Arif Sutikno, S.Kom, M.Kom, Yudhistiro Pandu Widhoyoko, S.S, M.Pd ABSTRAK - PENYUSUNAN JADWAL KULIAH DENGAN ALGORITMA PEWARNAAN PADA PROGRAM STUDI PENDIDIKAN TEKNOLOGI INFORMASI UNIVERSITAS SLAMET RIYADI
PENYUSUNAN JADWAL KULIAH DENGAN ALGORITMA PEWARNAAN PADA
PROGRAM STUDI PENDIDIKAN TEKNOLOGI INFORMASI
UNIVERSITAS SLAMET RIYADI
oleh
Arif Sutikno, S.Kom, M.Kom, Yudhistiro Pandu Widhoyoko, S.S, M.Pd
ABSTRAK
Tujuan penelitian ini adalah
untuk mengaplikasikan algoritma pewarnaan
graf
pada penjadwalan di Program Studi Pendidikan Teknologi Informasi UNISRI Surakarta
. Metode penelitian yang digunakan adalah studi literatur. Setelah data diperoleh dari
literatur, selanjutnya dianalisis untuk mengetahui algoritma pewarnaan graf pada
penjadwalan di Program Studi Pendidikan Teknologi Informasi UNISRI Surakarta.
Kesimpulan dari penelitian ini adalah algoritma pewarnaan dapat diaplikasikan pada
penjadwalan perkuliahan di Program Studi Pendidikan Teknologi Informasi UNISRI
Surakarta. Pada penelitian ini hanya diambil satu semester sebagai sampel, yaitu
semester gasal. Dalam pewarnaan grafnya harus memperhatikan beberapa komponenkomponen penting yang berhubungan erat dengan penjadwalan perkuliahan, antara
lain banyaknya tingkatan semester, banyaknya kelas, banyaknya matakuliah, dan
banyaknya waktu yang tersedia dalam perkuliahan (hari dan jam matakuliah).
Kata kunci: Algoritma Pewarnaan Graf, Penjadwalan Perkuliahan
PENDAHULUAN
kuliah harus dilakukan penjadwalan
A. Latar Belakang Masalah
Pada
setiap
awal
ulang
semester
dikarenakan
bersangkutan
sudah
dosen
mengajar
yang
di
merupakan
program studi yang lain pada waktu
pekerjaan yang harus dilakukan dalam
yang sama atau ruangan sudah terpakai
sistem akademik suatu perguruan tinggi.
oleh program studi yang lain. Hal ini
Pada kenyataannya, seringkali jadwal
menyebabkan
penjadwalan
Riset Fair 2017
kuliah
perkuliahan
di
awal
semester pada program studi berjalan
erat
tidak
waktu dan tempat.
sesuai
dengan
keadaan
real
dengan
permasalahan optimasi
Oleh
itu,
setelah jadwal dikeluarkan oleh karena
pembuatan
harus dilakukan penyusunan jadwal
kuliah
kembali. Selain itu, kesulitan dalam hal
beberapa iterasi perbaikan. Fungsinya
penyesuaian waktu yang masih kosong
adalah memenuhi sejumlah constraint
juga menjadi suatu kendala terutama
penjadwalan,
pada
terjadinya bentrok jadwal antar dosen
saat
mencari
jadwal
kuliah
sistem
karena
dilakukan
penjadwalan
dengan
seperti
melalui
menghindari
dan penggunaan ruang. Dalam kajian
pengganti atau kuliah tambahan.
Dalam melakukan penjadwalan
ilmu di Matematika Diskrit, teori graf
yang
memberi solusi untuk permasalahan ini
cukup rumit untuk dapat memetakan
melalui bahasannya tentang pewarnaan
sejumlah komponen penjadwalan (mata
graf.
kuliah,
diperlukan
pemikiran
kuliah, dosen, mahasiswa, ruang, dan
Pada teori graf dibuat model
waktu) ke dalam timeslot (matriks ruang
matematika untuk setiap himpunan dari
dan
sejumlah obyek diskrit, dimana beberapa
waktu)
dengan
mempertimbangkan semua batasan yang
pasangan
ada. Proses manual memerlukan waktu
tersebut terikat menurut suatu aturan
yang
dapat
tertentu. Obyek diskrit dari himpunan
melakukan hal ini dan memungkinkan
tersebut misalnya dapat berupa orang-
terjadinya pelanggaran constraint akibat
orang dengan aturan kenal, atau juga
cukup
lama
untuk
unsur
dari
himpunan
constraint
himpunan nama kota dengan aturan jalan
dalam penjadwalan menjadikan jadwal
yang menghubungkan antara kota satu
tidak valid dan harus direkonstruksi
ke kota yang lain. Saat ini teori graf
ulang. Jika kejadian seperti ini selalu
semakin
berulang tiap kali menghadapi semester
karena keunika n da n ba nya k
baru, maka sepatutnya permasalahan ini
li p ener a p a nnya .
mendapat
gr a f
adalah kesederhanaan pokok
solusinya demi peningkatan mutu sistem
bahasan
yang
akademik di Perguruan Tinggi.
dapat disajikan sebagai titik (vertex) dan
human
error.
Pelanggaran
prioritas
Penjadwalan
Riset Fair 2017
untuk
kuliah
dicari
terkait
berkembang
dan
menarik
Keu nika n
dipelajarinya,
seka
t eor i
karena
sisi (edge). Pewarnaan titik pada graf
adalah
pemberian
secara
jitu
sehingga
dapat
warna untuk setiap titik pada graf
diimplementasikan untuk penjadwalan
sehingga
kuliah.
tidak ada
dua
titik yang
terhubung langsung berwarna
sama.
Sedangkan pewarnaan sisi-k untuk G
TINJAUAN PUSTAKA
adalah p emberian k wa rna
A. Permutasi dan Kombinasi
pa da
Seperti
sisi-sisi G sedemikian hingga setiap dua
telah
sisi yang bertemu pada titik yang sama
sebelumnya
mendapatkan warna berbeda. Pewarnaan
penjadwalan kuliah disebabkan oleh
graf mempunyai penerapan yang cukup
pola
luas,
dilakukan
salah
satuya
adalah
bahwa
disebutkan
kontrak
permasalahan
mata
kuliah
mahasiswa.
yang
Hal
ini
Penjadwalan Perkuliahan di Program
merupakan
Studi Pendidikan Teknologi Informasi
kombinatorial
Unisri Surakarta. Dimana pada Prodi
penulusuran masalah secara matematis
Pendidikan Teknologi Informasi ada
agar
beberapa tingkatan semester, mulai
optimal. Pemahaman dimulai dari teori
semester
tentang permutasi dan kombinasi.
satu
delapan.
sampai
semester
permasalahan
hasil
yang
untuk memperoleh kemungkinan waktu
urutan
dan
efisien.
objek- objek.
kuliah
bentuk
Bagaimana
yang
mengatur
paling
jadwal
berbeda
dibutuhkan
didapatkan
Permutasi
Tujuan penjadwalan adalah
tempat
sehingga
adalah
lebih
jumlah
dari
pengaturan
Permutasi
merupakan
khusus
aplikasi
untuk beberapa semester yang ada agar
perkalian.
waktu yang diperlukan dan tempat yang
adalah n, maka urutan pertama dipilih
digunakan untuk kuliah tida k s a ling t
dari n objek, urutan kedua dipilih dari
ump a ng t indih. Sela in it u ju ga ,
n - 1 objek, urutan ketiga dipilih dari n -
bagaimana agar jadwal yang ada tidak
2 objek, begitu seterusnya, dan urutan
melebihi dari waktu atau jam kuliah
terakhir dipilih dari 1 objek yang
yang telah ditetapkan. Pembangunan
tersisa.
sistem
permutasi dan n objek adalah n(n - 1)(n
penjadwalan
menerapkan
teori
kuliah
yang
ini diharapkan
mampu menjawab permasalahan ini
Riset Fair 2017
Misalkan
aturan
Menurut
jumlah
kaidah
objek
perkalian,
– 2) … (2)(1) = n!
Adapun jumlah susunan berbeda dari
pemilihan r objek yang diambil dan n
dengan
memberikan
warna
objek disebut permutasi-r, dilambangkan
elemen graf yang akan dijadikan subjek
dengan P(n,r), yaitu
dalam
memahami
P(n, r) = n (n – 1)(n – 2) … (n –
permasalahan.
(r – 1)) = n!(n – r)!
persoalan
Ada
yaitu
constraint
tiga
pewarnaan
pada
macam
graf
(graph
pewarnaan
simpul,
Kombinasi merupakan bentuk khusus
colouring),
dari
pewarnaan sisi, dan pewarnaan wilayah
permutasi.
mengabaikan
Dalam
kasus
kombinasi
mungkin
memilih
Kombinasi
urutan
kemunculan.
penjadwalan
merupakan
terjadi
untuk
kuliah,
variasi
ketika
yang
mahasiswa
mengontrak
(region).
Paper
ini
hanya
akan
membahas pewarnaan untuk elemen
graf
yang
paling
sederhana
yaitu
pewarnaan simpul graf.
mata
kuliah pada semester tertentu. Jumlah
mata kuliah yang ditawarkan Program
1 Definisi Pewarnaan Simpul Graf
Pewarnaan simpul adalah memberi
Studi sebanyak n objek dan jumlah
warna
mata kuliah yang dikontrak dengan
dalam
graf
batasan SKS tertertu adalah
setiap
dua
r objek.
pada
simpul-simpul
sedemikian
simpul
di
sehingga
bertetangga
mempunyai warna yang berbeda [1].
Rumus kombinasi-r adalah
C (n,r) = n!
Contoh
r! (n – r)!
merepresentasikan permasalahan ini
B. Pewarnaan Graf
kasus
yang
diantaranya adalah penjadwalan ujian
Teori Graf merupakan salah satu
mata kuliah.
bahasan dalam Matematika Diskrit yang
2. Studi Kasus Penjadwalan Ujian Mata
menarik
Kuliah
untuk
dibahas
karena
berkaitan dengan permasalahan yang
Misal, terdapat 10 mahasiswa
banyak ditemui di dunia nyata. Dalam
yang mengontrak 6
teori graf, pewarnaan graf merupakan
dengan kombinasi berbeda, seperti
suatu bentuk pelabelan graf, yaitu
pada tabel di berikut ini:
Riset Fair 2017
mata kuliah
Variasi
dikontrak
mata
kuliah
oleh
yang
berikut:
mahasiswa
dimodelkan secara matematis dalam
bentuk graf. Mata kuliah disimbolkan
di dalam graf berupa simpul yang
merupakan subject dari constraint
yang
akan
constraint
dipenuhi.
Adapun
yang dimaksud adalah
syarat bahwa jadwal ujian mata
kuliah yang diselenggarakan
tidak
boleh berbentrokan agar mahasiswa
dapat mengikuti seluruh ujian dari
mata
kuliah
yang
dikontraknya.
Berikut ini adalah representasi graf
yang terbentuk dari tabel di atas.
Berdasarkan gambar di atas, terdapat
tiga warna berbeda untuk 6 simpul
mata kuliah.
Pewarnaan tersebut
memiliki arti bahwa mata kuliah
(simpul) dengan warna yang sama
dapat menyelenggarakan ujian dalam
waktu bersamaan (bisa di ruang
berbeda) dan dapat dipastikan bahwa
mahasiswa yang mengikuti ujian
tersebut
tidak
memiliki
jadwal
ujian mata kuliah lain pada waktu
yang
sama.
Solusi
inilah
yang
menjadikan teori pewarnaan graf
banyak
Dengan menerapkan teori pewarnaan
simpul graf, hasilnya adalah sebagai
Riset Fair 2017
berbagai
diimplementasikan
kasus
pada
scheduling
(penjadwalan), yaitu mengefektifkan
untuk ujian enam mata kuliah di atas
waktu untuk banyak keperluan dan
ada sebanyak tiga slot waktu dengan
jumlah resource yang terbatas.
dua buah ruangan.
4 Algoritma Pewarnaan Graf
3 Bilangan Kromatik
Penyelesaian
kasus
Untuk dapat melakukan pewarnaan graf,
penjadwalan pada hakikatnya adalah
ada
berupaya
mengalokasikan
digunakan. Dalam tulisannya, Hussein
sejumlah aktifitas yang mengandung
Al-Omari & Khair Eddin Sabri tahun
constraint atau batasan ke dalam
2006 menyebutkan beberapa algoritma
timeslot (matriks ruang dan waktu).
yang
Jumlah timeslot yang tersedia juga
berikut:
untuk
memiliki batasan, baik berupa jumlah
ruang,
maupun
waktu
beberapa
telah
algoritma
banyak
yang
dikenal
bisa
sebagai
a. First Fit (FF)
Algoritma
ini
adalah
penggunaannya. Oleh karena itu,
yang
penjadwalan
haruslah
Prinsipnya adalah mewarnai setiap
sejumlah
simpul graf dengan warna yang
keterbatasan resource atau sumber
tidak akan diubah lagi. Algoritma
daya yang ada agar seluruh aktifitas
ini
dapat
tanpa
diimplementasikan dan juga sangat
constraint-nya.
cepat, namun memiliki probabilitas
Pewarnaan graf mengakomodasi hal
besar untuk menghasilkan jumlah
tersebut dengan bilangan kromatik.
warna
dapat
yang
baik
menyesuaikan
tetap
terlaksana
melanggar
Bilangan Kromatik Graf G (χ(G))
termudah
sangat
yang
dan
algoritma
mudah
melebihi
tercepat.
untuk
bilangan
kromatiknya.
adalah jumlah warna minimum yang
Kompleksitas waktu asimtotik dari
dapat digunakan untuk mewarnai
algoritma ini adalah O(n).
simpul (verteks/ V). Pada contoh
b. Largest Degree Ordering (LDO)
dapat
Algoritma ini merupakan algoritma
diwarnai dengan tiga warna artinya
yang prinsipnya berdasarkan pada
jumlah bilangan kromatik dari graf
nilai derajat dari setiap simpul.
tersebut adalah 3. Dengan demikian,
Simpul yang memiliki derajat yang
slot waktu yang dapat digunakan
lebih tinggi diwarnai lebih dulu.
sebelumnya,
Riset Fair 2017
simpul
graf
Algoritma ini memberikan hasil
yang lebih banyak bertetanggaan
yang lebih baik daripada algoritma
dengan simpul yang telah diwarnai
first fit.
akan
Kompleksitas waktu asimtotik dari
Algoritma
algoritma ini adalah O(n2).
modifikasi
dari
Algoritma
ini
c. Saturated Degree Ordering (SDO)
Algoritma ini berprinsipkan pada
jumlah warna berlainan yang ada
pada
tetangga-tetangga
sebuah
simpul.
bertetanggaan
Simpul
dari
yang
dengan simpul-
diwarnai
lebih
ini
dulu.
merupakan
algoritma SDO.
dapat
dieksekusi
dalam waktu yang lebih cepat,
tetapi
hasilnya
algoritma
tidak
SDO.
sebaik
Kompleksitas
waktu asimtotik dari algoritma ini
adalah O(n2).
simpul yang memiliki lebih banyak
Berikut
aneka warna akan diwarnai lebih
menggambarkan jumlah warna yang
dulu. Algoritma ini memberikan
dihasilkan
hasil yang lebih baik daripada
Kepadatan adalah perbandingan dari
algoritma
jumlah sisi (vertex) yang ada terhadap
LDO.
Kompleksitas
waktu asimtotik dari algoritma ini
adalah O(n3).
d. Incident Degree Ordering (IDO)
Algoritma ini berprinsipkan pada
jumlah simpul tetangga yang telah
diwarnai dari suatu simpul. Simpul
Riset Fair 2017
ini
adalah
dari
setiap
tabel
yang
algoritma.
jumlah sisi dari graf lengkapnya.
1. Algoritma Welch-Powell
(yang mempunyai derajat
Welch-Powell
tertinggi) dan simpul-simpul
merupakan salah satu algoritma
lain (dalam urutan yang
pewarnaan graf yang melakukan
berurut)
pewarnaan berdasarkan derajat
bertetanga dengan simpul
tertinggi dari simpul-simpulnya
pertama ini.
Algoritma
atau
disebut
Largest
(LDO).
Ordering
Degree
Berikut
yang
tidak
3. Mulai lagi dengan simpul
berderajat
tertinggi
berikutnya di dalam daftar
algoritmanya:
terurut yang belum diwarnai
1. Urutkan simpul-simpul dari
dan
ulangi
proses
yang
pewarnaan simpul dengan
menurun (urutan seperti ini
menggunakan warna kedua
mungkin tidak unik karena
4. Ulangi penggunaan warna-
G
dalam
beberapa
derajat
simpul
mungkinberderajat sama).
2. Gunakan satu warna untuk
mewarnai simpul pertama
Riset Fair 2017
warna sampai semua simpul
telah
diwarnai.
Algoritma
Flowchart
Welch-Powell
adalah sebagai berikut:
Dari contoh kasus sebelumnya, daftar simpul graf dan ketetanggaannya adalah
sebagai berikut:
Dengan algoritmaWelch-Powell, hasil yang didapatkan adalah:
Riset Fair 2017
Algoritma
Welch-Powell
semester I, III, V, dan VII. Pada semester
dapat digunakan untuk mewarnai
genap yaitu semester II, IV, VI, dan VIII.
sebuah graf G secara
Algoritma
ini
memberikan
efisien.
tidak
jumlah
selalu
warna
Karena banyaknya tingkatan semester
dan
terbatasnya
ruang
perkuliahan,
sedangkan hari efektif perkulia han
adalah
Senin hingga Kamis, maka
minimum yang diperlukan untuk
diperlukan penjadwalan yang paten
mewarnai
atau
G,
namun
cukup
konsisten
agar
tidak
terjadi
praktis untuk digunakan dalam
tumpang tindih ruang ataupun waktu
pewarnaan simpul sebuah graf.
dalam proses perkuliahan.
Penjadwalan
Algoritma Welch-Powell hanya
cocok
digunakan
untuk
graf
dilakukan
dengan
kuliah
terlebih
tersebut
dahulu
mengekspresikan seluruh obyek atau
dengan orde yang kecil [3].
komponen yang ada dalam bentuk graf.
a.
PEMBAHASAN
Tingkatan Semester, Banyaknya
GAMBAR GRAF PENJADWALAN
Hari dan Banyaknya Ruang Kuliah
Pada Program Studi Pendidikan
Teknologi
Informasi,
terdapat
dua
semester dalam tiap tahunnya, yaitu
semester
gasal
dan
genap.
Untuk
masing-masing tingkatan yang masih
aktif melakukan perkuliahan ada empat
tingkatan, pada semester gasal yaitu
Riset Fair 2017
Graf antara Banyaknya
Contoh graf antara banyaknya
tingkatan semester, banyaknya hari
dan banyaknya ruang kuliah adalah
sebagai berikut:
Gbr. 1. Graf antara Banyaknya Tingkatan Semester, Banyaknya Hari, dan
Banyaknya Ruang Kuliah
Dari gambar graf di atas,
ewarnaan
tersebut
dicari
semester
bilangan kromatiknya, yaitu b a
mempunyai jadwal kuliah mulai hari
nya knya wa r na minimu m ya
Senin
Kamis.
ng
ruang
mewarnai sisi.
untuk
masingsampai
Demikian
pula
masing
dengan
dengan
perkuliahan,
masing-masing
da p a t digunakan untuk
P enja dwa la n dia mb il ha
semester mempunyai ruang kuliah
nya
di Multimedia, Kuliah PTI dan Lab
Berdasarkan
PTI. Jika dua sisinya bertemu pada
dapat
titik yang sama, maka perkuliahan
terdapat dua sisi bertemu pada titik
tidak
yang sama, maka kuliah tidak dapat
dapat
dilakukan
secara
serempak atau bersama- sama.
ya itu
p
yaitu pemberian warna pada sisisisi suatu graf sedemikian hingga
setiap dua sisi yang bertemu pada
titik yang sama mendapatkan warna
Riset Fair 2017
Kemu dian
graf pada gambar 1
dikatakan
bahwa
apabila
dapat diberikan pada sisi
ewa rna a n s is i. Pewarnaan sisi
berbeda.
gasal.
sama. Warna-warna yang berbeda
Pewarnaan yang digunakan pada
ini
semester
dilakukan pada hari dan ruang yang
b. Pewarnaan Graf dalam
Penjadwalan
graf penja dwa lan
u nt u k
dari
p
graf
yang menunjukkan ba hwa ja
dwal kuliahnya tidak bersamaan
pada hari dan tempat yang sama.
Diinginkan jadwal kuliah seefisien
mungkin
untuk
pelaksanaannya.
ditentukan
grafnya.
memudahkan
Jadi
bilangan
Jadi
gambar
adalah seperti berikut:
harus
kromatik
grafnya
Gbr. 2. Pewarnaan sisi Graf antara Banyaknya Tingkatan Semester, Banyaknya Hari
dan Banyaknya Ruang Kuliah
Gbr. 3.Pewarnaan sisiGraf Smt Gasal Hari Senin
Jadi minimal bisa diwarnai
dengan
tiga
warna
bilangan
kromatiknya
sehingga
(G)
=
3.
Warna 1 untuk (I, Multimedia), (III, Lab
PTI) dan(V, Kuliah PTI) Warna2 untuk(I,
Kuliah PTI), (III, Multimedia) dan (VII,
Warna yang berbeda menyatakan
bahwa
waktu
kuliah
bisa
dilaksanakan di hari yang sama,
yaitu:
Riset Fair 2017
Lab PTI) Warna 3 untuk (V, Lab PTI)
dan (VII, Kuliah PTI)
Gbr. 4.Pewarnaan sisiGraf Smt Gasal Hari Selasa
Jadi minimal bisa diwarnai
dengan
tiga
warna
bilangan
kromatiknya
sehingga
(G)
=
4.
Warna yang berbeda menyatakan
bahwa
waktu
kuliah
bisa
Warna 1 untuk (I, Multimedia), (III,
Kuliah PTI) dan (V, Lab PTI), Warna 2
untuk (I, Kuliah PTI), dan (VII, Lab PTI),
Warna 3 untuk (I, Lab PTI) , (III,
dilaksanakan di hari yang sama,
Multimedia) dan (VII, Kuliah PTI) dan
yaitu:
Warna 4 untuk (V, Kuliah PTI)
Gbr. 5.Pewarnaan sisiGraf Smt Gasal Hari Rabu
Jadi minimal bisa diwarnai
dengan
bilangan
empat
warna
kromatiknya
sehingga
(G)
=
4.
Warna 1 untuk (I, Multimedia), (III,
Kuliah PTI) dan (V, Lab PTI), Warna 2
untuk (I, Kuliah PTI), dan (VII, Lab PTI),
Warna yang berbeda menyatakan
bahwa
waktu
kuliah
bisa
dilaksanakan di hari yang sama,
yaitu:
Riset Fair 2017
Warna 3 untuk (I, Lab PTI) , (III,
Multimedia) dan (VII, Kuliah PTI)
Gbr. 5.Pewarnaan sisiGraf Smt Gasal Hari Kamis
untuk (V, Multimedia) dan (VII, Kuliah
Jadi minimal bisa diwarnai
dengan
tiga
warna
bilangan
kromatiknya
sehingga
(G)
=
PTI)
3.
Pewarnaan sisi berdasarkan jam
Warna yang berbeda menyatakan
bahwa
waktu
kuliah
matakuliah
bisa
pada
masing-masing
gambar graf di atas yaitu setiap sisinya
dilaksanakan di hari yang sama,
tidak mempunyai hubungan dengan sisi
yaitu:
yang lain. Dengan demikian cukup
Warna 1untuk(I,Multimedia),(V,Kuliah
diwarnai
PTI) dan(VII, Lab PTI), Warna2 untuk(I,
dengan
satu
warna
saja,
sehingga = 1
Lab PTI) dan (III,Multimedia) Warna 3
08.00 – 10.30
10.30 -13.00
13.00 – 15.30
15.30 – 18.00
Senin
(I,Multimedia),
(III,Lab PTI)
dan(V, Kuliah
PTI)
(I,Kuliah PTI),
(III,Multimedia)
dan(VII,Lab
PTI)
(V, Lab PTI)
dan (VII,
Kuliah PTI)
Selasa
(I,Multimedia),
(III,Kuliah PTI)
dan(V, Lab
PTI),
(I,Kuliah PTI),
dan(VII,Lab
PTI),
Rabu
(I,Multimedia),(III,
Kuliah PTI) (V, Lab
PTI),
(I,Kuliah PTI),dan
(VII,Lab PTI),
Kamis
(I,Multimedia),
(V,Kuliah PTI)
dan(VII, Lab
PTI)
I,Lab PTI) dan
(III,Multimedia)
(I, Lab PTI) , (III,
Multimedia),
(VII, Kuliah
PTI)
(V, Kuliah PTI)
(I, Lab PTI) , (III,
Multimedia) dan
(VII, Kuliah PTI)
(V, Multimedia)
dan (VII, Kuliah
PTI)
Dari hasil pewarnaan graf antara
dengan membagi pewarnaan tersebut
banyaknya tingkatan semester, banyak
dari pewarnaan dalam satu minggu
hari, dan banyaknya ruang kuliah yaitu
menjadi pewarnaan harian
Riset Fair 2017
hingga
p
ewa r na a n
b er da s a r ka n
ja m
penting yang berhubungan erat dengan
matakuliah, maka bilangan kromatik
penjadwalan
kuliah,
yang
Hal
banyaknya
tingkatan
tersebut karena derajat titik graf akan
banyaknya
semakin ber kur ang, di ma na banya
matakuliah, dan banyaknya waktu yang
knya
atau
tersedia dalam perkuliahan (hari dan
bilangan kromatik graf bipartit adalah
jam matakuliah).Pewarnaan graf di atas
derajat terbesar titik yang dimiliki oleh
yaitu
graf,
tingkatan semester, banyak hari, dan
diperoleh
semakin
minimum
kecil.
pewarnaan
sebagaimana
yang
telah
antara
kelas,
lain
semester,
banyaknya
pewarnaan antara
banyaknya
dijelaskan dalam teorema Konig.Pada
banyaknya
semester gasal, dalam seminggu hanya
pewarnaan grafnya diperoleh bilangan
terpakai selama empat hari dari hari
kromatik yang semakin kecil.
Senin sampai dengan Kamis untuk
perkuliahan.
Masing-masing
jam
perkuliahan hampir semua penuh.
Pada
ruang
kuliah.
semester
gasal,
Hasil
dalam
seminggu hanya terpakai selama lima
hari yakni hari Senin sampai dengan
Dengan demikian, jadwal yang
Kamis
untuk
perkuliahan.
Masing-
terbentuk dari hasil pewarnaan graf
masing jam perkuliahan hampir semua
adalah empat hari aktif dalam seminggu
penuh.
terpakai
perkuliahan
Dari hasil pewarnaan tersebut dapat
mahasiswa Prodi Pendidikan Teknologi
diambil kesimpulan bahwa minimal ada
Informasi UNISRI Surakarta.
tiga ruang kelas untuk perkuliahan,
untuk
jam
dengan empat hari perkuliahan (Senin-
SIMPULAN
Dalam pewarnaan graf
memperhatikan
beberapa
harus
komponen
Kamis) dimulai dari pukul 08.00-18.00
WIB
DAFTAR PUSTAKA
Astuti, Setia. 2011. Penyusunan Jadwal Ujian Mata Kuliah dengan Algoritma
Pewarnaan Graf Welch-Powell. Jurnal Dian Vol.11 No.1 Januari 2011.
Budayasa, Ketut. 2007. Teori Graph dan Aplikasinya. Surabaya : UNESA.
Depdikbud. 1991. Kamus Besar Bahasa Indonesia. Jakarta : Balai Pustaka.
Riset Fair 2017
Goodaire, E.G dan M. M. Parmenter. 1998. Discrete Mathematics with Graph
Theory. NewJersey : Prentice-Hall.
Jusuf, Heni. 2009. Pewarnaan Graph Pada Simpul Untuk Mendeteksi Konflik
Penjadwalan Kuliah. Seminar Nasional Aplikasi Teknologi Informasi 2009.
ISSN:1907-5022.
Lipschutz, Seymour dan Marc Lars Lipson. 2002. Matematika Diskrit Jilid 2.
McGraw-Hill. Munir, Rinaldi. 2001. Matematika Diskrit. Bandung :
Informatika Bandung.
Seputro, Theresia M.H. 1992. Teori Graf. Surabaya : University Press IKIP Surabaya.
Syadid, M. 2005. Penjadwalan Perkuliahan Menggunakan Algoritme Genetika. Bogor :
Institut Pertanian Bogor
Wibisono, Samuel. 2008. Matematika Diskrit Edisi 2. Yogyakarta :
Graha Ilmu. Saondi, Ondi. 2003. Teori Graf. Bandung : Rumah
Buku Press.
Riset Fair 2017
PROGRAM STUDI PENDIDIKAN TEKNOLOGI INFORMASI
UNIVERSITAS SLAMET RIYADI
oleh
Arif Sutikno, S.Kom, M.Kom, Yudhistiro Pandu Widhoyoko, S.S, M.Pd
ABSTRAK
Tujuan penelitian ini adalah
untuk mengaplikasikan algoritma pewarnaan
graf
pada penjadwalan di Program Studi Pendidikan Teknologi Informasi UNISRI Surakarta
. Metode penelitian yang digunakan adalah studi literatur. Setelah data diperoleh dari
literatur, selanjutnya dianalisis untuk mengetahui algoritma pewarnaan graf pada
penjadwalan di Program Studi Pendidikan Teknologi Informasi UNISRI Surakarta.
Kesimpulan dari penelitian ini adalah algoritma pewarnaan dapat diaplikasikan pada
penjadwalan perkuliahan di Program Studi Pendidikan Teknologi Informasi UNISRI
Surakarta. Pada penelitian ini hanya diambil satu semester sebagai sampel, yaitu
semester gasal. Dalam pewarnaan grafnya harus memperhatikan beberapa komponenkomponen penting yang berhubungan erat dengan penjadwalan perkuliahan, antara
lain banyaknya tingkatan semester, banyaknya kelas, banyaknya matakuliah, dan
banyaknya waktu yang tersedia dalam perkuliahan (hari dan jam matakuliah).
Kata kunci: Algoritma Pewarnaan Graf, Penjadwalan Perkuliahan
PENDAHULUAN
kuliah harus dilakukan penjadwalan
A. Latar Belakang Masalah
Pada
setiap
awal
ulang
semester
dikarenakan
bersangkutan
sudah
dosen
mengajar
yang
di
merupakan
program studi yang lain pada waktu
pekerjaan yang harus dilakukan dalam
yang sama atau ruangan sudah terpakai
sistem akademik suatu perguruan tinggi.
oleh program studi yang lain. Hal ini
Pada kenyataannya, seringkali jadwal
menyebabkan
penjadwalan
Riset Fair 2017
kuliah
perkuliahan
di
awal
semester pada program studi berjalan
erat
tidak
waktu dan tempat.
sesuai
dengan
keadaan
real
dengan
permasalahan optimasi
Oleh
itu,
setelah jadwal dikeluarkan oleh karena
pembuatan
harus dilakukan penyusunan jadwal
kuliah
kembali. Selain itu, kesulitan dalam hal
beberapa iterasi perbaikan. Fungsinya
penyesuaian waktu yang masih kosong
adalah memenuhi sejumlah constraint
juga menjadi suatu kendala terutama
penjadwalan,
pada
terjadinya bentrok jadwal antar dosen
saat
mencari
jadwal
kuliah
sistem
karena
dilakukan
penjadwalan
dengan
seperti
melalui
menghindari
dan penggunaan ruang. Dalam kajian
pengganti atau kuliah tambahan.
Dalam melakukan penjadwalan
ilmu di Matematika Diskrit, teori graf
yang
memberi solusi untuk permasalahan ini
cukup rumit untuk dapat memetakan
melalui bahasannya tentang pewarnaan
sejumlah komponen penjadwalan (mata
graf.
kuliah,
diperlukan
pemikiran
kuliah, dosen, mahasiswa, ruang, dan
Pada teori graf dibuat model
waktu) ke dalam timeslot (matriks ruang
matematika untuk setiap himpunan dari
dan
sejumlah obyek diskrit, dimana beberapa
waktu)
dengan
mempertimbangkan semua batasan yang
pasangan
ada. Proses manual memerlukan waktu
tersebut terikat menurut suatu aturan
yang
dapat
tertentu. Obyek diskrit dari himpunan
melakukan hal ini dan memungkinkan
tersebut misalnya dapat berupa orang-
terjadinya pelanggaran constraint akibat
orang dengan aturan kenal, atau juga
cukup
lama
untuk
unsur
dari
himpunan
constraint
himpunan nama kota dengan aturan jalan
dalam penjadwalan menjadikan jadwal
yang menghubungkan antara kota satu
tidak valid dan harus direkonstruksi
ke kota yang lain. Saat ini teori graf
ulang. Jika kejadian seperti ini selalu
semakin
berulang tiap kali menghadapi semester
karena keunika n da n ba nya k
baru, maka sepatutnya permasalahan ini
li p ener a p a nnya .
mendapat
gr a f
adalah kesederhanaan pokok
solusinya demi peningkatan mutu sistem
bahasan
yang
akademik di Perguruan Tinggi.
dapat disajikan sebagai titik (vertex) dan
human
error.
Pelanggaran
prioritas
Penjadwalan
Riset Fair 2017
untuk
kuliah
dicari
terkait
berkembang
dan
menarik
Keu nika n
dipelajarinya,
seka
t eor i
karena
sisi (edge). Pewarnaan titik pada graf
adalah
pemberian
secara
jitu
sehingga
dapat
warna untuk setiap titik pada graf
diimplementasikan untuk penjadwalan
sehingga
kuliah.
tidak ada
dua
titik yang
terhubung langsung berwarna
sama.
Sedangkan pewarnaan sisi-k untuk G
TINJAUAN PUSTAKA
adalah p emberian k wa rna
A. Permutasi dan Kombinasi
pa da
Seperti
sisi-sisi G sedemikian hingga setiap dua
telah
sisi yang bertemu pada titik yang sama
sebelumnya
mendapatkan warna berbeda. Pewarnaan
penjadwalan kuliah disebabkan oleh
graf mempunyai penerapan yang cukup
pola
luas,
dilakukan
salah
satuya
adalah
bahwa
disebutkan
kontrak
permasalahan
mata
kuliah
mahasiswa.
yang
Hal
ini
Penjadwalan Perkuliahan di Program
merupakan
Studi Pendidikan Teknologi Informasi
kombinatorial
Unisri Surakarta. Dimana pada Prodi
penulusuran masalah secara matematis
Pendidikan Teknologi Informasi ada
agar
beberapa tingkatan semester, mulai
optimal. Pemahaman dimulai dari teori
semester
tentang permutasi dan kombinasi.
satu
delapan.
sampai
semester
permasalahan
hasil
yang
untuk memperoleh kemungkinan waktu
urutan
dan
efisien.
objek- objek.
kuliah
bentuk
Bagaimana
yang
mengatur
paling
jadwal
berbeda
dibutuhkan
didapatkan
Permutasi
Tujuan penjadwalan adalah
tempat
sehingga
adalah
lebih
jumlah
dari
pengaturan
Permutasi
merupakan
khusus
aplikasi
untuk beberapa semester yang ada agar
perkalian.
waktu yang diperlukan dan tempat yang
adalah n, maka urutan pertama dipilih
digunakan untuk kuliah tida k s a ling t
dari n objek, urutan kedua dipilih dari
ump a ng t indih. Sela in it u ju ga ,
n - 1 objek, urutan ketiga dipilih dari n -
bagaimana agar jadwal yang ada tidak
2 objek, begitu seterusnya, dan urutan
melebihi dari waktu atau jam kuliah
terakhir dipilih dari 1 objek yang
yang telah ditetapkan. Pembangunan
tersisa.
sistem
permutasi dan n objek adalah n(n - 1)(n
penjadwalan
menerapkan
teori
kuliah
yang
ini diharapkan
mampu menjawab permasalahan ini
Riset Fair 2017
Misalkan
aturan
Menurut
jumlah
kaidah
objek
perkalian,
– 2) … (2)(1) = n!
Adapun jumlah susunan berbeda dari
pemilihan r objek yang diambil dan n
dengan
memberikan
warna
objek disebut permutasi-r, dilambangkan
elemen graf yang akan dijadikan subjek
dengan P(n,r), yaitu
dalam
memahami
P(n, r) = n (n – 1)(n – 2) … (n –
permasalahan.
(r – 1)) = n!(n – r)!
persoalan
Ada
yaitu
constraint
tiga
pewarnaan
pada
macam
graf
(graph
pewarnaan
simpul,
Kombinasi merupakan bentuk khusus
colouring),
dari
pewarnaan sisi, dan pewarnaan wilayah
permutasi.
mengabaikan
Dalam
kasus
kombinasi
mungkin
memilih
Kombinasi
urutan
kemunculan.
penjadwalan
merupakan
terjadi
untuk
kuliah,
variasi
ketika
yang
mahasiswa
mengontrak
(region).
Paper
ini
hanya
akan
membahas pewarnaan untuk elemen
graf
yang
paling
sederhana
yaitu
pewarnaan simpul graf.
mata
kuliah pada semester tertentu. Jumlah
mata kuliah yang ditawarkan Program
1 Definisi Pewarnaan Simpul Graf
Pewarnaan simpul adalah memberi
Studi sebanyak n objek dan jumlah
warna
mata kuliah yang dikontrak dengan
dalam
graf
batasan SKS tertertu adalah
setiap
dua
r objek.
pada
simpul-simpul
sedemikian
simpul
di
sehingga
bertetangga
mempunyai warna yang berbeda [1].
Rumus kombinasi-r adalah
C (n,r) = n!
Contoh
r! (n – r)!
merepresentasikan permasalahan ini
B. Pewarnaan Graf
kasus
yang
diantaranya adalah penjadwalan ujian
Teori Graf merupakan salah satu
mata kuliah.
bahasan dalam Matematika Diskrit yang
2. Studi Kasus Penjadwalan Ujian Mata
menarik
Kuliah
untuk
dibahas
karena
berkaitan dengan permasalahan yang
Misal, terdapat 10 mahasiswa
banyak ditemui di dunia nyata. Dalam
yang mengontrak 6
teori graf, pewarnaan graf merupakan
dengan kombinasi berbeda, seperti
suatu bentuk pelabelan graf, yaitu
pada tabel di berikut ini:
Riset Fair 2017
mata kuliah
Variasi
dikontrak
mata
kuliah
oleh
yang
berikut:
mahasiswa
dimodelkan secara matematis dalam
bentuk graf. Mata kuliah disimbolkan
di dalam graf berupa simpul yang
merupakan subject dari constraint
yang
akan
constraint
dipenuhi.
Adapun
yang dimaksud adalah
syarat bahwa jadwal ujian mata
kuliah yang diselenggarakan
tidak
boleh berbentrokan agar mahasiswa
dapat mengikuti seluruh ujian dari
mata
kuliah
yang
dikontraknya.
Berikut ini adalah representasi graf
yang terbentuk dari tabel di atas.
Berdasarkan gambar di atas, terdapat
tiga warna berbeda untuk 6 simpul
mata kuliah.
Pewarnaan tersebut
memiliki arti bahwa mata kuliah
(simpul) dengan warna yang sama
dapat menyelenggarakan ujian dalam
waktu bersamaan (bisa di ruang
berbeda) dan dapat dipastikan bahwa
mahasiswa yang mengikuti ujian
tersebut
tidak
memiliki
jadwal
ujian mata kuliah lain pada waktu
yang
sama.
Solusi
inilah
yang
menjadikan teori pewarnaan graf
banyak
Dengan menerapkan teori pewarnaan
simpul graf, hasilnya adalah sebagai
Riset Fair 2017
berbagai
diimplementasikan
kasus
pada
scheduling
(penjadwalan), yaitu mengefektifkan
untuk ujian enam mata kuliah di atas
waktu untuk banyak keperluan dan
ada sebanyak tiga slot waktu dengan
jumlah resource yang terbatas.
dua buah ruangan.
4 Algoritma Pewarnaan Graf
3 Bilangan Kromatik
Penyelesaian
kasus
Untuk dapat melakukan pewarnaan graf,
penjadwalan pada hakikatnya adalah
ada
berupaya
mengalokasikan
digunakan. Dalam tulisannya, Hussein
sejumlah aktifitas yang mengandung
Al-Omari & Khair Eddin Sabri tahun
constraint atau batasan ke dalam
2006 menyebutkan beberapa algoritma
timeslot (matriks ruang dan waktu).
yang
Jumlah timeslot yang tersedia juga
berikut:
untuk
memiliki batasan, baik berupa jumlah
ruang,
maupun
waktu
beberapa
telah
algoritma
banyak
yang
dikenal
bisa
sebagai
a. First Fit (FF)
Algoritma
ini
adalah
penggunaannya. Oleh karena itu,
yang
penjadwalan
haruslah
Prinsipnya adalah mewarnai setiap
sejumlah
simpul graf dengan warna yang
keterbatasan resource atau sumber
tidak akan diubah lagi. Algoritma
daya yang ada agar seluruh aktifitas
ini
dapat
tanpa
diimplementasikan dan juga sangat
constraint-nya.
cepat, namun memiliki probabilitas
Pewarnaan graf mengakomodasi hal
besar untuk menghasilkan jumlah
tersebut dengan bilangan kromatik.
warna
dapat
yang
baik
menyesuaikan
tetap
terlaksana
melanggar
Bilangan Kromatik Graf G (χ(G))
termudah
sangat
yang
dan
algoritma
mudah
melebihi
tercepat.
untuk
bilangan
kromatiknya.
adalah jumlah warna minimum yang
Kompleksitas waktu asimtotik dari
dapat digunakan untuk mewarnai
algoritma ini adalah O(n).
simpul (verteks/ V). Pada contoh
b. Largest Degree Ordering (LDO)
dapat
Algoritma ini merupakan algoritma
diwarnai dengan tiga warna artinya
yang prinsipnya berdasarkan pada
jumlah bilangan kromatik dari graf
nilai derajat dari setiap simpul.
tersebut adalah 3. Dengan demikian,
Simpul yang memiliki derajat yang
slot waktu yang dapat digunakan
lebih tinggi diwarnai lebih dulu.
sebelumnya,
Riset Fair 2017
simpul
graf
Algoritma ini memberikan hasil
yang lebih banyak bertetanggaan
yang lebih baik daripada algoritma
dengan simpul yang telah diwarnai
first fit.
akan
Kompleksitas waktu asimtotik dari
Algoritma
algoritma ini adalah O(n2).
modifikasi
dari
Algoritma
ini
c. Saturated Degree Ordering (SDO)
Algoritma ini berprinsipkan pada
jumlah warna berlainan yang ada
pada
tetangga-tetangga
sebuah
simpul.
bertetanggaan
Simpul
dari
yang
dengan simpul-
diwarnai
lebih
ini
dulu.
merupakan
algoritma SDO.
dapat
dieksekusi
dalam waktu yang lebih cepat,
tetapi
hasilnya
algoritma
tidak
SDO.
sebaik
Kompleksitas
waktu asimtotik dari algoritma ini
adalah O(n2).
simpul yang memiliki lebih banyak
Berikut
aneka warna akan diwarnai lebih
menggambarkan jumlah warna yang
dulu. Algoritma ini memberikan
dihasilkan
hasil yang lebih baik daripada
Kepadatan adalah perbandingan dari
algoritma
jumlah sisi (vertex) yang ada terhadap
LDO.
Kompleksitas
waktu asimtotik dari algoritma ini
adalah O(n3).
d. Incident Degree Ordering (IDO)
Algoritma ini berprinsipkan pada
jumlah simpul tetangga yang telah
diwarnai dari suatu simpul. Simpul
Riset Fair 2017
ini
adalah
dari
setiap
tabel
yang
algoritma.
jumlah sisi dari graf lengkapnya.
1. Algoritma Welch-Powell
(yang mempunyai derajat
Welch-Powell
tertinggi) dan simpul-simpul
merupakan salah satu algoritma
lain (dalam urutan yang
pewarnaan graf yang melakukan
berurut)
pewarnaan berdasarkan derajat
bertetanga dengan simpul
tertinggi dari simpul-simpulnya
pertama ini.
Algoritma
atau
disebut
Largest
(LDO).
Ordering
Degree
Berikut
yang
tidak
3. Mulai lagi dengan simpul
berderajat
tertinggi
berikutnya di dalam daftar
algoritmanya:
terurut yang belum diwarnai
1. Urutkan simpul-simpul dari
dan
ulangi
proses
yang
pewarnaan simpul dengan
menurun (urutan seperti ini
menggunakan warna kedua
mungkin tidak unik karena
4. Ulangi penggunaan warna-
G
dalam
beberapa
derajat
simpul
mungkinberderajat sama).
2. Gunakan satu warna untuk
mewarnai simpul pertama
Riset Fair 2017
warna sampai semua simpul
telah
diwarnai.
Algoritma
Flowchart
Welch-Powell
adalah sebagai berikut:
Dari contoh kasus sebelumnya, daftar simpul graf dan ketetanggaannya adalah
sebagai berikut:
Dengan algoritmaWelch-Powell, hasil yang didapatkan adalah:
Riset Fair 2017
Algoritma
Welch-Powell
semester I, III, V, dan VII. Pada semester
dapat digunakan untuk mewarnai
genap yaitu semester II, IV, VI, dan VIII.
sebuah graf G secara
Algoritma
ini
memberikan
efisien.
tidak
jumlah
selalu
warna
Karena banyaknya tingkatan semester
dan
terbatasnya
ruang
perkuliahan,
sedangkan hari efektif perkulia han
adalah
Senin hingga Kamis, maka
minimum yang diperlukan untuk
diperlukan penjadwalan yang paten
mewarnai
atau
G,
namun
cukup
konsisten
agar
tidak
terjadi
praktis untuk digunakan dalam
tumpang tindih ruang ataupun waktu
pewarnaan simpul sebuah graf.
dalam proses perkuliahan.
Penjadwalan
Algoritma Welch-Powell hanya
cocok
digunakan
untuk
graf
dilakukan
dengan
kuliah
terlebih
tersebut
dahulu
mengekspresikan seluruh obyek atau
dengan orde yang kecil [3].
komponen yang ada dalam bentuk graf.
a.
PEMBAHASAN
Tingkatan Semester, Banyaknya
GAMBAR GRAF PENJADWALAN
Hari dan Banyaknya Ruang Kuliah
Pada Program Studi Pendidikan
Teknologi
Informasi,
terdapat
dua
semester dalam tiap tahunnya, yaitu
semester
gasal
dan
genap.
Untuk
masing-masing tingkatan yang masih
aktif melakukan perkuliahan ada empat
tingkatan, pada semester gasal yaitu
Riset Fair 2017
Graf antara Banyaknya
Contoh graf antara banyaknya
tingkatan semester, banyaknya hari
dan banyaknya ruang kuliah adalah
sebagai berikut:
Gbr. 1. Graf antara Banyaknya Tingkatan Semester, Banyaknya Hari, dan
Banyaknya Ruang Kuliah
Dari gambar graf di atas,
ewarnaan
tersebut
dicari
semester
bilangan kromatiknya, yaitu b a
mempunyai jadwal kuliah mulai hari
nya knya wa r na minimu m ya
Senin
Kamis.
ng
ruang
mewarnai sisi.
untuk
masingsampai
Demikian
pula
masing
dengan
dengan
perkuliahan,
masing-masing
da p a t digunakan untuk
P enja dwa la n dia mb il ha
semester mempunyai ruang kuliah
nya
di Multimedia, Kuliah PTI dan Lab
Berdasarkan
PTI. Jika dua sisinya bertemu pada
dapat
titik yang sama, maka perkuliahan
terdapat dua sisi bertemu pada titik
tidak
yang sama, maka kuliah tidak dapat
dapat
dilakukan
secara
serempak atau bersama- sama.
ya itu
p
yaitu pemberian warna pada sisisisi suatu graf sedemikian hingga
setiap dua sisi yang bertemu pada
titik yang sama mendapatkan warna
Riset Fair 2017
Kemu dian
graf pada gambar 1
dikatakan
bahwa
apabila
dapat diberikan pada sisi
ewa rna a n s is i. Pewarnaan sisi
berbeda.
gasal.
sama. Warna-warna yang berbeda
Pewarnaan yang digunakan pada
ini
semester
dilakukan pada hari dan ruang yang
b. Pewarnaan Graf dalam
Penjadwalan
graf penja dwa lan
u nt u k
dari
p
graf
yang menunjukkan ba hwa ja
dwal kuliahnya tidak bersamaan
pada hari dan tempat yang sama.
Diinginkan jadwal kuliah seefisien
mungkin
untuk
pelaksanaannya.
ditentukan
grafnya.
memudahkan
Jadi
bilangan
Jadi
gambar
adalah seperti berikut:
harus
kromatik
grafnya
Gbr. 2. Pewarnaan sisi Graf antara Banyaknya Tingkatan Semester, Banyaknya Hari
dan Banyaknya Ruang Kuliah
Gbr. 3.Pewarnaan sisiGraf Smt Gasal Hari Senin
Jadi minimal bisa diwarnai
dengan
tiga
warna
bilangan
kromatiknya
sehingga
(G)
=
3.
Warna 1 untuk (I, Multimedia), (III, Lab
PTI) dan(V, Kuliah PTI) Warna2 untuk(I,
Kuliah PTI), (III, Multimedia) dan (VII,
Warna yang berbeda menyatakan
bahwa
waktu
kuliah
bisa
dilaksanakan di hari yang sama,
yaitu:
Riset Fair 2017
Lab PTI) Warna 3 untuk (V, Lab PTI)
dan (VII, Kuliah PTI)
Gbr. 4.Pewarnaan sisiGraf Smt Gasal Hari Selasa
Jadi minimal bisa diwarnai
dengan
tiga
warna
bilangan
kromatiknya
sehingga
(G)
=
4.
Warna yang berbeda menyatakan
bahwa
waktu
kuliah
bisa
Warna 1 untuk (I, Multimedia), (III,
Kuliah PTI) dan (V, Lab PTI), Warna 2
untuk (I, Kuliah PTI), dan (VII, Lab PTI),
Warna 3 untuk (I, Lab PTI) , (III,
dilaksanakan di hari yang sama,
Multimedia) dan (VII, Kuliah PTI) dan
yaitu:
Warna 4 untuk (V, Kuliah PTI)
Gbr. 5.Pewarnaan sisiGraf Smt Gasal Hari Rabu
Jadi minimal bisa diwarnai
dengan
bilangan
empat
warna
kromatiknya
sehingga
(G)
=
4.
Warna 1 untuk (I, Multimedia), (III,
Kuliah PTI) dan (V, Lab PTI), Warna 2
untuk (I, Kuliah PTI), dan (VII, Lab PTI),
Warna yang berbeda menyatakan
bahwa
waktu
kuliah
bisa
dilaksanakan di hari yang sama,
yaitu:
Riset Fair 2017
Warna 3 untuk (I, Lab PTI) , (III,
Multimedia) dan (VII, Kuliah PTI)
Gbr. 5.Pewarnaan sisiGraf Smt Gasal Hari Kamis
untuk (V, Multimedia) dan (VII, Kuliah
Jadi minimal bisa diwarnai
dengan
tiga
warna
bilangan
kromatiknya
sehingga
(G)
=
PTI)
3.
Pewarnaan sisi berdasarkan jam
Warna yang berbeda menyatakan
bahwa
waktu
kuliah
matakuliah
bisa
pada
masing-masing
gambar graf di atas yaitu setiap sisinya
dilaksanakan di hari yang sama,
tidak mempunyai hubungan dengan sisi
yaitu:
yang lain. Dengan demikian cukup
Warna 1untuk(I,Multimedia),(V,Kuliah
diwarnai
PTI) dan(VII, Lab PTI), Warna2 untuk(I,
dengan
satu
warna
saja,
sehingga = 1
Lab PTI) dan (III,Multimedia) Warna 3
08.00 – 10.30
10.30 -13.00
13.00 – 15.30
15.30 – 18.00
Senin
(I,Multimedia),
(III,Lab PTI)
dan(V, Kuliah
PTI)
(I,Kuliah PTI),
(III,Multimedia)
dan(VII,Lab
PTI)
(V, Lab PTI)
dan (VII,
Kuliah PTI)
Selasa
(I,Multimedia),
(III,Kuliah PTI)
dan(V, Lab
PTI),
(I,Kuliah PTI),
dan(VII,Lab
PTI),
Rabu
(I,Multimedia),(III,
Kuliah PTI) (V, Lab
PTI),
(I,Kuliah PTI),dan
(VII,Lab PTI),
Kamis
(I,Multimedia),
(V,Kuliah PTI)
dan(VII, Lab
PTI)
I,Lab PTI) dan
(III,Multimedia)
(I, Lab PTI) , (III,
Multimedia),
(VII, Kuliah
PTI)
(V, Kuliah PTI)
(I, Lab PTI) , (III,
Multimedia) dan
(VII, Kuliah PTI)
(V, Multimedia)
dan (VII, Kuliah
PTI)
Dari hasil pewarnaan graf antara
dengan membagi pewarnaan tersebut
banyaknya tingkatan semester, banyak
dari pewarnaan dalam satu minggu
hari, dan banyaknya ruang kuliah yaitu
menjadi pewarnaan harian
Riset Fair 2017
hingga
p
ewa r na a n
b er da s a r ka n
ja m
penting yang berhubungan erat dengan
matakuliah, maka bilangan kromatik
penjadwalan
kuliah,
yang
Hal
banyaknya
tingkatan
tersebut karena derajat titik graf akan
banyaknya
semakin ber kur ang, di ma na banya
matakuliah, dan banyaknya waktu yang
knya
atau
tersedia dalam perkuliahan (hari dan
bilangan kromatik graf bipartit adalah
jam matakuliah).Pewarnaan graf di atas
derajat terbesar titik yang dimiliki oleh
yaitu
graf,
tingkatan semester, banyak hari, dan
diperoleh
semakin
minimum
kecil.
pewarnaan
sebagaimana
yang
telah
antara
kelas,
lain
semester,
banyaknya
pewarnaan antara
banyaknya
dijelaskan dalam teorema Konig.Pada
banyaknya
semester gasal, dalam seminggu hanya
pewarnaan grafnya diperoleh bilangan
terpakai selama empat hari dari hari
kromatik yang semakin kecil.
Senin sampai dengan Kamis untuk
perkuliahan.
Masing-masing
jam
perkuliahan hampir semua penuh.
Pada
ruang
kuliah.
semester
gasal,
Hasil
dalam
seminggu hanya terpakai selama lima
hari yakni hari Senin sampai dengan
Dengan demikian, jadwal yang
Kamis
untuk
perkuliahan.
Masing-
terbentuk dari hasil pewarnaan graf
masing jam perkuliahan hampir semua
adalah empat hari aktif dalam seminggu
penuh.
terpakai
perkuliahan
Dari hasil pewarnaan tersebut dapat
mahasiswa Prodi Pendidikan Teknologi
diambil kesimpulan bahwa minimal ada
Informasi UNISRI Surakarta.
tiga ruang kelas untuk perkuliahan,
untuk
jam
dengan empat hari perkuliahan (Senin-
SIMPULAN
Dalam pewarnaan graf
memperhatikan
beberapa
harus
komponen
Kamis) dimulai dari pukul 08.00-18.00
WIB
DAFTAR PUSTAKA
Astuti, Setia. 2011. Penyusunan Jadwal Ujian Mata Kuliah dengan Algoritma
Pewarnaan Graf Welch-Powell. Jurnal Dian Vol.11 No.1 Januari 2011.
Budayasa, Ketut. 2007. Teori Graph dan Aplikasinya. Surabaya : UNESA.
Depdikbud. 1991. Kamus Besar Bahasa Indonesia. Jakarta : Balai Pustaka.
Riset Fair 2017
Goodaire, E.G dan M. M. Parmenter. 1998. Discrete Mathematics with Graph
Theory. NewJersey : Prentice-Hall.
Jusuf, Heni. 2009. Pewarnaan Graph Pada Simpul Untuk Mendeteksi Konflik
Penjadwalan Kuliah. Seminar Nasional Aplikasi Teknologi Informasi 2009.
ISSN:1907-5022.
Lipschutz, Seymour dan Marc Lars Lipson. 2002. Matematika Diskrit Jilid 2.
McGraw-Hill. Munir, Rinaldi. 2001. Matematika Diskrit. Bandung :
Informatika Bandung.
Seputro, Theresia M.H. 1992. Teori Graf. Surabaya : University Press IKIP Surabaya.
Syadid, M. 2005. Penjadwalan Perkuliahan Menggunakan Algoritme Genetika. Bogor :
Institut Pertanian Bogor
Wibisono, Samuel. 2008. Matematika Diskrit Edisi 2. Yogyakarta :
Graha Ilmu. Saondi, Ondi. 2003. Teori Graf. Bandung : Rumah
Buku Press.
Riset Fair 2017