang menghasilkan laba usaha dagang yang maksimal?
1.3 Pembatasan Masalah
Batasan masalah yang dilakukan pada penelitian ini adalah 1.
Penelitian hanya menggunakan metode permukaan respon. 2.
Penelitian menggunakan optimalisasi laba usaha dagang hanya sebagai studi kasus.
3. Penelitian hanya terbatas pada model Central Composite Design dengan
faktorial .
1.4 Tujuan Penelitian
Berdasarkan rumusan di atas, maka tujuan dari penelitian ini adalah 1.
Untuk mengetahui pemrograman matlab untuk permukaan respon optimal pada laba usaha dagang.
2. Untuk mengetahui model regresi permukaan respon optimal pada laba usaha
dagang. 3.
Untuk mengetahui titik optimum modal usaha, biaya tenaga kerja dan lama usaha yang menghasilkan laba usaha dagang yang maksimal.
1.5 Manfaat Penelitian
1.5.1 Bagi Jurusan Matematika
1. Penelitian ini sebagai bahan studi kasus bagi jurusan matematika tentang
masalah optimalisasi menggunakan metode permukaan respon yang hasilnya berupa respon optimal.
2. Penelitian ini sebagai bahan pertimbangan bagi peneliti selanjutnya terutama
yang berhubungan dengan optimalisasi baik berupa hasil eksperimen maupun data sekunder.
1.5.2 Bagi Masyarakat
1. Mengoptimalkan laba usaha dagang sehingga pedagang memperoleh laba
yang optimal, dan
2. Dari penelitian dihasilkan sebuah program yang dapat digunakan untuk
permasalahan optimalisasi menggunakan Metode Permukaan Respon.
6
BAB 2 TINJAUAN PUSTAKA
2.1 Regresi
Regresi merupakan model yang memperlihatkan hubungan antara satu variabel terikat dependent variable
dengan beberapa variabel bebas independent variables
. Model regresi
atas akan ditaksir oleh:
1
̂
Keterangan : : peubah tak bebas
: peubah bebas, : parameter,
: residul, Dari persamaan 1 di atas dapat dibentuk persamaan Raymond et al., 2008: 45-
47 2
di mana:
[ ], [
], [ ], dan [
]
Hasil penjumlahan kuadrat adalah minimum, sehingga diperoleh fungsi kuadrat
terkecil least square 3
∑ Sehingga diperoleh
4
di mana merupakan matriks atau sebuah skalar sehingga jika
ditranspose menjadi merupakan sebuah skalar juga.
Ketika persamaan 4 diturunkan menjadi 5
| yang menjadi Cornell Khuri, 1996: 26
6
2.2 Metode Permukaan Respon
2.2.1 Pengertian
Metode permukaan respon adalah kumpulan teknik matematis dan statistik yang digunakan untuk pemodelan dan analisis masalah dalam suatu respon dalam
hal ini biasanya merupakan kualitas suatu produk yang dipengaruhi oleh beberapa variabel dan tujuannya adalah untuk mengoptimasi respon tersebut. Metode
permukaan respon sebuah kombinasi pada statistik dan metode optimasi yang menggunakan model dan desain optimasi Yang El-Haik, 2006: 611.
Optimasi dengan metode permukaan respon bisa diterapkan pada penelitian Ilmu Pangan Teknologi Hasil Pertanian, Pertanian, Kehutanan, Biologi,
Farmasi, Kesehatan, Teknik Kimia, Kimia, Bioteknologi, Teknik, Sosial, Ilmu Kesehatan, Ilmu Ekonomi, dll Oramahi, 2008: 10. Penggunaan metode
permukaan respon tidak hanya terbatas untuk ilmu-ilmu tersebut, namun semua bidang ilmu khususnya penelitian yang bertujuan untuk mencari kondisi variabel
optimum bisa menggunakan metode ini. Metode ini menggunakan analisis regresi pada data eksperimen dan plot 3D model permukaan respon Maharjan, 2014.
Dalam banyak kasus, metode permukaan respon untuk dua variabel independen menggunakan bentuk model ordo satu dan model ordo dua. Model
ordo satu memiliki persamaan 7
yang jika terjadi interaksi antar variabel, akan menghasilkan persamaan 8
untuk model ordo satu, dengan memisalkan =
dan =
dari persamaan tersebut dapat dibentuk Muthuvelayudham, 2010
9
dan persamaan
10
yang merupakan model ordo dua, ,
, ,
, , dan
dari persamaan dapat dibentuk 11
Model ordo dua adalah model yang paling sering digunakan pada metode permukaan respon. Beberapa alasan model ordo dua lebih banyak digunakan
dalam metode permukaan respon adalah; a.
Model ordo dua sangat fleksibel. Model tersebut dapat berubah ke dalam bentuk fungsi sesuai dengan kebutuhan.
b. Parameter pada model ordo dua mudah diestimasi.
c. Model ordo dua lebih praktis dalam memecahkan permasalahan pada
permukaan respon. Secara umum, model ordo satu memiliki persamaan
12
dan model ordo dua memiliki persamaan Khuri, 2006: 254 13
∑ ∑
∑ ∑ ̂
2.2.2 Eksperimen Ordo Satu
Langkah pertama dari metode permukaan respon adalah menentukan hubungan antara variabel
dengan respon melalui persamaan polinomial ordo
satu Nuryanti Salimy, 2008. Variabel-variabel bebas dinotasikan dengan . Variabel-variabel tersebut mempengaruhi variabel respon
yang diasumsikan sebagai variabel random. Rancangan permukaan respon ordo
pertama yang digunakan adalah rancangan faktorial Secara umum persamaan
dari model ordo satu tersebut adalah: 14
̂ ∑
dimana : ̂ = variabel terikat respon
= faktor-faktor yang berpengaruh terhadap variabel respon,
= komponen residual yang bersifat random dan terdistribusi secara identik dan saling bebas dengan distribusi normal pada nilai rataan
dan varian
2
= koefisien dari persamaan regresi
2.2.3 Eksperimen Ordo Dua
Pada keadaan mendekati respon, model ordo dua biasanya disyaratkan untuk mengaproksimasi respon karena adanya lengkungan dalam permukaannya
Pradhan, 2012. Model ordo dua dinyatakan dengan Raymond et al., 2008: 105
15 ̂
∑ ̂ ∑ ̂
∑ ∑ ̂ Model ordo dua dibangun dengan menggunakan rancangan komposit pusat
central composite designs untuk membentuk data percobaan. Secara umum rancangan komposit pusat didefinisikan sebagai suatu rancangan faktorial
ditambah dengan titik-titik sumbu
, serta titik pusat
Ariyanto, 2014: 11. Rancangan komposit pusat adalah rancangan faktorial ordo pertama
yang diperluas melalui penambahan titik pengamatan pada pusat agar memungkinkan
pendugaan koefisien parameter permukaan respon ordo kedua Gasperz, 1991. Rancangan faktorial
untuk sebagai contoh disajikan pada Tabel 2.1 dan
rancangan komposit pusat dengan dua sampai dengan lima faktor disajikan pada Tabel 2.2 berikut Raymond et al., 2008: 156.
Tabel 2.1 Rancangan Faktorial pada Percobaan Faktorial
Tabel 2.2 Rancangan Komposit Pusat
Sifat Rancangan Banyak Faktor
2 3
4 5
Rancangan Faktorial untuk rancangan dapat-putar
1.414 1.682
2.000 2.378
5 6
7 10
Perlakuan Simbol
1 2
3 4
5 6
7 8
2.2.4 Karakteristik Permukaan Respon
Variabel-variabel faktor disebut variabel asli, karena diukur
dengan unit pengukuran yang sebenarnya. Pada rancangan faktorial, variabel faktor
ditransformasikan menjadi variabel kode sebagai berikut Guo, 2009:
16
dimana: = faktor-faktor yang berpengaruh terhadap variabel respon,
= faktor-faktor yang berpengaruh terhadap variabel respon,
rata-rata dari = nilai terbesar
dikurangi nilai terkecil dibagi
.
Lalu regresikan di mana
terhadap sehingga diperoleh persamaan regresi ordo satu. Tujuan dari pengkodean adalah untuk memudahkan
perhitungan, meningkatkan akurasi pada penduga koefisien model Sjahid Maftukhah, 2007. Setelah uji hipotesis dan persamaan regresi ordo satu
memenuhi persyaratan maka dapat langsung mencari nilai yang mengoptimalkan respon. Tetapi jika tidak, maka harus mencari persamaan regresi ordo dua.
Nilai adalah nilai yang mengoptimalkan respon yang
diprediksikan. Jika nilai itu ada, maka
pada persamaan 15 merupakan himpunan yang beranggotakan
sedemikian sehingga turunan parsialnya:
17
̂ ̂
̂
Dalam notasi matriks, persamaan 15 dapat dinyatakan sebagai: 18
̂ ̂
dengan
[ ] ,
[ ̂
̂ ̂
̂ ]
, dan [
̂ ̂
̂ ̂
̂ ̂
̂ ̂
̂ ]
di mana merupakan vektor koefisien regresi ordo , sedangkan merupakan
matriks ordo yang elemen diagonal utamanya merupakan koefisen kuadratik
murni ̂
dan elemen-elemen segitiga atasnya adalah dari koefisien kuadratik
campuran ̂
.
Turunan dari terhadap vektor adalah sama dengan , sehingga
dinyatakan dengan: 19
̂
Titik-titik stationer merupakan solusi dari persamaan 19, yaitu: 20
di mana Lenth, 2012. Substitusikan persamaan 20 ke
persamaan 18 diperoleh nilai respon optimal yang diprediksikan terjadi pada titik-titik stasioner, yaitu:
21 ̂
̂
̂
̂
̂
Fungsi dari karakteristik permukaan respon adalah untuk menentukan jenis titik stasioner, apakah titik stasioner maksimum, minimum, atau titik pelana
Nuryanti Salimy, 2008. Titik-titik stationer tersebut ditunjukkan pada Gambar 2.1, Gambar 2.2, dan Gambar 2.3.
Gambar 2.1 Respon pada Titik Maksimum
Gambar 2.2 Respon pada Titik Minimum
Gambar 2.3 Respon pada Titik Pelana Titik stasioner dapat diidentifikasi dengan mentransformasikan fungsi
respon dari titik asal ke titik stasioner
dan sekaligus merotasikan
sumbu koordinatnya, sehingga dihasilkan fungsi respon sebagai berikut Raymond et al., 2008: 411.
22 ̂ ̂
dengan : : Variabel independen baru hasil transformasi
̂ : Harga taksiran y pada titik stasioner
: Konstanta yang merupakan nilai eigen dari matrik Karakteristik dari permukaan respon ditentukan oleh harga
. Jika nilainya semua positif maka
adalah titik minimum, sedangkan jika semua negatif maka adalah titik maksimum, jika harganya berbeda tanda di antara harga
, maka merupakan titik pelana Raymond et al., 2008: 406-407.
2.2.5 Uji Hipotesis dalam Metode Permukaan Respon
Analisis pada pemecahan masalah menggunakan metode permukaan respon adalah memperkecil sisaan residual dari sebuah regresi. Sehingga
parameter hanya dipengaruhi oleh . Uji yang digunakan adalah sebagai
berikut.
2.2.5.1 Uji Signifikan pada Regresi
Uji signifikan pada regresi digunakan untuk menentukan variabel-variabel bebas memberikan sumbangan yang berarti dalam model atau tidak. Hasil
pengujiannya sebagai berikut. Hipotesis:
Kriteria Pengujian: Jika
maka terima dan jika
maka tolak
.
Untuk uji signifikan pada regresi disajikan pada Tabel 2.3 berikut.
Tabel 2.3 Analisis Varian pada Regresi
Sumber Keragaman
Jumlah Kuadrat
Derajat Kebebasan
Kuadrat Tengah
Regresi Sisaan
Total dengan rumus-rumus pada jumlah kuadrat Raymond et al., 2008: 56-61
23 ∑
̂ ∑
Substitusikan ̂ , diperoleh
24
Karena , maka diperoleh persamaan akhir
25
Jumlah kuadrat total memiliki rumus atau
.
Dengan ∑
̅ ∑
∑ ∑
sehingga diperoleh
26
∑
Dari
,
maka diperoleh rumus jumlah kuadrat regresi berikut. 27
∑ ∑
∑
Sedangkan untuk observasinya dapat dicari menggunakan rumus
28
⁄ ⁄
dan tabel menggunakan
,
untuk dan
dapat dicari dengan 29
dan 30
2.2.5.2 Uji Lack of Fit
Lack of Fit adalah model yang belum tepat atau tidak terdapat kecocokan antara data dengan model Sembiring, 2003: 144. Diperlukan sumber khusus
untuk mendapatkan penaksir yang tak bias dan tidak tergantung pada model.
Sumber khusus itu adalah replikasi yang dengan sengaja dibuat dalam rancangan penelitian. Replikasi dibedakan dengan pengulangan pengukuran Sembiring,
2003: 145. Tujuannya adalah untuk mengukur variasi pada suatu nilai . Variasi
seperti itu terjadi karena pengaruh acak, bukan karena model yang keliru.Variasi memberikan penaksir
yang tidak tergantung pada model. Jumlah kuadrat yang muncul dari replikasi disebut jumlah kuadrat galat murni, sedangkan jumlah
kuadrat akibat belum cocoknya model disebut jumlah kuadrat kekurangcocokan. Jadi, bila ada replikasi, maka jumlah kuadrat sisa
dapat diuraikan atas komponennya sebagai berikut.
31
dengan hipotesisnya seebagai berikut.
Hipotesis:
Kriteria Pengujian: Jika
maka terima dan jika
maka tolak .
Untuk uji lack of fit dapat dilihat pada Tabel 3.2 berikut.
Tabel 2.4 Uji Lack of Fit
Sumber Keragaman
Jumlah Kuadrat
Derajat Kebebasan Kuadrat
Tengah Lack of Fit
Galat Murni banyaknya pengulangan
dengan rumus-rumus pada jumlah kuadrat Sembiring, 2003: 147-148 32
∑ ∑
̅ dan
33
Sedangkan untuk observasinya dapat dicari menggunakan rumus
34
2.2.5.3 Uji Kelengkungan Kuadrat
Pada percobaan faktorial , terdapat kombinasi perlakuan pada percobaan
yang terdiri dari rancangan faktorial dan titik pusat. Untuk menguji adanya kelengkungan kuadrat pada model menggunakan rumus sebagai berikut
Raymond et al., 2008: 208. Hipotesis:
∑
∑
Kriteria Pengujian: Jika
maka terima dan jika
maka tolak 35
̅ ̅
di mana: = Banyaknya rancangan faktorial
= Banyaknya titik pusat ̅
= Jumlah respon pada rancangan fatorial ̅
= Jumlah respon pada titik pusat = Rata-rata kuadrat dari kelengkungan kuadrat
2.2.5.4 Uji t
Uji t digunakan untuk mengetahui kualitas keberartian regresi antara tiap- tiap variabel bebas terdapat pengaruh atau tidak terhadap variabel terikat. Hasil
pengujiannya sebagai berikut. Hipotesis:
Kriteria Pengujian: Jika
maka terima dan jika
maka tolak .
Rumus: Untuk menguji uji t digunakan terlebih dahulu uji korelasi pearson product
moment dengan rumus
∑ ∑ ∑ √ ∑
∑ ∑
∑
di mana: = Besarnya korelasi antara variabel dan
n= Banyaknya data dan rumus
nya adalah
√ √
2.3 Steepest Ascent
Metode Dakian Tercuram Steepest Ascent merupakan suatu prosedur yang bergerak sepanjang lintasan dakian tercuram menuju daerah maksimum yang
meningkatkan respon Wei, 2010. Steepest Ascent menggunakan kelipatan pada model regresi dalam pencarian mendekati ke titik optimum Bagio Latief,
2011. Steepest Ascent digunakan untuk mencari nilai respon maksimum, sedangkan Steepest Descent digunakan untuk mencari nilai respon minimum
Raymond, dkk, 2008: 330. Eksperimen dilakukan sepanjang jalur Steepest Ascent sampai tidak lagi terjadi kenaikan. Jika model orde satu dianggap cocok,
maka jalur Steepest Ascent yang baru ditentukan yang selanjutnya dilanjutkan dengan prosedur berikutnya sehingga hasil eksperimen sampai pada sekitar daerah
optimum. Agar lebih mudah, untuk
asumsikan titik adalah titik asal atau titik dasar Raymond et al., 2008: 340-341. Maka,
1. Pilih salah satu variabel, sebut
pilih variabel yang paling diketahui atau variabel paling besar atau mendekati terbesar dengan koefisien regresi
. 2.
Langkah selanjutnya untuk variabel lain adalah 36
3. Mengkonversi
dari variabel kode menjadi variabel sebenarnya.
2.4 Laba
