V
t
= V
α
= V
αo
V
L
= V
b
= V
bo
I
L
= I
ab
Dalam menuliskan hukum tegangan kirchoff urutan subskrip itu merupakan urutan penjejakan suatu jalur tertutup sepanjang rangkaian .Untuk gambar 2.1,
V
oα +
V
αb
+ V
bn
= 0 2.4
Simpul simpul n dan o sama dengan ragkaian tersebut,dan n diperkenalkan untuk menandai jalur itu secara cepat. Dengan mengganti V
αo
menjadi - V
αo
dan tegangan memperhatikan bahwa V
ab
= I
ab
Z
A
menghasilkan - V
αo
+ I
ab
Z
A
+ V
bn
= 0 2.5
Sehingga I
ab
= V αo−V bn
Z A 2.6
2.4 DAYA DALAM RANGKAIAN ARUS BOLAK BALIK FASA TUNGGAL
Meskipun teori dasar mengenai penyaluran tenaga menguraikan penjalaran tenaga dalam istilah interaksi anatara medan listrik dengan medan magnet,insinyur sistem daya
hampir selalu lebih berkepentingan dengan uraian mengenai kecepatan perubahan tenaga terhadap waktu yang merupakan defenisi daya dalam istilah tegangan dan arus. Satuan daya
adalah watt. Daya dalam watt yang diserap oleh suatu beban pada setiap saat adalah hasil kali tegangan jatuh sesaat diantara beban itu dalam volt dengan arus sesaat yang mengalir dalam
beban tersebut dalam ampere. Jika kutub kutub beban itu dinamai a dan n ,jka tegangan dan arus tersebut dinyatakan oleh
V
αn
= V
max cos ωt
dan i
αn
I
max cos ωt -
ɵ
Daya sesaatnya adalah P = V
αn
i
αn
= V
max
I
max cos ωt
cos ωt - ɵ
2.7 Sudut
ɵ dalam persamaan persamaan diatas positif untuk arus yag tertinggal dan negatif untuk arus yang mendahului.suatu nilai p positif menyatakan banyaknya perubahan dimana
tenaga di
26
P=
αn
i
αn
----------------------------------------------------------------- p
Gambar 2.2 Arus,tegangan dan daya dilukiskan terhadap waktu
Serap oleh bagian sistem di antara titik titik a dan n. Daya sesaat itu jelas posiif bila baik V
αn
maupun i
αn
positif tetapi akan menjadi negatif bila V
αn
dan i
αn
berlawanan tanda.gambar 2.2 melukiskan hal itu.Daya positif yang dihitung sebagai V
αn
i
αn
diperoleh bila arus itu mengalir kearah tegangan jatuh dan merupakan banyaknya perubahan pemindahan tenaga kebeban.
Sebaliknya,daya negatif yang dihitung sebagai V
αn
i
αn
didapatkan bila arus mengalir pada arah tegangan naik dan berarti tenaganya dipindahkan dari beban ke sistem dimana beban tersebut
terpasang jika V
αn
dan i
αn
sefasa,seperti halnya dalam suatu beban resistif murni, daya sesaatnya tidak pernah menjadi negatif. Jika arus dan tegangan itu berbeda fasa 90
, seperti halnya pada rangkaian sempurna induktif murni atau kapasitif murni, daya sesaatnya akan
mempunyai bagian positif dan negatif yang sama pada setiap setengah putarannya dan nilai rata ratanya akan sama dengan nol.
Dengan menggunakan kesamaan trigonometri pernyataan pada persamaan pernyataan pada persamaan 2.7 dapat disederhanakan menjadi
P =
V max I max 2
cos ɵ1 + cos2ωt +
V max I max 2
sin
sin ɵ
2ωt 2.8
dimana V
max
I
max
2 dapat digantikan oleh hasil kali tegangan dari arus efektif | V
an
| . | I
an
| atau | V
max
| . | I |. Cara lain untuk memandang pernyataan untuk daya sesaat itu adalah dengan meninjau
komponen arus yang sefasa dengan V
an
dan komponennya yang berbeda fasa 90 dengan V
an
. Gambar 2.3a menunjukkan suatu rangkaian paralel dimana gambar 2.3b adalah diagram fasornya. Komponen i
an
yang sefasa dengan v
an
adalah i
R
,dan dari gambar 2.3b, |I
R
| cos ɵ. Jika
nilai maksimum i
an
adalah I
max
, nilai maksimum i
R
adalah I
max
cos ɵ. Aus sesaat i
R
harus sefasa dengan v
an
. Untuk v
an
= V
max cos ωt
i
R
= I
max
cos ωt 2.9
27
Gambar 2.3 rangkaian RL paralel dengan diagram fasornya
Demikian pula komponen i
an
yang tertinggal oleh v
an
dengan 90 adalah i
x
, yang nilai maksimumnya adalah I
max
sin . ɵ karena i
x
harus tertinggal oleh v
an
dengan 90 .
I
x
= I
max
sin ωt ɵ
2.10 Maka
v
an
i
R
= V
max
I
max
cos cos ɵ
ɵ
2
ωt =
V max I max 2
cos 1 +cos ωt ɵ
ɵ 2.11
Yang merupakan daya sesaat dalam resistansi dan adalah suku pertama pada persamaan 2.8. gambar 2.4 menunjukkan v
an
i
R
harus dilukis terhadap waktu. Demikian pula,
v
an
i
R
= V
max
I
max
sin sin ωt cos ωt ɵ
= V max I max
2 sin sin 2 ωt
ɵ 2.8
------------------------------------------------------------------
p
t=0 i
R
Gambar 2.4 tegangan,arus yang sefasa dengan tegangannya dan dayanya dilukiskan terhadap waktu
28
v
an
p =v
an
i
r
v
an
ix Q
t=0 p =v
an
i
an
Gambar 2.5 tegangan arus tertinggal 90 dari tegangannya dan daya hasilnya yang dilukis terhadap waktu
Yang merupakan daya sesaat daam induktansi dan merupakan suku kedua dalam persamaan 2.8 gambar 2.5 menunjukkan v
an
,i
x
dan hasil kalinya dilukis terhadap t . Jika kita tinjau persamaan 2.8 nampak bahwa suku pertama,suku yang mengandung
cos ɵ,selalu positif dan mempunyai nilai rata rata
P = V max I max
2 cos
ɵ 2.13
Atau,jika kita masukkan nilai tegangan dan nilai arus efektif, P = | V | . | I | cos
ɵ 2.14
P adalah besaran yang menunjukkkan daya bila tidak ada kata tambahan yang mengikutinya.P. daya rata rata,juga disebut seabagai daya nyata. Satuan dasar baik untuk
daya sesaat maupun daya rata rata adalah watt, tetapi satu watt adalah satuan ang sedemikian kecilnya dalam hubungan nya dalam besaran besaran sistem daya sehingga P biasanya diukur
dalam kilowatt atau megawatt.
kosinus sudut fasa ɵ antara tegangan dan arus disebut faktor daya. Suatu rangkaian
induktif dikatakan mempunyai faktor daya yang tertinggal dan suatu rangkaian kapasitas dikatakan mempunyai faktor daya yang mendahului. Dengan perkataan lain, istilah tertinggal
atau mendahului pada faktor daya itu menunjukkan apakah arus itu tertinggal atau mendahului tegangan yang dipasangkan.
Suku kedua pada persaaan 2.8,suku yang mengandung sin ɵ,berganti ganti antara
postif dan negatif dan mempunyai nilai rata rata nol. Komponen daya sesaat p ini disebut daya reaktif sesaat dan menyatakan alran tenaga bolak balik menuju dan meninggalkan
beban. Nilai makismum daya yang berdenyut ini ditulis sebagai Q,disebut daya reaktif atau voltampere reaktif dan sangat berguna untuk menyatakan operasi sautu sistem daya, yang
akan semakin terbukti dengan pembahasan kita lebih lanjut. Daya reaktif itu adalah
29
30
Q= V
max
I
max
2 sin θ
2.15 atau
Q= ¿
V ∨·
|
I
|
sin θ 2.16
Akar pangkat dua jumlah P pangkat dua dan Q pangkat dua sama dengan hasil kali [V] dan [I], karena
θ ¿
V ∨·
|
I
|
cos ¿
¿ θ
¿ V ∨·
|
I
|
sin ¿
¿ ¿
¿ ¿
√
P
2
+ Q
2
=
√
¿
¿ ∨
V ∨·∨I∨ ¿
2.17 Tentu saja P dan Q mempunyai satuan dimensi yang sama, tetapi biasanya satuan yang
diberikan untuk Q adalah var singkatan voltampere reaktif. Satuan yang lebih praktis untuk Q adalah kilovar atau megavar.
Dalam suatu rangkaian seri sederhana dimana Z sama dengan R + j X , dapat kita gantikan
¿ I∨·∨Z∨
¿
untuk
¿ V ∨
¿
dalam Persamaan 2.14 dan 2.16 untuk mendapatkan ¿
I∨ ¿
2
·
|
Z
|
cos θ P=
¿ 2.18
dan ¿
I∨ ¿
2
·
|
Z
|
sinθ Q=
¿ 2.19
Kemudian dengan mengenali bahwa
R=
|
Z
|
cos θ
dan
X =
|
Z
|
sin θ
, kita dapatkan ¿
I∨ ¿
2
R P=
¿ dan
¿ I∨
¿
2
X Q=
¿ 2.20
sesuai dengan yang kita harapkan. Persamaan 2.14 dan 2.16 memberikan cara lain untuk menghitung factor daya karena kita
lihat bahwa QP = tan θ. Karena itu faktor daya adalah
cosθ=cos tan
− 1
Q P
31
atau dari Persamaan 2.14 dan 2.17 cos θ=
P
√
P
2
+ Q
2
Jika daya sesaat yang dinyatakan oleh Persamaan 2.8 itu adalah daya pada rangkaian yang lebih bersifat kapasitif dengan tegangan terpasang yang sama, θ akan negatif, membuat
sin θ dan Q negatif. Jika rangkaian kapasitif dan rangkaiann induktif paralel, daya reaktif sesaat untuk rangkaian RL akan berbeda fasa 180
dengan daya reaktif sesaat pada rangkaian RC. Nilai posititf diberikan kepada Q untuk suatu beban induktif dan nilai negatif kepada Q
untuk suatu beban kapasitif.
Gambar 2.6 Kapasitor dipandang a sebagai suatu unsur rangkaian pasif yang menarik arus mendahului dan b sebagai generator yang mencatu arus tertinggal.
Para insinyur system daya biasanya memandang suatu kapasitor sebagai generator daya reaktif positif daripada memandangnya sebagai beban yang memerlukan daya reaktif negatif.
Konsep itu sangat beralasan karena suatu kapasitor yang menarik Q negatif dalam hubungan paralel dengan suatu beban induktif akan mengurangi Q yang seharusnya diberikan oleh
system ke beban induktif tersebut. Dengan kata lain, kapasitor mencatu Q yang diperlukan oleh beban induktif itu. Hal tersebut sama dengan menganggap kapasitor itu sebagai suatu
alat yang memberikan suatu arus yang tertinggal, bukannya sebagai suatu alat yang menarik suatu arus yang mendahului, seperti yang ditunjukkan pada Gambar 2.6. Suatu kapasitor yang
dapat diubah-ubah nilainya dalam hubungan paralel dengan suatu beban induktif dapat diatur sedemikian sehingga arus mendahului dalam kapasitor itu mempunyai besar yang sama
dengan komponen arus dalam beban induktif yang tertinggal 90
dari tegangannya. Sehingga arus hasilnya akan sefasa dengan tegangannya tersebut. Rangkaian induktif masih tetap
memerlukan daya reaktif positif, tetapi daya reaktif bersihnya samadengan nol. Untuk alasan itulah insinyur system daya merasa lebih mudah untuk memandang kapasitor sebagai pencatu
daya reaktif ke beban induktif. Bila tidak digunakan kata positif dan negatif, selalu dianggap daya reaktif itu positif.
2.5 DAYA KOMPLEKS
