n = banyaknya penilaian f.
Membentuk matriks perbandingan berpasangan yang menggambarkan kontribusi relatif atau pengaruh setiap elemen terhadap masing-masing tujuan atau kriteria
yang setingkat diatasnya. Perbandingan dilakukan berdasarkan pilihan atau judgement dari pembuat keputusan dengan menilai tingkat kepentingan suatu
elemen dibandingkan elemen lainnya. g.
Menormalkan data yaitu dengan membagi nilai dari setiap elemen di dalam matriks yang berpasangan dengan nilai total dari setiap kolom.
h. Menghitung nilai eigen vector dan menguji konsistensinya, jika tidak konsisten
pengambil data preferensi perlu diulangi. Nilai eigen vector yang dimaksud adalah nilai eigen vector maximum yang diperoleh dengan menggunakan matlab
maupun manual. i.
Mengulangi langkah c, d, dan e untuk seluruh tingkat hirarki. j.
Menghitung eigen vector dari setiap matriks perbandingan berpasangan. Nilai eigen vector merupakan bobot setiap elemen. Langkah ini mensintesis pilihan dan
penentuan prioritas elemen-elemen pada tingkat hirarki terendah sampai pencapaian tujuan.
k. Menguji konsistensi hirarki. Jika tidak memenuhi dengan CR0,100 maka
penilaian harus diulang kembali.
2.2.2 Eigen value dan Eigen vector
Untuk melengkapi pembahasan tentang eigen value dan eigen vector maka akan diberikan definisi
– definisi mengenai matriks dan vektor.
1. Matriks
Matriks adalah sekumpulan himpunan objek bilangan riil atau kompleks, variabel
–variabel yang disusun secara persegi panjang yang terdiri dari baris dan kolom yang biasanya dibatasi dengan kurung siku atau biasa. Jika sebuah matriks
memiliki m baris dan n kolom maka matriks tersebut berukuran ordo m x n. Matriks
Universitas Sumatera Utara
dikatakan bujur sangkar square matrix jika m = n. Dan skalar –skalarnya berada di
baris ke-i dan kolom ke-j yang disebut ij matriks entri.
ij
mn mj
m m
in ij
i i
n j
n j
a
a a
a a
a a
a a
a a
a a
a a
a a
A
2 1
2 1
2 2
22 21
1 1
12 11
2. Vektor dari n dimensi
Suatu vektor dengan n dimensi merupakan suatu susunan elemen – elemen
yang teratur berupa angka –angka sebanyak n buah, yang disusun baik menurut baris,
dari kiri ke kanan disebut vektor baris atau Row Vector dengan ordo 1 x n maupun menurut kolom, dari atas ke bawah disebut vektor kolom atau Colomn Vector dengan
ordo n x 1. Himpunan semua vektor dengan n komponen dengan entri riil dinotasikan dengan R
n
. Untuk vector u
dirumuskan sebagai berikut:
n
R u
R U
n n
R a
a a
u
2 1
3. Eigen value dan Eigen vector
Defenisi: Apabila A adalah matriks bujur sangkar n x n, maka vektor tak nol x di
dalam
n
R dinamakan eigen vector dari A jika Ax kelipatan skalar x, yakni:
Universitas Sumatera Utara
x Ax
2 Skalar λ dinamakan eigen value dari A dan x dikatakan eigen vector yang
bersesuaian dengan λ. Untuk mencapai eigen value dari matriks A yang berukuran n x n, maka dapat ditulis pada persamaan berikut:
x Ax
Atau secara ekivalen
x
A I
3 Agar λ menjadi eigen value, maka harus ada pemecahan tak nol dari
persamaan ini. Akan tetapi, persamaan 3 akan mempunyai pemecahan nol jika dan hanya jika:
det
x A
I
4 Ini dinamakan persamaan karakteristik A, skalar yang memenuhi persamaan
ini adalah eigen value dari A. Bila diketahui bahwa nilai perbandingan elemen A
i
terhadap elemen A
j
adalah a
ij
, maka secara teoritis matriks tersebut berciri positif berkebalikan, yakni
ji ij
a a
1
. Bobot yang dicari dinyatakan dalam vector
n
w w
w w
w ,
, ,
,
3 2
1
. Nilai
n
w
menyatakan bobot kriteria A
n
terhadap keseluruhan set kriteria pada sub sistem tersebut.
Jika a
ij
mewakili derajat kepentingan i terhadap faktor j dan a
jk
menyatakan kepentingan dari faktor j terhadap k, maka agar keputusan menjadi konsisten,
kepentingan i terhadap faktor k harus sama dengan
jk ij
a a
atau jika
ik jk
ij
a a
a
untuk semua i, j, k maka matriks tersebut konsisten.
Untuk suatu matriks konsisten dengan vektor w, maka elemen
ij
a
dapat ditulis:
n j
i w
w a
j i
ij
, ,
3 ,
2 ,
1 ,
;
5 Jadi, matriks konsistennya adalah:
ik k
i k
j j
i jk
ij
a w
w w
w w
w a
a
6
Universitas Sumatera Utara
Maka untuk matriks perbandingan berpasangan diuraikan menjadi:
ji i
j j
i ij
a w
w w
w a
1 1
7
Dari persamaan 7 dapat dilihat bahwa: n
j i
w w
a
i j
ij
, ,
3 ,
2 ,
1 ,
; 1
8
Dengan demikian untuk matriks perbandingan berpasangan yang konsisten menjadi:
n j
i ij
ij ij
n j
i n
w w
a
1 ,
, ,
3 ,
2 ,
1 ,
; 1
9
n j
i ij
ij ij
n j
i nw
w a
1 ,
, ,
3 ,
2 ,
1 ,
;
10
Persamaan 9 dan 10 ekuivalen dengan bentuk persamaan 11 w
n w
A
11
Dalam teori matriks, formulasi ini diekspresikan bahwa w adalah eigen vector dari matriks A dengan nilai eigen n. Perlu diketahui bahwa n merupakan dimensi matriks
itu sendiri. Dalam bentuk persamaan matriks dapat ditulis sebagai berikut:
n n
n n
n n
n n
w w
w n
w w
w
w w
w w
w w
w w
w w
w w
w w
w w
w w
2 1
2 1
2 1
2 2
2 1
2 1
2 1
1 1
12
Tetapi pada kenyataannya tidak dapat dijamin bahwa:
jk ik
ij
a a
a
13
Salah satu penyebabnya yaitu karena unsur manusia decision maker tidak selalu dapat konsisten mutlak dalam mengekspresikan preferensi terhadap elemen-elemen
Universitas Sumatera Utara
yang dibandingkan. Dengan kata lain, bahwa penilaian yang diberikan untuk setiap elemen persoalan pada suatu level hirarki dapat saja tidak konsisten inconsistent.
Jika
n
,
,
2 1
adalah bilangan-bilangan yang memenuhi persamaan: X
X A
14
Dengan eigen value dari matriks A dan jika
n j
i a
ij
, ,
2 ,
1 ,
; 1
; maka dapat ditulis:
n
i
15
Misalkan jika suatu matriks perbandingan berpasangan bersifat ataupun memenuhi kaidah konsistensi seperti pada persamaan 6, maka perkalian
elemen matriks sama dengan 1.
12 21
22 21
12 11
1 A
A A
A A
A A
16
Eigen value dari matriks A,
I A
X I
A X
AX
17 Jika diuraiakan persamaan 17,
1 1
22 21
12 11
22 21
12 11
22 21
12 11
A A
A A
A A
A A
A A
A A
hasilnya adalah:
22 21
12 11
A
A A
A 18
Dari persamaan 18 jika diuraikan untuk mencari harga eigen value maximum λ-max. Untuk elemen matriks
ij
a =1 bila i = j, maka 1
...
22 11
mn
a a
a .
Sehingga diketahui bahwa
1
22 11
A
A
. Selanjutnya diperoleh :
1 1
1 1
2 2
1 1
2 ,
1 2
2 2
Universitas Sumatera Utara
1 ;
1
2 1
Dengan demikian matriks pada persamaan 16 merupakan matriks yang konsisten, dimana nilai λ-max sama dengan harga dimensi matriksnya. Jadi untuk
2
n , maka
semua harga eigen value-nya sama dengan nol dan hanya ada satu eigen value yang sama dengan n konstanta dalam kondisi matriks konsisten.
2.2.3 Penyusunan Prioritas
