MATRIKS KELAS XII.pdf

KELOMPOK

1. Ere Salbiwa

2. Vinia Detameriska

3. Lia Sari

4. Rani Elfionita

5. Safitri Utami

Dosen Pembimbing

Tuti Rahayu, M.Pd

3A

Kelas

Mata kuliah

Matematika SMA

BAB I KATA PENGANTAR

Puji syukur kehadirat Allah SWT berkat limpahan rahmat karunia dan hidayah Nyalah kita dapat di beri kesehatan dan kekuatan sehingga dapat menyelesaikan makalah ini.

Shalawat serta salam semoga tercurahkan kepada baginda dan junjungan kita Nabi Muhammad SAW keluarga sahabat,dan pengikut Nya semoga kita semua mendapat safaat kelak yaumul akhir.

Semoga makalah ini dapat memberikan wawasan yang lebih luas kepada para pembaca mengenai Matriks.

Penulis mengucapkan terima kasih kepada seluruh pihak dan membantu dalam pembuatan makalah ini. Terutama kepada Dosen pengasuh mata kuliah Matematika SMA yaitu Ibu Tuti Rahayu, M.Pd. Kami meminta masukannya demi perbaikan pembuatan makalah kami dimasa depan. Kami mengharapkan saran dan kritik dari para pembaca.

Sekian yang dapat kami sampaikan kurang lebihnya kami mohon maaf dan pada Allah SWT kami mohon ampun.

Palembang, Desember 2012

Penulis

PENDAHULUAN

1.1.STANDAR KOMPETENSI DAN KOMPETENSI DASAR MATRIKS.

Dalam Standar Kompetensi Matriks Diharapkan Peserta Didik Dapat Menggunakan konsep matriks,vektor, dan transformasi dalam pemecahan masalah. Kompetensi dasarnya yaitu peserta didik diharapkan mampu:

1. Menggunakan sifat-sifat dan operasi matriks untuk menunjukkan bahwa suatu matriks persegi merupakan invers dari matriks persegi lain,

2. Menentukan determinan dan invers matriks 2×2.

3. Menggunakan determinan dan invers dalam penyelesaian sistem persamaan linear dua variabel.

4. Menggunakan sifat-sifat dan operasi aljabar vektor dalam pemecahan masalah.

5. Menggunakan sifat-sifat dan operasi perkalian skalar dua vektor dalam pemecahan masalah.

6. Menggunakan transformasi geometri yang dapat dinyatakan dengan matrik dalam pemecahan masalah.

7. Menentukan komposisi dari beberapa transformasi geometri beserta matriks transformasinya.

1.2.MOTIVATION

Matriks pertama kali diperkenalkan oleh Arthur Cayley (1821-1895) di inggris dalam sebuah studi sistem persamaan linier dan transformasi linear.Namun pada awalnya,Matriks hanya dianggap permainan karena tidak bisa diaplikasikan.Baru pada tahun 1925.30 tahun setelah Cayley meninggal,Matriks digunakan pada mekanika kuantum.Selanjutnya matriks mengalami perkembangan yang pesat dan digunakan dalam berbagai bidang.

Matriks pada dasarnya merupakan sutu alat atau instrumen yang cukup ampuh untuk memecahkan persoalan misalnya persoalan dalam menghadapi dua presamaan dan beberapa variabel.Dengan menggunakan matriks memudahkan kita untuk membuat analisa-analisa yang mencakup hubungan variabel-variabel dari suatu persoalan.

BAB II PEMBAHASAN MATRIKS

2.1 Pengertian Matriks

Dalam kehidupan sehari-hari, keterangan sering disajikan dalam bentuk tabel atau daftar.Misalnya seperti tabel nilai hasil ulangan yang dinyatakan berikut ini. Matematika

Biologi Amir

Jika dari tabel diatas ditulis bilangannya saja,kemudian susunan lambang itu diberi tanda kurung,maka akan di peroleh :

Perhatikan susunan bilangan diatas .

Susunan bilangan itu memiliki beberapa keteraturan,yaitu disusun dalam bentuk persegi atau persegi panjang dan menurut baris dan kolom .Susunan bilangan itu dinamakan Matriks. Setiap bilangan disebut Elemen Matriks.

2.2 Notasi dan Ordo Matriks

Suatu Matriks biasanya dilambangkan atau dinotasikan dengan huruf kapital,sedangkan elemennya yang berupa huruf,biasanya dengan huruf kecil.

2 0 3 −8 Misalnya :A = 6 7 9 B= 5 , C= 𝑎𝑐

Jika kita perhatikan ukuran matriks berbeda-beda .Ukuran matriks itu disebut Ordo.Ordo suatu matriks ditentukan oleh banyaknya baris dan banyaknya kolom yang ada didalam matriks tersebut.

Jika Matriks D terdiri dari m baris dan n kolom maka matriks itu berordo m x n dan dituliskan D mxn .

2.3 Jenis-jenis Matriks

a. Matriks baris adalah matriks yang hanya terdiri dari satu matriks. Contoh : P = ( 3 2 ), Q = ( 5 1 )

b. Matriks kolom adalah matriks yang hanya terdiri dari satu kolom.

3 Contoh : R = 5 ,S=

c. Matriks persegi adalah matriks yang banyak baris sama dengan banyak kolom.

Contoh : T =

, U= 6 8

Contoh : V =

e. Matriks identitas adalah matriks yang semua elemen-elemennya diagoanalnya utamanya sama dengan 1,sedangkan elemen lainnya sama dengan 0.

1 0 0 Contoh : I = 0 1 0

f. Matriks skalar adalah matriks yang semua elemen-elemennya diagoanalnya utamanya sama,sedangkan elemen lainnya sama dengan 0.

Contoh: K =

g. Matriks diagonal adalah matriks persegi yang semua elemen-elemennya diluar diagonal utamanya bernilai 0.

1 0 0 Contoh : M = 0 6 0

h. Matriks segitiga atas adalah matriks persegi yang semua elemen-elemennya dibawah diagonal utamanya bernilai 0.

4 2 −2 Contoh : N = 0 −1 8

i. Matriks segitiga bawah adalah matriks persegi yang semua elemen-elemennya diatas diagonal utamanya bernilai 0.

1 0 0 Contoh : O = −5 6 0

j. Matriks singular adalah matriks yang determinannya bernilai nol.setiap matriks singular tidak mempunyai invers.

Contoh : S = M=

k. Matriks tak singular adalah matriks yang determinannya bernilai tidak sama dengan nol atau disebut juga matriks non singular.setiap matriks tak-singular mempunyai invers.

Contoh : L =

2.4 Kesamaan Dua Matriks

Dua matriks A dan B dikatakan sama ( A = B ),jika dan hanya jika ordo kedua matriks sama dan elemen-elemennya yang bersesuaian juga sama. Contoh :

A = B=

2 4 2 4 Maka A = B

2.5 Matrik Transpos 2.5.1.Pengertian Matriks Transpos

Tranpos matriks A ditulis A t atau A’adalah sebuah matriks yang disusun dengan cara mengubah setiap baris dari matriks A menjadi kolom pada matriks A’.

Contoh : A=

, maka A’ = 𝑎 𝑐

, maka B’ = 𝑏𝑒

2.5.2.Sifat-Sifat Matriks Transpose:

1. Jika A dan B adalah dua matriks yang berordo sama maka:

(A B) T =A B

2. Jika a skalar dan A matriks, maka: (aA) T = aA T 3. Jika A matriks, maka (A T ) =A

4. Jika A matriks bujur sangkar dan n positif, maka:

5. (A T ) = (A )

TT

6. Jika A, B dua matriks dengan ukuran masing-masing mxn dan nxp, maka (AB) T =B A

2.6 Operasi Hitungan Pada Matriks

2.6.1. Penjumlahan dan pengurangan Matriks

Dua matriks dapat dijumlahkan jika keduanya memiiliki ordo yang sama. Penjumlahan matriks dilakukan dengan cara menjumlahkan elemen-elemen yang seletak dari masing-masing matriks tersebut.

Penjumlahan tersebut dapat juga dilakukan dengan menggunakan matriks yaitu sebagai berikut :

Nilai tes

Nama

Nilai Total Niko

Penjumlahan tersebut dapat juga dilakukan dengan menggunakan matriks yaitu sebagai berikut :

Pengurangan matrik juga dilakukan jika ordo matriks yang akan dikurangkan sama dan diperoleh dengan mengurangkan elemen-elemen yang seletak. Contoh :

−3 4 Diketahui matriks A = 4 2 dan B = −2 1 Tentukan A – B.

A –B= 4 2 - −2 1 = 4 − (−2) 2 −1

4 −6 Maka A –B= 6 1

2.6.2. Perkalian Matriks

a. Perkalian matriks dengan bilangan real.

Jika k adalah suatu bilangan real, dan A adalah sutu Matriks, maka kA adalah Matriks yang diperoleh dengan mengalikan setiap elemen matriks A dengan k sehingga :

Jika diketahui 𝑎𝑏 , maka kA = kx 𝑎𝑏 = 𝑘𝑎 𝑘𝑏 𝑐𝑑

Diketahui A = dan B = .

b. 2A - 3B Penyelesaian:

a. 3A = 3 =

b. 2A-3B = 2 -3

b. Perkalian Dua Matriks

Pernahkah kalian bermain domino?Bagaimanakah memasangkan karu-kartu dalam permainan domino/Agar selembar kartu domino dapat dipasangkan dengan kartu domino yang lain,jumlah mata bagian kanan kartu tersebut harus sama dengan jumlah mata bagian kiri kartu pasangannya.

Prinsip pemasangan kartu domino dapat kita gunakan untuk memahami perkalian dua matriks,yaitu sebuah matriks A dapat dikalikan matriks B jika banyak matriks A sama dengan banyak baris matriks B.Adapun elemen-elemen matriks hasil kali ini adalah jumlah dari hasil kali elemen-elemen pada baris matriks A dengan elemen-elemen pada kolom matriks B.

A mxp xB pxn= C mxn

Contoh: Jika Diketahui A = 𝑎𝑏

dan B = 𝑒𝑓

AxB= 𝑎𝑏 𝑒𝑓 = 𝑎𝑒 𝑐𝑑 𝑔𝑕 𝑐𝑒 + 𝑑𝑔 𝑐𝑓 + 𝑑𝑕 AxB= 𝑎𝑏 𝑒𝑓 = 𝑎𝑒 𝑐𝑑 𝑔𝑕 𝑐𝑒 + 𝑑𝑔 𝑐𝑓 + 𝑑𝑕

Matriks identitas adalah matriks bujur sangkar dimana elemen utama bernilai 1 dan elemen diluar diagonal utama bernilai 0. Perkalian suatu matriks (A) dengan matriks identitas :

AI = A IA = A AI=IA = A

Sebagai contoh:

Jika diketahui matriks A =

4 5 6 dan I =

0 1 0 . Tentukan AI dan IA .

d. Sifat Perkalian Matriks

Jika A adalah matriks ukuran mxn, matriks B dan C mempunyai ukuran yang memungkinkan untuk operasi penjumlahan dan perkalian maka:

a. A(BC) = A(BC)

Asosiatif

b. A(B+C) = AB + AC

Distributif kiri

c. (B+C) A = BA+C

Distributif kanan

d. r(AB) = (rA)B

r = skalar

e. I m A = A = AI n Asosiatif

2.7. Determinan

2.7.1 Determinan Matriks persegi berordo 2

Determinan dari suatu matriks persegi A dinotasikan dengan │A│atau det A. Jika A = 𝑎𝑏 , maka determinan matriks A adalah :

𝑐𝑑 det A = 𝑎𝑏 = ad – bc

𝑐𝑑 Sebagai contoh:

Diketahui A = . Tentukan determinan A .

2 5 Penyelesaian: det A = 4x5 – 3x2

2.7.2. Determinan matriks persegi berordo 3

Misalkan matriks A adalah matriks persegi berordo 3 yang berbentuk :

𝑎 11 𝑎 12 𝑎 13 A= 𝑎 21 𝑎 22 𝑎 23 𝑎 31 𝑎 32 𝑎 33

Berdasarkan kaidah Sarrus, nilai determinan matriks A ditentukan oleh:

2 −3 4 Diketahui matriks B : 1 5 −6 . Tentukan det B. −3 4 1

Penyelesaian:

2 −3 4 2 −3 Det B = 1 5 −6 1 5 −3 4 1 −3 4

= 2.5.1 +(-3) (-6) (-3) + 4.1.4 – 4.5. (-3) – 2.(-6) .4 - (-3) .1.1 = 10 – 54 + 16 + 60 + 48 + 3 = 83

2.8 Invers Matriks 2.8.1.. Dua matriks saling invers

Apabila A dan B masing-masing adalah matriks persegi berordo sama dan berlaku hubungan :

A.B = B.A = I

Maka A adalah invers B dan B adalah invers A atau A dan B merupakan dua matriks yang saling invers.

Matriks A adalah invers matriks B ditulis A = B -1 dan matriks B adalah invers matrik A - 1 ditulis B = A

2.8.2. Invers matriks persegi berordo 2

a. Invers dari suatu matriks persegi berordo 2 dengan nilai determinan 1 dapat ditentukan dengan cara :

1. Elemen-elemen pada diagonal utama dipertukar.

2. Tanda elemen pada diagonal samping diganti dengan lawannya. Contoh :

Diketahui Matriks A =

Nilai determinan matriks A adalah : det A =

3 = (4x7) - (3x9) = 1. 7

Jadi invers matriks A adalah A =

b. Invers matriks persegi berordo 2 dengan nilai determinan tidak sama dengan 1. Jika matriks A =

𝑎𝑏 dengan det A = (ad –bc),maka invers dari matriks A ditentukan oleh

𝑑 −𝑏 dengan syarat (ad –bc) ≠ 0. −𝑐 𝑑

2.8.3. Invers matriks persegi berordo 3

Untuk dapat menentukan invers suatu amtriks dengan ordo 3x3,kita harus memahami tentang matriks minor,kofaktor dan adjoin.

a. Matriks minor Matriks minor M ij diperoleh dengan cara menghilangkan elemen-elemen pada barir ke-I dan kolom ke-j matriks A beordo 3x3, sehingga didapat matirks baru dengan ordo 2x2. Determinan dari matriks tersebut disebut minor dari determinan matriks A, ditulis dengan minor 𝑀 𝑖𝑗 .

𝑎 11 𝑎 12 𝑎 13 A= 𝑎 21 𝑎 22 𝑎 23 𝑎 31 𝑎 32 𝑎 33

Minor-minor dari matriks A adalah sebagai berikut :

b. Kofaktor Kofaktor dari baris ke-I dituliskan dengan A ij .Untuk menentukannya ditentukan dengan rumus 𝐴 𝑖𝑗 = −1 𝑖 + 𝑗 𝑀 𝑖𝑗 Kofaktor-kofaktor dari matriks A adalah sebagai berikut,

c. Adjoint Misalkan suatu matriks A berordo 𝓃𝑥𝓃 dengan 𝐴 𝑖𝑗 kofaktor dari matriks A, makaAdjoint

A (Adj A) = 𝐴 12 𝐴 22 …𝐴 𝑛2 𝐴 1 𝑛 𝐴 2 𝑛 ⋯𝐴 𝑛𝑚

Untuk matriks A berordo 3x3, maka :

1 2 3 Tentukan invers dari matriks A = 2 5 3

Jawab :

=40+6+0-15-0-32 =46-47 =-1

2.8.4 Sifat Invers Matriks

Jika A adalah suatu matriks bujur sangkar, maka pangkat bilangan bulat (n) di mana n > 0 dari matriks A sebagai berikut :

a. Jika A matriks invertibel hanya akan mempunyai satu matriks invers (invers A adalah unik) dan dinyatakan oleh A.

AA -1 =I ⇔A A=I

b. Jika determinan A adalah nol (det A = 0), A tidak ada dan matriks A disebut matriks non-invertibel atau singular.

c. Jika matriks A dan B adalah matriks nonsingular atau invertibel, maka:

-1 - (AB) 1 =A B

-1 -1

-1 (A -1 ) =A

e. Perkalian skalar k (k 0) dengan matriks invertibel adalah invertibel, maka:

(kA) -1 = A

f. Jika matriks A adalah matriks nonsingular atau invertibel, maka invers dari matriks pangkat bulat non negatif (n > 0):

-1 (A n ) = (A )

n -1

g. Jika matriks A adalah matriks nonsingular atau invertibel, maka:

-1 (A T ) = (A )

T -1

2.9 Trace Matriks Trace matriks adalah jumlah elemen diagonal utama pada matriks bujur sangkar (kuadrat). Jika matriks A adalah bujur sangkar (kuadrat) ukuran mxn, maka trace A dinyatakan oleh tr (A).

Jika diketahui matriks A:Tr (A) = 𝑛

Jadi trace suatu matriks bujur sangkar adalah penjumlahan elemen-elemen pada diagonal utama matriks tersebut. Contoh : Tentukan trace dari matriks berikut,

2.9.1. Sifat Trace Matriks

Trace matriks mempunyai sifat penting dalam manipulasi suatu matriks bujur sangkar yaitu:

1. tr (kA) = k 𝑡𝑟 (𝐴) , k = skalar

2. tr (A ± B) = tr (A)

3. tr(AB) = tr (BA) 4.tr (B -1 AB) = tr (A) ± 𝑡𝑟(B)

5. tr (AA 2 )= (a

ij )

2.9.2 Penyelesaian Persamaan Matriks Apabila A,B dan X adalah matriks-matriks persegi berordo 2 dan A adalah matriks tak

singular yang mempunyai invers,yakni A -1

a. Penyelesaian persamaan matriks AX = B ditentukan oleh :

-1 X= A B

b. Penyelesaian persamaan matriks XA = BA ditentukan oleh :

-1 X= B A

2.9.3 Sistem Persamaan Linear

1. Sistem Persamaan Linear dua variabel (peubah) :

ax + by = p zx + dy = q

Dapat dinyatakan dalam bentuk persamaan matriks,yakni :

Sehingga himpunan penyelesaiannya dapat ditentukan oleh :

Contoh : Tentukanlah penyelesaian sistem persamaan linear berikut 3x – 4y = 5 5x + 6y = 1 Penyelesaian : Terlebih dahulu,ubah sistem persamaan linear tersebut menjadi peramaan matrik berikut.

Kemudian,tentukan determinan matriks A, yaitu :

3 Det A =

−4 = 18 5 – (-20) = 38 6

Penyelesaian persamaan linear tersebut dapat kita tentukan dengan cara :

17 Jadi x = 11

19 dan y = - 19

2. Sistem Persamaan Linear tiga variabel (peubah ) :

a 11 x+a 12 y+a 13 z=b 11

a 21 x+a 22 y+a 23 z=b 21

a 21 x+a 22 y+a 23 z=b 21 ditentukan oleh :

x= , y= , z= ,

untuk D #0

Contoh : Tentukanlah penyelesaian sistem persamaan linear berikut x + y + z = 12 2x - y + 2z = 12 3x + 2y - z = 8

Penyelesaian :

Sistem persamaan linear diatas dapat diubah menjadi 2 −1 2 𝑦 = 12

= 1 (-1) (-1) + 1.2 .3 + 1.2.2 – 3(-1) (1) – 2.2.1 - (-1) .2.1 = 1+ 6 + 4 + 3 - 4 + 2 = 12

= 12 (-1) (-1) + 1.2 .8 + 1.12.2 – 8(-1) (1) – 2.2.1 2- (-1) .12.1 = 12+ 16 + 24 + 8 - 48 + 12 = 24

= 1 (12) (-1) + 12.2 .3 + 1.2.8 – 3(12) (1) – 8.2.1 - (-1) .2.12 = -12 + 72 + 16 + 36 - 16 + 24 = 48

D z = 2 −1 12 2 −1

= 1 (-1) (8) + 1.12 .3 + 12.2.2 – 3(-1) (12) – 2.12.1 - 8.2.1 = -8+ 36 + 48 + 36 - 24 + 16 = 72

2.10 Soal- Soal Uji Kompetensi

1. Jika A=

maka A – A=……

a. b. e.

c. d.

2. Jika A adalah matriks berorde 2 x 2 dan memenuhi: A

maka det A =…

a.5 b.4 c.3 d.2 e.1

b 2a+1

3. t Jika B = adalah matriks singular dan B =B, maka nilai a+b=

a 2b-1

a.0 b.1 c.2 d.3 e.4

4. 3 Diketahui: A = -1 dan B = 𝑥 jika B =A, maka nilai y=…

1 6 −2 2 𝑥+𝑦 a.-1 b.-2 c.3 d.4 e.5

5. Jika

= maka m+n=….

2 n 4 3 10 10

a.1 b.2 c.3 d.4 e.5 a.1 b.2 c.3 d.4 e.5

7. Diketahui x

tentukan 3x =….

8. Diketahui A =

adalah non singular,

B= C=

t jika AB=C, maka A

a.0 b.1 c.2 d.3 e.4

9. Matriks 𝑦 yang memenuhi persamaan

10. Jika matriks A = 𝑥+13 tidak mempunyai invers, maka nilai x adalah...

c.0

a.-2 b.-1

d.1 e. 2

11. Di ketahui matriks A = dan B = jika C = A-B

maka, invers matriks C adalah C -1 = ...

12. Diketahui matriks A = , B=

dan C =

jika A + B –C= 8 𝑥 maka nilai x + 2xy adalah ....

d.20 e. 22

1 2 4 3 13.. Matriks X berordo (2x2) yang memenuhi : x= adalah...

14. Diketahui matriks-matriks A =

,B=

4 D=

𝑏 . Jika 2A – B = CD , maka nilai a + b + c adalah... −2 3

c.0

a.-0 b.-2

d.1 e.8

15. Diketahui matriks-matriks A = dan B =

. Nilai determinan matriks 2A – 2B

adalah...

a.5 b.-45

c.-85

d.-75 e.-65

16. Diketahui matriks A = ,B= 𝑥

,C=

Apabila A t –B=C = transpos matriks C, maka nilai x.y adalah...

a.10 b.15 c.20

d.25 e.30

17. Jika diketahui P = 2 1 4 ,Q= −1 3 Dan Z = 𝑧 2 maka Hasilnya adalah...

19.Jika A = 1 2 3 dan B = 2 3 0 , maka A+B = ...

20. Diketahui matriks A = 2 1 3 , tentukan determinannya ? ...

a. 15 c. 10

e. -21

b. 20 d. 21

21. A = 3 7 6 dan B = 4 5 0 , AB ? ...

a. c. e. 96 76 89

22. Berikut ini bahwa invers dari matriks A = 3 −1

adalah B = 2 −

23. Buktikan bahwainvers dari matriks A = 2 2 1 , adalah 𝐴 −1 = −1 2 −1 , A𝐴 −1 =...

24. Diketahui matriks A = 4 1 5 hitunglah 𝐴

25. jika A = 4 0 2 1 ,B= 1 5 0 3 , maka hitunglah A + B =...

26. Jika A = −2 , maka A+A+A ?...

27. Hitunglah AB, jika diberikan A = 3 2 0 dan B = 2 1 1 0

a. 7 5 5 0 4 c. 6 5 8 7 e. 5 5 0

b. 7 5 5 0 7 d. 3 5 0

28. Jika A = 3 4 dan B = 1 −5 , tentukan D = 𝑟𝑠 , demikian sehingga A+B-B =0

29. Berapakah hasil dari perkalian matriks berikut : A= 456 𝐵= 3 = ...

−1 . 𝑡 adalah transpose dari

31. Diketahui matriks A = B=

A. Jika 𝐴 𝑡 . B = C, maka nilai 2x+y =...

32. Diketahui hasil kali matriks

1 2 𝑎𝑏 = 𝑐𝑑 , nilai a + b + c + d = ... 9 7

33. Nyatakan sistem persamaan linier dalam bentuk persamaan matrik : 2x + 3y = 2 5x + 4y =12

34. Tentukan himpunan penyelesaian dari sistem peramaan 2x +y+z = 0 -2x+3y = 1 3x+5y+2z = -1

a. {(2,-1,5)}

c. {(-2,-1,5)} e. {(-1,2,5)}

b. {(2,1,5)}

d. {(2,1-5)}

35. Jika diktetahui matrik A =  1 1 2

 B=  

  4 1 3   Maka tentukan tr (A-3B)

36. Jika diketahui perkawinan suatu matrik identitas  1 2 3 

 A= 4 5 6

 Tentukan I A ?   7 8 9  

37. Jika A =   dan B = 

 tentukan C =

38. Buktikan bahwa invers dari matrik A =   adalah B =  

39. Cari matrik x jika diketahui 

40. Selesaikan a,b,c dan d pada persamaan matrik berikut ini

 ad  c 2 a  4 d   7 6 

a. –5,3,41 c. 5,-3,4,1

e. 5,4,-3,1

b. 5,-3,-4,1

d. 5,3,4,1

BAB III KESIMPULAN DAN SARAN

3.1 Kesimpulan

 Suatu matriks biasanya dilambangkan atau dinotasikan dengan huruf kapital, sedangkan

elemennya yang berupa huruf, biasanya dengan huruf kecil.  Dua matriks A dan B dikatakan sama ( A = B ), jika dan hanya jika ordo kedua matriks

sama dan elemen-elemennya yang bersesuaian juga sama.  t Tranpos matriks A ditulis A atau A’adalah sebuah matriks yang disusun dengan cara

mengubah setiap baris dari matriks A menjadi kolom pada matriks A’.  Matriks identitas adalah matriks bujur sangkar dimana elemen utama bernilai 1 dan elemen diluar diagonal utama bernilai 0.  Determinan dari suatu matriks persegi A dinotasikan dengan │A│atau det A.  Trace matriks adalah jumlah elemen diagonal utama pada matriks bujur sangkar

(kuadrat). Jika matriks A adalah bujur sangkar (kuadrat) ukuran mxn, maka trace A dinyatakan oleh tr (A).

 Apabila A,B dan X adalah matriks-matriks persegi berordo 2 dan A adalah matriks tak

singular yang mempunyai invers,yakni A -1 .

3.2 Saran

Dalam penulisan makalah ini kami menyadari masih banyak terdapat kekurangan dan kesalahan. Oleh karena itu, kami mengharapkan kritik dan saran dari pembaca untuk membangun dan memotifasi kami supaya dapat lebih baik dalam penulisan kami selanjutnya.

DAFTAR PUSTAKA

Adrianto,H dan Priyono,A.2006.Menguasai Matriks dan Vektor .Penerbit Rekayasa Sains.Bandung. Chatelin,F. 1987.EigenValues of Matrices.Wiley.London. Golub,G and Van Loan.1983.Matrix Computation.John Hopkins Press.Baltimore. Geoff Philips, Jenny Watson, Caroline Penney, Sonja Stambulic, Math Quest:Mathematical Methods VCE Mathematics, JohnWilley and Sons Australia, 1996. Howard Anton, Aljabar Lenear Elementer, Erlangga, Jakarta, 1995 Howard Baxter, Mike Handbury, John Jeskins, Jean Matthews, Pat More, GCSE Mathematics Intermediate Course, Hodder & Stoughton, 2001. Wono Setya Budhi, Matematika SMU, Pusgrafin, Bandung, 1999 .