bab 1 pangkat akar dan logaritma

1. PANGKAT, AKAR, DAN LOGARITMA

A. Pangkat Rasional

1) Pangkat negatif dan nol

Misalkan a  R dan a  0, maka: a) a-n ₌

n a

1

atau an ₌ n a

1 b) a0 _{= 1}

2) Sifat-Sifat Pangkat

Jika a dan b bilangan real serta n, p, q bilangan bulat positif, maka berlaku: a) ap _{× a}q _{= a}p+q

b) ap _{: a}q _{= a}p-q

c)

 

_ap q_{= a}pq

d)



_ab



n_{= a}n_×bn

e)

 

_nn b a n b a _

SOAL PENYELESAIAN

1. UN 2011 PAKET 12

Bentuk sederhana dari 3₇ 4₁ 6₄

84 7

  

 

z y x

z y x

= … a. ₃

10 10

12y z x

d. 3 ₄2 12x

z y

b. _{4 3} 2

12x y z

e. _{3 2} 10

12y z x

c.

2 5 10

12z y x

Jawab : e 2. UN 2011 PAKET 46

Bentuk sederhana dari ₂ 7 ₃ 2₆ 6

24

  

 

c b a

c b a

= … a. 4₃ 5₅

b a

c

d. 4 ₅7 a bc

b. ₅4 ₅ c a

b

e. b a

c

3 7

4 c.

c a

b

3

4

Jawab : d

SOAL PENYELESAIAN

Bentuk sederhana dari

1 5 7 5

3 5 3

27 

 

 

    

  

b a

b a

adalah …

a. (3 ab)2 _d. 2 ) (

3 ab b. 3 (ab)2 _e.

2

) (

9 ab c. 9 (ab)2 _{Jawab : e}

4. UN 2010 PAKET B

Bentuk sederhana dari _{4 5 2}

4 2 3

) 5

(

) 5

(

  

 b a

b a adalah …

a. 56_a4_b–18 _{d. 5}6_ab–1

b. 56_a4_b2 _{e. 5}6_a9_b–1

c. 52_a4_b2 _{Jawab : a}

5. EBTANAS 2002

Diketahui a = 2 + 5 dan b = 2 – 5. Nilai dari a2 _{– b}2 _{= …}

a. –3 b. –1 c. 2 5

d. 4 5

e. 8 5

Jawab : e

B. Bentuk Akar

1) Definisi bentuk Akar

a) _an1 _n_a b) _amn _n m_a

2) Operasi Aljabar Bentuk Akar

Untuk setiap a, b, dan c bilangan positif, maka berlaku hubungan: a) a c+ b c= (a + b) c

b) a c– b c= (a – b) c c) a b = ab

d) a b = (ab)2 ab

e) a b = (ab) 2 ab

3) Merasionalkan penyebut

Untuk setiap pecahan yang penyebutnya mengandung bilangan irrasional (bilangan yang tidak dapat di akar), dapat dirasionalkan penyebutnya dengan kaidah-kaidah sebagai berikut:

a) a_{b b}b a_bb b

a _{  }

b)

b a

b a c b a

b a b a

c b a

c

  

 

    2

) (

c) _ac _{b a}a _bb c _aa _b b b

a c

  

 

   

) (

SOAL PENYELESAIAN

1. UN 2011 PAKET 12 Bentuk sederhana dari

3 3 5

3 2 5

 

= … a.

22 15 5

20 _d.

22 15 5 20

 

b.

22 15 5

23 _e.

22 15 5 23

  c.

22 15 5 20



 _{Jawab : e}

2. UN 2011 PAKET 46 Bentuk sederhana dari

2 6 3

2 3 3

 

= … a. (13 3 6)

23 1

 

b. (13 3 6) 23

1  

c. ( 11 6) 23

1

  

d. (11 3 6) 23

1  e. (13 3 6)

23 1

 Jawab : e

3. UN 2010 PAKET A Bentuk sederhana dari

) 5 3 (

) 3 2 )( 3 2 ( 4

  

= … a. –(3 – 5)

b. – 4 1

(3 – 5) c.

4 1

(3 – 5) d. (3 – 5) e. (3 + 5) Jawab : d

SOAL PENYELESAIAN

4. UN 2010 PAKET B Bentuk sederhana dari

6 2

) 5 3 )( 5 3 ( 6

  

=… a. 24 + 12 6

b. –24 + 12 6

d. –24 – 6

e. –24 – 12 6

Jawab : b

5. UN 2008 PAKET A/B

Hasil dari 12 27 3adalah …

a. 6 b. 4 3

c. 5 3

d. 6 3

e. 12 3

Jawab : b

6. UN 2007 PAKET A Bentuk sederhana dari



32 243



75

8   adalah … a. 2 2+ 14 3

b. –2 2– 4 3

c. –2 2+ 4 3

d. –2 2+ 4 3

e. 2 2– 4 3

Jawab : b

7. UN 2007 PAKET B Bentuk sederhana dari



3 2 4 3



2 3



= …

a. – 6 – 6

b. 6 – 6

c. – 6 + 6

d. 24 – 6

e. 18 + 6

Jawab : a

SOAL PENYELESAIAN

8. UN 2006

Bentuk sederhana dari

7 3

24

 adalah … a. 18 – 24 7

b. 18 – 6 7

c. 12 + 4 7

d. 18 + 6 7

e. 36 + 12 7

Jawab : e 9. EBTANAS 2002

Nilai dari 31 21 _3

  

 

 



c b

a = …

a. 1 b. 3 c. 9 d. 12 e. 18

C. Logaritma

a) Pengertian logaritma

Logaritma merupakan invers (kebalikan) dari perpangkatan. Misalkan a adalah bilangan positif (a > 0) dan g adalah bilangan positif yang tidak sama dengan 1 (g > 0, g ≠ 1), maka:

g_{log a = x jika hanya jika g}x _{= a}

atau bisa di tulis :

(1) untuk g_{log a = x  a = g}x

(2) untuk gx _{= a  x =} g_{log a}

b) sifat-sifat logaritma sebagai berikut: (1) g_{log (a × b) =} g_{log a +} g_{log b}

(2) g_log

 

b

a ₌ g_{log a –} g_{log b}

(3) g_{log a}n _{= n ×} g_{log a}

(4) g_{log a =}

g log

a log

p p

(5) g_{log a =}

g log

1

a

(6) g_{log a ×} a_{log b =} g_{log b}

(7) gn_logam₌

n m g_{log a}

(8) ggloga a

SOAL PENYELESAIAN

1. UN 2010 PAKET A Nilai dari



₃



2



₃



2

3

2 log 18

log

6 log

 = …

a. ₈1 d. 2

b. ₂1 e. 8

c. 1 Jawab : a

2. UN 2010 PAKET B Nilai dari

18 log 2 log

4 log 3

log 9 log

3 3

3 2

27

  

= … a.  14₃

b.  14₆ c.  10₆ d. 14₆ e. 14₃ Jawab : b

SOAL PENYELESAIAN

3. UN 2008 PAKET A/B

a.

b a

a

 d. 1

1   a b

b. 1 1   b a

e.

) 1 (

1   a b

b

c.

) 1 (

1   b a

a

Jawab : c 4. UN 2007 PAKET B

Jika diketahui 3_{log 5 = m dan} 7_{log 5 = n,}

maka 35_{log 15 = …}

a.

n m   1 1

d.





) 1 ( 1

n m

m n

  b.

m n 

 1

1

e. 1

1 

 m mn

c.

m n m

 

1 ) 1 (

Jawab : c 5. UN 2005

Nilai dari _q

r p

p q

r_log 1 _log 1 _log1 3

5   = …

a. 15

b. 5

c. –3

d. ₁₅1

e. 5

Jawab : a 6. UN 2004

Diketahui 2_{log5 = x dan} 2_{log3 = y.}

Nilai 2_log30043 = …

a. ₃2x₄3 y₂3 b. ₂3x₂3 y2 c. 2x + y + 2 d. 2x₄3y₂3 e. 2_x23_y2

KUMPULAN SOAL SKL UN 2011. INDIKATOR 2

Menggunakan aturan pangkat dan akar untuk menyederhanakan bentuk aljabar. 1. Bentuk sederhana dari _{4 7}

3 2 2 16    y x y x adalah …

a. 2x – 6 _y – 10 _c. 1_{2 7}3 2x y e.

7 3 2 1 2x y

b. 23_x 6 _y4 _{d. 2}1 ₇3

2

x



y

2. Bentuk sederhana dari 3₇ 4₁ 6₄

84 7      z y x z y x = …

a. ₃ 10 10

12y z x

d. 3 ₄2 12x

z y

b. _{4 3} 2

12x y z

e. _{3 2} 10

12y z x

c. 10 ₂5 12z

y x

3. Bentuk sederhana dari ₂ 7 ₃ 2₆ 6 24      c b a c b a = …

a. 4₃ 5₅ b a

c

d. 4 ₅7 a bc

b. 4_{5 5} c a b e. b a c 3 7 4 c. c a b 3 4

4. Bentuk sederhana dari

1 5 7 5 3 5 3 27              b a b a adalah …

a. (3 ab)2 _{c. 9 (ab)}2 _e. 2 ) (

9 ab b. 3 (ab)2 _d.

2

) (

3 ab

5. Bentuk sederhana dari _{4 5 2}

4 2 3 ) 5 ( ) 5 (     b a b a adalah …

a. 56_a4_b–18 _{c. 5}2_a4_b2 _{e. 5}6_a9_b–1

b. 56_a4_b2 _{d. 5}6_ab–1

Bentuk sederhana dari _{3 2} 2 2 2 24 ) ( 5 15 36 y x ab b ab y x  adalah … a. x a 2 5 c. x ay

2 e. x

b 2 3 b. x ab 2 2

d. ₂ab_y

6. Bentuk sederhana dari

3 1 3 2 ) 16 ( ) 2 ( ) 2 ( 4 3 a a a   = …

a. -22_{a c. -2a}2 _{e. 2}2_a

b. -2a d. -2a2

7. Bentuk _{4 2} 3 4 3 4 ) 2 ( y x y x    dapat disederhanakan menjadi … a.

5 2

2 _      x

y _c. 2 5

2 1         x y _e. 5 14 2x y b. 5 2 2         x y _d. 5 10 32x y

8. Hasil dari 6 3 2 4 1 2 8 : 2 c a a b c a           = … a. c b

a10 _c. c

b a8

2 _{e. 2a}10_bc

b.

c a

b

2 d. 2bc

9. Bentuk               _            3 1 2 1 2 1 3 2 3 1 3 2 : 2 b a b a b a senilai dengan …

a. ab c. _b6 _ab4 _{e. 3}1 1₂

b a

b. a b d. _a6_b5

10. Bentuk sederhana dari

3

3 43

a a a a a adalah … a. ₆1₅

a c.

5 _a

b. 6 _a5 _d. 6 1 a 11. Bentuk ab b

a1 1 _{dapat dinyatakan} dengan bentuk …

a.

ab b a

c. ₂1 ₂

b

a e. a + b

b. _{2 2}

b a b a d. b a 1 12. Bentuk sederhana dari

) )( ( ) ( ) ( 1 1 1 1 2 2 1 b a ab b a b a b a            adalah …

a. ₂

) ( 1 b a 

c. ₂

) (a b

ab

 

e. ab

b. (a + b)2 _d.

b a

ab 

13. Dalam bentuk pangkat positif dan bentuk akar 2 1 2 1 1 1 y x y x     = … a. xy y x

d. xy



x y



b.

xy x y

e. xy



x y



c.

xy y x 

14. Bentuk 2

1 1 1          _  xy y

x _{dapat dinyatakan} dalam bentuk …

a. xy c.

y x

xy

 e. x  y b. xy xy _d.

xy y x

15. Bentuk _{2 1} 2 1 2 3       y x y x

jika ditulis dalam bentuk pangkat positif menjadi … a. ) 2 ( ) 3 ( 2 x y y x y x   d. ) 2 ( ) 3 ( 2 2 x y y x y x   b. ) 2 ( ) 3 ( 2 2 x x y x y x   e. ) 2 ( ) 3 ( 2 2 x x y x y x   c. ) 2 ( ) 3 ( 2 2 x y y x y x  

16. Dalam bentuk pangkat positif

1 1 1 1 1                y x y x = … a. _yy _xx

 

c. _yy _xx  

e. 1_x  1_y b. _xx__yy d. _xx_ _yy

17. Bentuk sederhana dari

6 7 5 1 1 1 1 1

1  

                      p p p

p = …

a. p c. p2 _{– 1 e. p}2 _{- 2p + 1}

b. 1 – p2 _{d. p}2 _{+ 2p + 1}

18. Diketahui p = ₍ 2₎₍ 31 13₎ 1

2

3 _

 x x x

x dan

q = _(x21 _x21_{)(x x}13₎, maka

q p

= … a. 3 _{x c. x e. x}3 _x2 b. 3 _x2 _{d. x}3 _x

19. Bentuk sederhana dari _{1 1}

1 1       b a ab b a adalah …

a. a + b c. –a + b e.

b a

1 b. a - b d.

b a

1

20. Bentuk sederhana dari

1 1 1 1 1 1 1 1              b a b a ab a b b a ab adalah … a. _{2 2}

2 2 b a b a  

c. a2 _{– b}2 _e.

2 2

1

b a  b. a2_{+ b}2 _d.

2 2

1

b a  21. Bentuk 2

1 1 1            xy y

x _{senilai dengan ....} a. xy c. xy xy e.

y x

xy

b. x  y d.

xy y x

Nilai dari 31 21 _3

  

 

 



c b

a = …

a. 1 b. 3 c. 9 d. 12 e. 18

Jawab : c

Kemampuan mengerjakan soal akan terus

meningkat jika terus berlatih mengerjakan ulang soal yang lalu

C. Logaritma

a) Pengertian logaritma

Logaritma merupakan invers (kebalikan) dari perpangkatan. Misalkan a adalah bilangan positif (a > 0) dan g adalah bilangan positif yang tidak sama dengan 1 (g > 0, g ≠ 1), maka:

g_{log a = x jika hanya jika g}x _{= a}

atau bisa di tulis :

(1) untuk g_{log a = x  a = g}x

(2) untuk gx _{= a  x =} g_{log a}

b) sifat-sifat logaritma sebagai berikut: (1) g_{log (a × b) =} g_{log a +} g_{log b}

(2) g_log

 

b

a ₌ g_{log a –} g_{log b}

(3) g_{log a}n _{= n ×} g_{log a}

(4) g_{log a =}

g log

a log p p

(5) g_{log a =}

g log

1 a

(6) g_{log a ×} a_{log b =} g_{log b}

(7) gn_logam₌

n m g_{log a}

(8) ggloga a

SOAL PENYELESAIAN

1. UN 2010 PAKET A Nilai dari



₃



2



₃



2

3

2 log 18

log

6 log

 = …

a. ₈1 d. 2

b. ₂1 e. 8

c. 1 Jawab : a

2. UN 2010 PAKET B Nilai dari

18 log 2 log

4 log 3

log 9 log

3 3

3 2

27

  

= … a.  14₃

b.  14₆

c.  10₆ d. 14₆ e. 14₃ Jawab : b

SOAL PENYELESAIAN

3. UN 2008 PAKET A/B

Jika 7_{log 2 = a dan} 2_{log3 = b, maka} 6_{log 14 = …}

Kemampuan mengerjakan soal akan terus

meningkat jika terus berlatih mengerjakan ulang soal yang lalu

a. b a

a

 d. 1

1

 

a b b.

1 1

 

b a

e.

) 1 (

1

 

a b

b c.

) 1 (

1

 

b a

a

Jawab : c 4. UN 2007 PAKET B

Jika diketahui 3_{log 5 = m dan} 7_{log 5 = n,}

maka 35_{log 15 = …}

a. n m

 

1 1

d.





) 1 ( 1

n m

m n

 

b. m

n

 

1 1

e. 1

1

 

m mn c.

m n m

 

1 ) 1 (

Jawab : c 5. UN 2005

Nilai dari _q

r p

p q

r_log 1 _log 1 _log1

3

5   = …

a. 15

b. 5

c. –3

d. ₁₅1

e. 5

Jawab : a 6. UN 2004

Diketahui 2_{log5 = x dan} 2_{log3 = y.}

Nilai 2_log30043 = …

a. ₃2x₄3 y₂3 b. ₂3x₂3 y2 c. 2x + y + 2 d. 2x₄3y₂3

e. 2_x23_y2 Jawab : a

Kemampuan mengerjakan soal akan terus

meningkat jika terus berlatih mengerjakan ulang soal yang lalu

KUMPULAN SOAL SKL UN 2011. INDIKATOR 2

Menggunakan aturan pangkat dan akar untuk menyederhanakan bentuk aljabar.

1. Bentuk sederhana dari _{4 7} 3 2 2 16    y x y x adalah …

a. 2x – 6 _y – 10 _c. 1_{2 7}3

2x y e.

7 3 2 1

2x y

b. 23_x 6 _y4 _{d. 2}1 ₇3

2

x



y

2. Bentuk sederhana dari 3₇ 4₁ 6₄ 84 7      z y x z y x = …

a. ₃ 10 10

12y z x

d. 3 ₄2 12x

z y

b. _{4 3} 2

12x y z

e. _{3 2} 10

12y z x

c. 10 ₂5 12z

y x

3. Bentuk sederhana dari ₂ 7 ₃ 2₆ 6 24      c b a c b a = …

a. 4₃ 5₅

b a

c

d. 4 ₅7

a bc

b. 4_{5 5}

c a b e. b a c 3 7 4 c. c a b 3 4

4. Bentuk sederhana dari

1 5 7 5 3 5 3 27              b a b a adalah …

a. (3 ab)2 _{c. 9 (ab)}2 _e.

2 ) (

9

ab

b. 3 (ab)2 _d.

2 ) (

3

ab

5. Bentuk sederhana dari _{4 5 2}

4 2 3 ) 5 ( ) 5 (     b a b a adalah …

a. 56 _a4 _b–18 _{c. 5}2 _a4 _b2 _{e. 5}6 _a9 _b–1

b. 56 _a4 _b2 _{d. 5}6 _ab–1

Bentuk sederhana dari _{3 2} 2 2 2 24 ) ( 5 15 36 y x ab b ab y x  adalah … a. x a 2 5 c. x ay

2 e. x

b 2 3 b. x ab 2 2

d. ₂ab_y

6. Bentuk sederhana dari

3 1 3 2 ) 16 ( ) 2 ( ) 2 ( 4 3 a a a   = …

a. -22_{a c. -2a}2 _{e. 2}2_a

b. -2a d. -2a2

7. Bentuk _{4 2} 3 4 3 4 ) 2 ( y x y x    dapat disederhanakan menjadi … a.

5 2 2 _

     x

y _c. 2 5

2 1         x y _e. 5 14 2x y b. 5 2 2         x y _d. 5 10 32x y

8. Hasil dari 6 3

2 4 1 2 8 : 2 c a a b c a           = … a. c b

a10 _c.

c b

a8

2 _{e. 2a}10_bc

b. c a

b

2 d. 2bc

9. Bentuk               _            3 1 2 1 2 1 3 2 3 1 3 2 : 2 b a b a b a senilai dengan …

a. ab c. _b6 _ab4 _{e. 3}1 1₂ b a b. a b d. _a6_b5

10. Bentuk sederhana dari

3 3 43

a a a a a adalah … a. ₆1₅

a c.

5 _a

b. 6 _a5 _d. 6 1 a 11. Bentuk ab b

a1 1 _{dapat dinyatakan}

dengan bentuk … a.

ab b a

c. ₂1 ₂ b

a e. a + b

b. _{2 2} b a b a d. b a 1 12. Bentuk sederhana dari

) )( ( ) ( ) ( 1 1 1 1 2 2 1 b a ab b a b a b a            adalah …

a. ₂

) ( 1 b a 

c. ₂

) (a b

ab

 

e. ab b. (a + b)2 _d.

b a

ab



13. Dalam bentuk pangkat positif dan bentuk akar 2 1 2 1 1 1 y x y x     = … a. xy y x

d. xy



x y



b.

xy x y

e. xy



x y



c.

xy y x 

14. Bentuk 2

1 1 1          _  xy y

x _{dapat dinyatakan}

dalam bentuk … a. xy c.

y x

xy

 e. x  y

b. xy xy _d.

xy y x

15. Bentuk _{2 1} 2 1 2 3       y x y x

jika ditulis dalam bentuk pangkat positif menjadi … a. ) 2 ( ) 3 ( 2 x y y x y x   d. ) 2 ( ) 3 ( 2 2 x y y x y x   b. ) 2 ( ) 3 ( 2 2 x x y x y x   e. ) 2 ( ) 3 ( 2 2 x x y x y x   c. ) 2 ( ) 3 ( 2 2 x y y x y x  

16. Dalam bentuk pangkat positif

1 1 1 1 1                y x y x = … a. _yy _xx

 

c. _yy _xx  

e. 1_x  1_y

b. _xx__yy d. _xx_ _yy

17. Bentuk sederhana dari

6 7 5 1 1 1 1 1

1  

                      p p p

p = …

a. p c. p2 _{– 1 e. p}2 _{- 2p + 1}

b. 1 – p2 _{d. p}2 _{+ 2p + 1}

18. Diketahui p = ₍ 2₎₍ 31 13₎ 1

2

3 _



x x x

x dan

q = _(x21 _x21_{)(x x}13₎, maka

q p

= … a. 3 _{x c. x e. x}3 _x2 b. 3 _x2 _{d. x}3 _x

19. Bentuk sederhana dari _{1 1}

1 1       b a ab b a adalah …

a. a + b c. –a + b e. b a

1 b. a - b d.

b a

1

20. Bentuk sederhana dari

1 1 1 1 1 1 1 1              b a b a ab a b b a ab adalah … a. _{2 2}

2 2 b a b a  

c. a2 _{– b}2 _e.

2 2

1 b a 

b. a2_{+ b}2 _d.

2 2

1 b a 

21. Bentuk 2

1 1 1            xy y

x _{senilai dengan ....}

a. xy c. xy xy e.

y x

xy 

b. x  y d.

xy y x