Pengendalian mutu kabur pada proporsi - USD Repository

  

PENGENDALIAN MUTU KABUR

PADA PROPORSI

SKRIPSI

  Diajukan untuk Memenuhi Salah Satu Syarat Memperoleh Gelar Sarjana Sains

  Program Studi Matematika Oleh:

  

Maria Ika Dewi Natalia

NIM: 033114004

PROGRAM STUDI MATEMATIKA JURUSAN MATEMATIKA

FAKULTAS SAINS DAN TEKNOLOGI

UNIVERSITAS SANATA DHARMA

YOGYAKARTA

  

2008

  

FUZZY QUALITY CONTROL

OF PROPORTION

THESIS

  Presented As Partial Fulfillment of The Requirenets To Obtain The Sarjana Sains Degree

  In Mathematics By:

  

Maria Ika Dewi Natalia

Student Number: 033114004

STUDY PROGRAM OF MATHEMATICS SCIENCE

DEPARTEMENT OF MATHEMATICS

FACULTY OF SCIENCE AND TECHNOLOGY

SANATA DHARMA UNIVERSITY

YOGYAKARTA

  

2008

PERNYATAAN KEASLIAN KARYA

  Saya menyatakan dengan sesungguhnya bahwa skripsi yang saya tulis ini tidak memuat karya atau bagian orang lain, kecuali yang telah disebutkan dalam kutipan dan daftar pustaka, sebagaimana layaknya karya ilmiah

  Yogyakarta, Oktober 2008 Penulis Kita tidak bisa menjadi bijaksana dengan kebijaksanaan orang lain, tapi kita bisa berpengetahuan dengan pengetahuan orang lain.

• Michel De Montaigne

  Kegagalan biasanya merupakan langkah awal menuju sukses, tapi sukses itu sendiri sesungguhnya baru merupakan jalan tak berketentuan menuju puncak sukses. -

  Lambert Jeffries

“ Segala perkara dapat kutanggung didalam Dia

yang memberi kekuatan kepadaku. ”

  

Filipi 4 : 13

Skripsi  ini kupersembahkan kepada:  Bapak,  ibu, dan adik‐adikku tersayang,  untuk  seluruh keluarga besarku, sahabat, teman, dosenku tercinta, 

  

ABSTRAK

  Pengendalian mutu kabur adalah pengendalian mutu yang penyelesaian batas pengendali dari grafik pengendalinya menggunakan pendekatan teori kabur. Berbeda dengan pengendalian mutu statistis yang biasa dikenal, dalam pengendalian mutu kabur, data yang akan diproses adalah data multinomial yang memuat istilah yang bersifat kabur semantik. Pada skripsi ini akan dibahas grafik pengendali-p kabur. Untuk mencari batas pengendali kaburnya digunakan dua pendekatan, yaitu:

  1. Dari himpunan data tegas yang diperoleh dalam suatu proses produksi, akan dicari batas pengendali kabur (yang berbentuk interval konfidensi kabur) dengan menggunakan konsep pendugaan kabur.

  2. Dari himpunan data tegas yang diperoleh dalam suatu proses produksi, akan dicari batas pengendalinya dengan menggunakan konsep bilangan kabur segitiga untuk menghasilkan batas pengendali yang berupa interval konfidensi tegas.

                       

  

ABSTRACT

  A fuzzy quality control is a quality control which the solution of the control limit of its control chart is using fuzzy theory. It is different with an ordinary statistical quality control. In fuzzy quality control, the data set which will be proccessed is a multinominal data which contains semantical fuzzy terms. This thesis will discuss the fuzzy-p chart. In order to determine the fuzzy control limit, there are two approaches:

  1. From the crisp data set which is found from a production proccess, it will be determined the fuzzy control limit (in the form of fuzzy confidence interval) by using fuzzy probability concept.

  2. From the crisp data set which is found from a production proccess, it will be determined the fuzzy control limit by using triangle fuzzy number concept to produce control limit in the form of crisp confidence interval.

                         

KATA PENGANTAR

  Puji syukur penulis ucapkan kepada Tuhan Yesus Kristus atas berkat dan bimbingannya yang telah dikaruniakan-Nya sehingga penulis dapat menyelesai- kan skripsi ini. Penulis berharap agar skripsi ini dapat lebih memperluas dan menambah pengetahuan segenap pembaca.

  Penulis menyadari bahwa dalam menyelesaikan skripsi ini banyak ditemukan hambatan dan kesulitan. Namun, berkat bimbingan, dukungan, dan doa yang luar biasa dari banyak pihak, akhirnya skripsi ini dapat terselesaikan. Oleh karena itu, dengan segala kerendahan hati, penulis ingin mengucapkan terima kasih kepada:

  1. Romo Ir. Greg. Heliarko S. J., S. S., B. S. T., M. Sc., M. A., selaku Dekan Fakultas Sains dan Teknologi Universitas Sanata Dharma Yogyakarta.

  2. Bapak Ir. Ig. Aris Dwiatmoko, M. Sc., selaku dosen pembimbing skripsi yang telah meluangkan waktu, pikiran, dan tenaga untuk membimbing penulis dalam menyusun skripsi ini dengan sangat sabar serta memberikan dorongan semangat kepada penulis selama proses penyusunan skripsi ini.

  3. Ibu Lusia Krismiyati Budiasih, S. Si, M. Si., selaku Kepala Program Studi Matematika Fakultas Sains dan Teknologi USD Yogyakarta, yang telah banyak membantu penulis dalam banyak hal selama menempuh kuliah di USD Yogyakarta.

  4. Ibu Enny Murwaningtyas, S. Si, M. Si., selaku dosen pembimbing akademik, yang telah memdampingi penulis selama menempuh kuliah di USD Yogyakarta.

  5. Para dosen penguji skripsi, yaitu: Bapak Ir. Ig. Aris Dwiatmoko, M. Sc., Ibu Enny Murwaningtyas, S. Si, M. Si, dan Bapak St. Eko Hari Parmadi, S. Si, M. Sc., yang telah meluangkan waktunya pada hari Selasa, 23 September 2008 jam 09.00 WIB guna menguji penulis dalam ujian terakhirnya serta meluluskannya dengan nilai yang memuaskan.

  6. Bapak dan Ibu dosen Matematika, Ilmu Komputer, dan Fisika, yang telah

  7. Bapak Tukijo, Ibu Linda, dkk selaku staf sekretariat FST USD Yogyakarta, yang dengan sabar memberikan pelayanan dalam mengurus segala kepen- tingan selama menempuh kuliah kepada penulis.

  8. Mas Susilo dkk selaku staf Laboratorium Komputer Dasar yang selalu memberikan bantuan kepada penulis.

  9. Perpustakaan USD Yogyakarta beserta seluruh staf, yang telah memberikan fasilitas dan kemudahan selama menempuh kuliah kepada penulis.

  10. Bapak Y. Suhendra dan Ibu Niken Purwaningsih selaku orangtua penulis serta adik-adikku, Hayuning Dwi Wulansari dan Diani Tri Ambarwati, yang selalu memberikan doa, semangat, dan dukungan dalam segala hal kepada penulis. Terima kasih untuk semuanya yang telah kalian berikan.

  11. Keluarga besarku, yaitu: Mbah kung, mbah uti, bulek, om, dan sepupu- sepupuku (terutama Novita Astuti Ningrum dan Farah Fauziah). Terima kasih untuk semua doa, dukungan, dan bantuannya.

  12. Teman-teman Matematika angkatan 2003, yaitu: Anin yang telah banyak membantuku dan menjadi teman curhatku selama ini, Mekar dan Eko selaku sama-sama anak bimbingan Pak Aris yang telah berjuang bersamaku selama proses penyusunan skripsi, Merry, Valent, Septi, Ridwan alias Jembat, Koko, dan Anggie. Terima kasih atas kekompakan dan perjuangan yang telah kita lalui selama menempuh kuliah di Matematika USD Yogyakarta. Makasih banget ya buat semuanya.

  13. Terima kasih kepada Fausta Widi Agung Harimada, yang telah banyak memberikan bantuan, semangat, dukungan, dan … (pokoknya semuanya).

  Makasih banget ya. Semoga Mas Agung diberikan kemudahan dan kelan- caran dalam segala hal. God Bless U.

  14. Buat Cicil Mat’ 04, makasih atas semangat dan bantuannya selama ini. Dan buat seluruh kakak dan adik angkatanku serta seluruh teman-teman Ikom dan Fisika, terima kasih atas semuanya. Terus semangat dan jangan me- nyerah. Sukses buat kita semua.

  15. Seluruh keluarga Anindita Kusumatuti. Terima kasih atas bantuan dan

  16. Teman-teman KKN kelompok 33, yaitu: Indu, Mbak Estri, Bayu, Widya, Cuki, Rinma, dan John. Terima kasih atas semua yang telah kita lalui bersama dan semua kenangan.

  17. Teman-teman maenku, yaitu: Afton, Nanang, Sinta, Mitri, Ali, dan Nunu.

  Walaupun karakter kita berbeda-beda tapi kita tetap bisa bersatu. Tetap kompak dan terima kasih untuk semuanya. Penulis menyadari bahwa dalam penulisan skripsi ini masih terdapat beberapa kekurangan. Oleh karena itu, kritik dan saran yang membangun akan dite-rima dengan segala keterbukaan hati. Akhirnya, penulis berharap semoga skripsi ini dapat berguna bagi semua pihak yang membutuhkan dan dapat menjadi bahan kajian selanjutnya.

  Yogyakarta, Oktober 2008 Penulis

DAFTAR ISI

   Halaman

  HALAMAN JUDUL …………………………………………………. i HALAMAN JUDUL (INGGRIS) …………………………………….. ii HALAMAN PERSETUJUAN PEMBIMBING ……………………… iii HALAMAN PENGESAHAN ………………………………………… iv PERNYATAAN KEASLIAN KARYA ……………………………… v HALAMAN PERSEMBAHAN ……………………………………… vi ABSTRAK …………………………………………………………… vii ABSTRACT …………………………………………………………. viii HALAMAN PERSETUJUAN PUBLIKASI ………………………… ix KATA PENGANTAR ……………………………………………….. x DAFTAR ISI …………………………………………………………. xiii DAFTAR TABEL ……………………………………………………. xvi DAFTAR GAMBAR ………………………………………………… xvii

  BAB I PENDAHULUAN A. Latar Belakang ……………………………………………

  1 B. Rumusan Masalah ……………………………………...…

  3 C. Pembatasan Masalah …………………………………..….

  3 D. Tujuan Penulisan ……………………………………..…...

  3 E. Metode Penulisan ……………………………………...…..

  4 F. Manfaat Penulisan …………………………………………

  4

  G. Sistematika Penulisan ……………………………………..

  27 2. Variabel Linguistik ……………………….………….

  67 5. Pertidaksamaan Cramer-Rao ………………………….

  58 4. Pendekatan Normal untuk Binomial ………………….

  57 3. Momen dan Fungsi Pembangkit Momen/FPM ……….

  53 2. Distribusi Normal ……………………………………..

  47 1. Distribusi Binomial …………………………………...

  43 D. Pendugaan Parameter ……………………………….………

  36 C. Sistem Kendali Kabur ………………………………………

  31 5. Penalaran Kabur atau Penalaran Hampiran ………….

  31 4. Proposisi Kabur ……………………………………...

  3. Pengubah Linguistik …………………………………

  29

  1. Dari Logika Dwinilai ke Logika Multinilai …….……

  4 BAB II TEORI HIMPUNAN DAN LOGIKA KABUR DAN BEBERAPA KONSEP STATISTIKA

  27

  25 B. Logika Kabur ………………………………………...….…

  23 6. Komposisi Relasi Kabur ……………………....…......

  19 5. Relasi Kabur ……………………………………........

  4. Bilangan Kabur ………………………………………

  14

  10 3. Operasi Baku pada Himpunan Kabur ………………..

  2. Fungsi Keanggotaan …………………………………

  6

  1. Himpunan Kabur ………………………….…………

  6

  A. Teori Himpunan Kabur ……………………………………

  69

  6. Menduga Parameter Distribusi Normal ………………. 73 7. Menduga Parameter Distribusi Binomial ……………..

  98 2. Vektor dan Matriks Random ………………………...

  2. Dari Data Tegas Dihasilkan Interval Konfidensi dalam Bentuk Tegas ……………………………..…. 141

  1. Dari Data Tegas Dihasilkan Interval Konfidensi dalam Bentuk Kabur …………………………….….. 120

  BAB III PENGENDALIAN MUTU KABUR A. Latas Belakang Pengendalian Mutu Kabur ……………….. 105 B. Contoh Kasus ……………………………………………… 106 C. Batas-batas Pengendali Kabur …………………………….. 120

  4. Distribusi Normal Multivariat …………………….… 100

  99

  98 3. Vektor Rata-rata dan Matriks Kovariansi …………...

  98 1. Matriks Data Multivariat …………………………….

  76

  93 F. Statistika Multivariat ……………………………………….

  2. Contoh Kasus …………………………………………

  91

  85 1. Grafik Pengendali p ……………………...…………...

  78 E. Pengendalian Mutu Statistik ………………………………..

  8. Pendugaan Interval ……………………………………

  BAB IV KESIMPULAN ………………………………………..…… 151 DAFTAR PUSTAKA ………………………………………………… 153

  

DAFTAR TABEL

  Halaman Tabel 2.5.1 ………………………………………………………… …..

  94 Tabel 3.2.1 ……………………………………………………………... 112

Tabel 3.2.2 ……………………………………………………………… 114Tabel 3.2.3 ……………………………………………………………… 117Tabel 3.3.1 ……………………………………………………………… 124Tabel 3.3.2 ……………………………………………………………… 130Tabel 3.3.3 ……………………………………………………………… 134Tabel 3.3.4 ……………………………………………………………… 137Tabel 3.3.5 ……………………………………………………………… 138Tabel 3.3.6 ……………………………………………………………… 142Tabel 3.3.7 ……………………………………………………………… 148

  

DAFTAR GAMBAR

  22 Gambar 2.1.11. …………………………………………………………

  97 Gambar 3.2.1. …………………………………………………………. 108

  96 Gambar 2.5.3. ………………………………………………………….

  87 Gambar 2.5.2. ………………………………………………………….

  58 Gambar 2.5.1. ………………………………………………………….

  43 Gambar 2.4.1. ………………………………………………………….

  39 Gambar 2.2.3. ………………………………………………………….

  32 Gambar 2.2.2. ………………………………………………………….

  23 Gambar 2.2.1. ………………………………………………………….

  21 Gambar 2.1.10. …………………………………………………………

  Halaman Gambar 2.1.1. …………………………………………………………..

  20 Gambar 2.1.9. ………………………………………………………….

  16 Gambar 2.1.8. ………………………………………………………….

  15 Gambar 2.1.7. ………………………………………………………….

  15 Gambar 2.1.6. ………………………………………………………….

  14 Gambar 2.1.5. ………………………………………………………….

  13 Gambar 2.1.4. ………………………………………………………….

  12 Gambar 2.1.3. ………………………………………………………….

  11 Gambar 2.1.2. ………………………………………………………….

Gambar 3.2.2. …………………………………………………………. 109Gambar 3.2.3. ………………………………………………………….. 109Gambar 3.3.7. …………………………………………………………. 135Gambar 3.3.13. ………………………………………………………… 147Gambar 3.3.12. ………………………………………………………… 146Gambar 3.3.11. ………………………………………………………… 140Gambar 3.3.10. ………………………………………………………… 140Gambar 3.3.9. …………………………………………………………. 136Gambar 3.3.8. …………………………………………………………. 136Gambar 3.3.6. …………………………………………………………. 132Gambar 3.2.4. ………………………………………………………….. 110Gambar 3.3.5. …………………………………………………………. 132Gambar 3.3.4. …………………………………………………………. 131Gambar 3.3.3. …………………………………………………………. 128Gambar 3.3.2. …………………………………………………………. 127Gambar 3.3.1. …………………………………………………………. 126Gambar 3.2.6. ………………………………………………………….. 118Gambar 3.2.5. ……………………………………………………….…. 111Gambar 3.3.14. ………………………………………………………… 150

BAB I PENDAHULUAN A. Latar Belakang Masalah Berdasarkan konsep teori himpunan tegas, setiap obyek selalu dapat diten-

  tukan secara tegas apakah obyek tersebut merupakan anggota himpunan atau ti- dak. Dengan kata lain, untuk setiap himpunan terdapat batasan yang tegas antara obyek-obyek yang bukan anggota dari himpunan tersebut. Sebagai contoh, him- punan orang bertopi dan tidak. Dalam hal ini batasan antara orang yang memakai topi dan tidak sangatlah jelas. Tapi tidak demikian dengan himpunan mahasiswa pandai dan tidak pandai. Himpunan mahasiswa pandai merupakan himpunan de- ngan obyek-obyek yang keanggotaannya tidak dapat dapat ditentukan secara tegas. Keanggotaan obyek-obyek tersebut bergantung pada penilaian seseorang.

  Misalnya, mahasiswa yang mempunyai IPK = 2.85, temannya yang mempunyai

  IPK lebih rendah dari dia akan mengatakan kalau dia merupakan mahasiswa pan- dai, tapi belum tentu bagi dosen yang menuntut mahasiswanya agar mempunyai

  IPK yang lebih tinggi dari itu. Jadi tidak jelas mana yang merupakan anggota himpunan dan mana yang bukan anggota himpunan.

  Untuk mengatasi adanya permasalahan itu, Lotfi A. Zadeh, seorang guru be- sar di Universitas California, Berkeley, Amerika serikat, memperkenalkan sebuah konsep baru, yang selanjutnya disebut himpunan kabur. Selanjutnya, berdasarkan konsep himpunan kabur itu, Zadeh juga mengembangkan konsep algoritma kabur, yang merupakan landasan dari logika kabur.

  Dewasa ini perkembangan teori kabur di berbagai bidang sangat pesat, salah satunya di bidang pengendalian kualitas. Kualitas menjadi faktor dasar keputusan konsumen untuk memilih produk atau jasa yang akan dipakainya. Akibatnya, kualitas adalah faktor kunci yang membawa keberhasilan bisnis, pertumbuhan dan peningkatan posisi bersaing. Dalam banyak proses produksi, bagaimanapun ba- iknya dirancang atau hati-hatinya dipelihara, akan selalu ada sebanyak tertentu variabilitas/gangguan, seperti mesin yang dipasang tidak wajar, kesalahan operator, atau bahan baku yang cacat. Untuk menghasilkan produk yang bermutu, va-riabilitas ini harus disingkirkan dalam proses walaupun tidak dapat sepenuhnya. Grafik pengendali mutu adalah alat yang efektif mengetahui mutu dari suatu produk melalui variabilitasnya.

  Kebanyakan data yang diproses untuk membentuk grafik pengendali hanya mempunyai dua nilai, contohnya: sesuai spesifikasi atau tidak, berguna atau dapat dibuang. Oleh karena itu, distribusi binomial digunakan untuk menyelesaikan kasus ini dalam menentukan batas pengendali. Tapi bagaimana jika data yang akan diproses merupakan kasus multinomial, di mana data tersebut memuat istilah yang bersifat kabur semantik. Untuk kasus seperti ini, penyelesaian dengan distribusi binomial tidak dapat digunakan untuk menentukan batas-batas pengendali. Oleh karena itu, karena datanya memuat istilah yang bersifat kabur semantik, maka pendekatan yang diperlukan untuk menyelesaikan masalah ini adalah teori kabur. Dalam skripsi ini akan dibahas penyelesaian masalah tersebut, yaitu jika data yang akan diolah untuk membentuk grafik pengendali merupakan kasus multinomial, di mana datanya memuat istilah yang bersifat kabur semantik.

  A. Perumusan Masalah

  Permasalahan yang akan dibahas dalam skripsi ini dapat dirumuskan sebagai berikut :

  1. Apa pengertian dari pengendalian mutu kabur?

  2. Bagaimana landasan teori pengendalian mutu kabur?

  3. Bagaimana penerapan teori kabur dalam grafik pengendali ? p

  B. Pembatasan Masalah

  Dalam skripsi ini, penulis membahas tentang pengendalian mutu kabur. Pe- nulisan skripsi ini dibatasi pada beberapa hal. Hal-hal yang tidak dibahas adalah sebagai berikut:

  1. Pembahasan masalah dalam skripsi ini hanya menggunakan teori-teori mengenai himpunan dan logika kabur serta beberapa konsep statistika yang terkait langsung.

  2. Teorema Ketunggalan tidak dibuktikan karena di luar jangkauan skripsi ini. Namun Teorema Ketunggalan langsung diaplikasikan untuk membuktikan beberapa teorema.

  3. Pembahasan pengendalian mutu kabur dalam skripsi ini hanya me- ngenai grafik pengendali -kabur.

  p

  C. Tujuan Penulisan

  Tujuan penulisan skripsi ini adalah :

  2. Memahami landasan teori pengendalian mutu kabur.

  3. Memahami penerapan teori kabur dalam grafik pengendali p .

  D. Metode Penulisan

  Penulisan skripsi ini menggunakan metode studi pustaka, yaitu dengan menggunakan buku-buku, jurnal-jurnal, dan makalah-makalah yang telah dipu- blikasikan, sehingga tidak ditemukan hal yang baru.

  E. Manfaat Penulisan

  Manfaat yang diharapkan dari penulisan skripsi ini adalah dapat menyelesaikan persoalan mengenai proses pengendalian mutu jika data yang akan diproses merupakan kasus multinomial, di mana data tersebut memuat istilah yang bersifat kabur semantik.

  F. Sistematika Penulisan

  BAB I : PENDAHULUAN Bab ini berisi gambaran umum tentang isi skripsi ini yang meliputi latar belakang masalah, perumusan masalah, pembatasan masalah, tujuan penulisan, metode penulisan, manfaat penulisan, dan sistematika penulisan.

  BAB II : TEORI HIMPUNAN DAN LOGIKA KABUR DAN BEBERAPA KONSEP STATISTIKA Bab ini berisi beberapa teori yang melandasi pembahasan bab se- lanjutnya, yaitu teori himpunan kabur, logika kabur, sistem kendali kabur, pendugaan parameter, pengendalian mutu statistik, dan sta- tistika multivariat.

  BAB III: PENGENDALIAN MUTU KABUR Bab ini membahas tentang latar belakang pengendalian mutu kabur, contoh kasus, dan batas-batas pengendali kabur. BAB IV : PENUTUP Bab ini berisi kesimpulan dari keseluruhan materi yang telah dipa- parkan.

BAB II TEORI HIMPUNAN DAN LOGIKA KABUR DAN BEBERAPA KONSEP STATISTIKA Pada Bab II ini akan ditulis teori-teori yang mendasari pembahasan tentang

  pengendalian mutu kabur. Pembahasan menyangkut teori himpunan dan logika kabur yang relevan dan beberapa konsep statistika yang terkait langsung.

A. Teori Himpunan Kabur

1. Himpunan Kabur Definisi 2.1.1 Kekaburan Semantik:

  Suatu kata/istilah dikatakan kabur secara semantik apabila kata/istilah terse- but tidak dapat didefinisikan secara tegas, dalam arti tidak dapat ditentukan secara tegas (benar atau salah) apakah suatu obyek tertentu memiliki ciri/sifat yang di- ungkapkan oleh kata/istilah itu atau tidak.

  Untuk mengatasi permasalahan himpunan dengan batas yang tidak tegas itu, Zadeh, seorang guru besar University of California, Berkeley, Amerika Serikat mengaitkan himpunan semacam itu dengan suatu fungsi yang menyatakan derajat kesesuaian unsur-unsur dalam semestanya dengan konsep yang merupakan syarat keanggotaan himpunan tersebut. Fungsi itu disebut fungsi keanggotaan dan nilai fungsi itu disebut derajat keanggotaan suatu unsur dalam himpunan itu, yang se- lanjutnya disebut himpunan kabur.

  Derajat keanggotaan dinyatakan dengan suatu bilangan real dalam selang ~ tertutup ,

  1 . Dengan kata lain, fungsi keanggotaan dari suatu himpunan kabur A [ ]

  dalam semesta X adalah pemetaan ~ ,

  1 , yaitu ~ : X , 1 .

  μ dari X ke selang [ ] μ → [ ] _{A A}

  ~

  Nilai fungsi ( ) x menyatakan derajat keanggotaan unsur x ∈

  X dalam him-

  μ _A ~ punan kabur A . Nilai fungsi sama dengan 1 menyatakan keanggotaan penuh, dan nilai fungsi sama dengan 0 menyatakan samasekali bukan anggota himpunan ka- bur tersebut. Maka himpunan tegas dapat dipandang sebagai kejadian khusus dari himpunan kabur, yaitu himpunan kabur yang fungsi keanggotaannya hanya ber- nilai 0 atau 1 saja.

  Himpunan orang tinggi itu, misalnya, dapat dinyatakan dengan fungsi keanggotaan . Misalnya seseorang yang tingginya 120 cm mempunyai dera- μ _tinggi jat keanggotaan 0.16, yaitu ( ) 120 = . 16 , dan seseorang yang tingginya 150

  μ _tinggi cm mempunyai derajat keanggotaan 0.55, yaitu ( ) 150 = . 55 , dalam him- μ tinggi punan kabur “tinggi” tersebut.

  Definisi 2.1.2 Himpunan Kabur:

  ~ Secara matematis suatu himpunan kabur A dalam semesta wacana X dapat dinyatakan sebagai himpunan pasangan terurut

  ~ , ~ |

  

A = { ( x μ ( ) x ) x ∈

_A

X }

  di mana ~ μ adalah fungsi keanggotaan dari himpunan kabur A~ , yang merupakan _A suatu pemetaan dari himpunan semesta X ke selang tertutup ,

  1 .

  [ ]

  ~ Jika semesta X adalah himpunan yang kontinu, maka himpunan kabur A dinyatakan dengan

  ~

  ~ A = ( ) x / x

  μ _A

_{x ∈}

∫

_X

di mana lambang ∫ melambangkan keseluruhan unsur-unsur x ∈

  X bersama de-

  ~ ngan derajat keanggotaannya dalam himpunan kabur A .

  ~ Jika semesta X adalah himpunan yang diskret, maka himpunan kabur A dinyatakan dengan

  ~

  ~ A = ( ) x / x

  μ _A

∑

_x

_X

  

∈

  di mana lambang ∑ melambangkan keseluruhan unsur-unsur x ∈

  X bersama

  ~ dengan derajat keanggotaannya dalam himpunan kabur A .

  Contoh 2.1.3:

  ~ adalah him- Dalam semesta himpunan semua bilangan real R, misalkan A

  ~ punan “bilangan real yang dekat dengan nol”, maka himpunan A tersebut dapat dinyatakan sebagai ₂

  ~ _x

  − A = e / x .

_{x ∈}

∫

_X Contoh 2.1.4:

  ~ Dalam semesta X = {-5, -4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4, 5}, himpunan kabur A dalam contoh 2.1.3 di atas dapat dinyatakan misalnya sebagai

  ~

  1 / − 4 . 3 / − 3 . 5 / − 2 . 7 / −

  1 μ _A ∑ _x

  ~ x / x = .

  1 1 / . + + + A = ( ) + + 7 /

  ∈X . 5 / 2 . 3 /

3 .

1 / 4 .

  Bilangan 5 dan -5 mempunyai derajat keanggotaan 0, yang biasanya tidak ditulis dalam penyajian himpunan kabur diskret seperti di atas.

  Definisi 2.1.3 Tinggi Himpunan Kabur:

  ~

  Tinggi dari suatu himpunan kabur A , yang dilambangkan dengan

  ~ ), didefinisikan sebagai

  Tinggi( A

  ~

  ~ Tinggi( A ) = sup x . _{x X} { μ ( ) } _A ∈

  Contoh 2.1.5:

  ~ Untuk himpunan kabur A dalam contoh 2.1.4, Tinggi ~ = A 1 .

  ( ) Definisi 2.1.4 Himpunan Kabur Normal dan Himpunan Kabur Subnormal:

  ~ Himpunan Kabur A dikatakan normal jika tingginya sama dengan 1 atau

  ~ ) = 1. Sedangkan himpunan kabur yang tingginya kurang dari 1 disebut

  Tinggi( A himpunan kabur subnormal.

  Definisi 2.1.5 Pendukung:

  ~ , yang dilambangkan dengan

  Pendukung dari suatu himpunan kabur A

  ~

  

Pend( A ), adalah himpunan tegas yang memuat semua unsur dari semesta yang

  ~

  ~ Pend A = x ∈ X | ( ) x > .

  ( ) { μ } _A Contoh 2.1.5:

  ~ Untuk himpunan kabur A dalam contoh 2.1.4,

  ~

  Pend A

  4 , 3 , 2 , 1 , , 1 , 2 , 3 , 4 . = { − − − − }

  ( )

2. Fungsi Keanggotaan

  Himpunan kabur dapat dinyatakan dengan fungsi keanggotaan. Ada 2 cara untuk menyatakannya, yaitu: a. Untuk semesta diskret

  Untuk semesta diskret digunakan cara daftar, yaitu daftar anggota- anggota semesta bersama dengan derajat keanggotaannya. Contohnya, dalam semesta X = {Adi, Dodo, Mini, Mumu, Lala} yang terdiri dari orang- orang berturut-turut dengan umur 50, 25, 35, 15, dan 20. Himpunan kabur

  ~ = “himpunan umur” dapat dinyatakan dengan cara daftar sebagai berikut:

  A

  ~ + + + + A = 0.5/Adi 0.25/Dodo 0.35/Mini 0.15/Mumu 0.2/Lala .

  b. Untuk semesta kontinu Untuk semesta kontinu digunakan cara analitik untuk mempresentasi- kan fungsi keanggotaan himpunan kabur yang bersangkutan dalam bentuk

  ~ formula matematis yang dapat disajikan dalam bentuk grafik. Misalnya A ~ adalah himpunan kabur “bilangan real yang dekat dengan 0”. Maka A dapat disajikan dengan

  ∫ ∈ −

  ~ ~

  ( ) _A x ~

  1 X

  μ yang grafiknya sebagai berikut:

  _A x

  1 ~ x x x x

  1 1 - untuk

  ≤ ≤ + = lainnya untuk 1 untuk

  ( ) ⎪ ⎩ ⎪ ⎨ ⎧ ≤ ≤ −

  = “bilangan real yang dekat dengan 0” itu dapat pula dinyatakan dengan menggunakan fungsi keanggotaan sebagai berikut

  Himpunan kabur A ~

  = = − _{A A} μ μ .

  1

  = _{X x} ^x

  1

  ( ) ( ) 37 .

  μ , sedangkan -1 dan 1 mempunyai derajat keanggotaan 0.37, yaitu

  1 ~ = _A

  ( )

  Bilangan 0 mempunyai derajat keanggotaan penuh sama dengan 1, yaitu

  Grafik fungsi keanggotaan himpunan kabur “bilangan real yang dekat dengan 0”

  = μ adalah fungsi keanggotaan A ~ yang dapat digambarkan dalam bentuk grafik sebagai berikut Gambar 2.1.1.

  −

  ~ ^x _A e x

  ~ ² di mana ( ) ²

  A x e /

  μ

• 1

  ∈

  μ

  ( ) x _A ~

  1 X

  b c x c b x a a b a x Segitiga c b a x

  , , ; c x b

  = lainnya untuk untuk untuk

  ≤ ≤ − −

  ≤ ≤ − −

  ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎨ ⎧

  ( )

  ( ) Segitiga c b a x , , ; dengan aturan:

  , dan dinyatakan dengan

  , c b a , dengan c b a < <

  Suatu fungsi keanggotaan himpunan kabur disebut fungsi keanggotaan segi- tiga jika mempunyai tiga buah parameter, yaitu R

  Gambar 2.1.2.

  Definisi 2.1.6:

  Kebanyakan himpunan kabur berada dalam semesta himpunan semua bila- ngan real R dengan fungsi keanggotaan yang dinyatakan dalam bentuk suatu for- mula matematis. Berikut beberapa fungsi keanggotaan himpunan kabur macam itu yang sering digunakan: a. Fungsi Keanggotaan Segitiga

  = = − _{A A} μ μ .

  1 ~ 1 ~

  ( ) ( )

  = = − _{A A} μ μ ,

  ~ ~

  1 5 .

  5 .

  = _A μ , ( ) ( ) 5 .

  ~

  1

  Dengan fungsi keanggotaan ini, ( )

  Grafik fungsi keanggotaan himpunan kabur “bilangan real yang dekat dengan 0”

  1 Fungsi keanggotaan tersebut juga dapat dinyatakan dengan formula sebagai berikut: ⎛ x − a c − x ⎞

  ⎛ ⎞

  

Segitiga x ; a , b , c = max min , ,

( ) ⎜ ⎟

  ⎜⎜ ⎟⎟

  b − a c − b

  ⎝ ⎠ ⎝ ⎠

  Gambar berikut memperlihatkan fungsi keanggotaan Segitiga ( x ;

  2 , 4 , 12 ) .

  ~ x

  μ ( ) _A

  1 0 2 4 12 R

  12 ( )

Gambar 2.1.3. Fungsi keanggotaan Segitiga x ; 2 , 4 ,

  b. Fungsi Keanggotaan Trapesium

  Definisi 2.1.7:

  Suatu fungsi keanggotaan himpunan kabur disebut fungsi keanggotaan trapesium jika mempunyai empat buah parameter, yaitu a , b , c , d dengan ∈

  R

  a < b < c < d , dan dinyatakan dengan Trapesium x ; a , b , c , d dengan aturan: ( ) x − a

  ⎧ untuk

  a ≤ x ≤ b

  ⎪

  b − a

  ⎪⎪ 1 untuk b ≤ x ≤ c

  Trapesium ( x ; a , b , c , d ) =

  ⎨

  c − x

  ⎪ untuk

  c ≤ x ≤ d c − b

  ⎪ ⎪ untuk lainnya ⎩ Fungsi keanggotaan tersebut juga dapat dinyatakan dengan formula sebagai berikut: ⎛ x − a d − x ⎞

  ⎛ ⎞

  Trapesium x ; a , b , c , d = max min ,

  1 , ,

  ( ) ⎜ ⎟

  ⎜⎜ ⎟⎟

  b − a d − c

  ⎝ ⎠ ⎝ ⎠

  Gambar berikut memperlihatkan fungsi keanggotaan Trapesium ( x ;

  2 , 4 , 7 , 13 ) .

  ~

  μ ( ) x _A

  1 0 2 4 7 13 R

  13 ( )

Gambar 2.1.4. Fungsi keanggotaan Trapesium x ; 2 , 4 , 7 ,

3. Operasi Baku pada Himpunan Kabur

  Seperti halnya pada himpunan tegas, dapat didefinisikan operasi baku pada himpunan kabur sebagai berikut: a. Komplemen

  Definisi 2.1.8: