BAB 1 Akar, Pangkat, dan Logaritma fixs banget

(1)

BAB 1

AKAR, PANGKAT, DAN LOGARITMA A. BENTUK PANGKAT

1. Pengertian Pangkat n

n faktor a a a a... a_{1 4 2 4 3}� � � Keterangan :

a disebut bilangan pokok n disebut pangkat / eksponen Dimana a Rdann 1,n A�  �

2. Sifat – sifat bilangan pangkat bulat positif Basic concept :

Jika a dan b bilangan real, m dan n bilangan bulat positif, maka berlaku:

 am_{. a}n_{= a}m + n

 am_{: a}n_{= a}m - n

 (am₎ n_{= a}mn

 (a.b)m_{= a}m _.bm



m m

a a

( ) b b Contoh : Sederhanakan : 1. a3_.a5_{= a}3 + 5_{= a}8 2. a7_{: a}2_{= a}7 – 2_{= a}5

3. (a3_b6_c4₎2_{= a}3.2_b6.2_c4.2_{= a}6_b12_c8 4. (a8_{: a}6₎3_{= (a}8 – 6₎3_{= a}2.3_{= a}6

4 3 5

3 1 5 2 4 2 3 4 8 12 2

a b

(a .b ) (a b ) a b ab

 

� �

  

� �

3. Pangkat bulat negatif dan rasional Bentuk pangkat bulat negatif adalah

0 m m m m

1 a

a a

 

  

Maka, m

m 1 a

(2)

Sedangkan bilangan rasional yaitu bilangan yang dapat dinyatakan dengan

b dan a,b B� _{dan b 0}_{� .}_amn merupakan bilangan dengan pangkat tak sebenarnya. Contoh :

1. Nyatakan dengan eksponen positif ! *

5 5 1 a

 _

2 5 5 2 12a 4b

3b a



 

2. Sederhanakan bentuk berikut !

3 6 4

2 4

5 2 2

a b b

a b

a b a



 

5 5

4 6 ₂ 2 ₂ 1

5 5 5 1

b b b b

  _

� � � �

  

� � � �

   

2 1 2 1

5 ₅ 3 ₃ 2 5 3

32 . 27  2 3 2 .3 12 4. Persamaan bilangan berpangkat

Ada dua persamaan bilangan berpangkat, yaitu :

 

   

_{ }

 

_{ }

f x g x f x p

1 . a a f x g x 2 . a a f x p

 � 

5. Pertidaksamaan bilangan berpangkat Diketahui af x ag x  jika dan hanya jika :

   

 

   

1 . f x2 . f x g x untuka 1g x untuk 0 a 1

 

  B. BENTUK AKAR

a. Pengertian bentuk akar

Bentuk akar adalah bilangan-bilangan dibawah akar yang hasilnya merupakan bilangan irasional.

Contoh : 5, 6, 7,dst

Dan dapat dinyatakan dalam bentuk anb�anb b. Sifat – sifat bentuk akar

(3)

Basic concept :

 

m m

n n

1 2 1 ab a. b

a a

b b

3 a( b c) ab ac 4 m a n a (m n) a 5 m a m b m( a b) 6 a. a a

7 a a 8 a a

 



� �



� �



� �

   Contoh :

Sederhanakanlah !

 

2 2

1 48 16.3 4 3

2 2 162 2 81.2 2.9 2 18 2 3 5 3 2 3 7 3

4 108 48 36.3 16.3 6 3 4 3 10 3

5 4 20 2 45 4 4.5 2 9.5 4.2 5 2.3 5 8 5 6 5 6 4 6( 3 5 2) 4 18 20 12 4 9.2 20 4.3 12 2 40 3 7 (3 2 6)(3 2 6) (3 2) 3 12 3 12 ( 6) 18 6 12

 

  

 

     

      

      

        

c. Merasionalkan Penyebut

Beberapa bentuk merasionalkan penyebut :

 

1 1 a 1

1 a

a a a

a b a b

1 1

a b

a b a b a b

a b a b

1 1

a b

a b a b a b

 � 

 

 � 



  

 

 � 



  

Merasionalkan bentuk

a�b _{, caranya dengan} mengalikan dengan pembilang dan penyebut dengan bentuk sekawan.

Contoh :

Bentuk sederhana dari 2

6 4_adalah… Jawab :

(4)

Sekawan dari 6 4 adalah 6 4





2 6 4

6 4 6 4

2 6 4 2

6 4



 

 

�





6 4





6 4 6 2

   

d. Bentuk Akar di dalam Akar Metode supertrik :

Untuk a > b berlaku :



a b



�2 ab a� b

Contoh :





8 2 15�  5 3 �2 5.3 5� 3 C. LOGARITMA

a. Pengertian logaritma

Logaritma merupakan kebalikan dari perpangkatan. Jadi apabila diketahui ax_{=b maka x dapat ditentukan dengan} logaritma yang berbentuk x = a _{log b}

Contoh :

3 2

2 8� log8 3

b. Sifat – sifat logaritma Basic concept :

Misalkan a adalah bilangan positif (a > 0) dan g juga bilangan positif dengan g ≠ 1, maka berlaku :

 

g g g

g n g

p g

g a g

g m g

log a

1 log a.b loga logb a

2 log loga logb b

3 loga n. loga loga 4 loga

logg 1 5 loga

logg 6 loga logh logh

m 7 loga loga

8 g a

 

� �_ _ � �

� �  



 �

 

(5)

Metode supertrik :

- Bilangan pokok harus sama - Jadikan bilangan terkecil : 2,3,5 Contoh :





2 3

3 3 3 3

log3 m dan log 5 n 1 log3 mdapat ditulis log2

m makanilai log15 ...

jawab:

log15 log3.5 log3 log5 log15

log8 log2 3 log2 m 1 n

1 n

1 3

3. m

 





  

 

 

PAKET SOAL DAN PEMBAHASAN 1. UN 2010

Bentuk sederhana dari











 

6 3 5 3 5

2 6 _{. . .} A. 24 12 6  D.  24 6 B.  24 12 6 E.  24 12 6 C. 24 12 6

Pembahasan :









 













 

�

 

  �

 



� �

 



   �

 2 2 6 3 5 6 3 5 3 5

2 6 2 6

6 9 5 24

2 6 2 6

24 2 6 2 6 2 6 24 2 6

24 12 6 2

(6)

2. UN 2012 Bentuk

3 3 7 7 2 3



 _{dapat disederhanakan menjadi bentuk . . .}

A.  25 5 21 D. 5  21 B.  25 5 21 E. 5  21 C.  5 5 21

Pembahasan :

3 3 7 3 3 7 7 2 3 7 2 3 7 2 3 7 2 3 3 21 18 7 2 21

7 12 25 5 21

5 5 21

 _  _� 

  

   

  

   

Jawaban:E 3. UN 2012

Bentuk

2 3 5 2 5

2 3 5 2 3 5 2 5

2 5 2 5 2 5

2 10 3 10 15 2 5 17 4 10

3 1_{17 4 10} 3

 _  _� 

  

  



  

   

Jawaban:E 4. UN 2012

Bentuk

2 2 3 2 3



 _{dapat disederhanakan menjadi bentuk . . .}

A.  4 3 6 D. 4 6

B.  4 6 E. 4 6

C.  4 6 Pembahasan :

2 2 3 2 2 3 2 3

2 3 2 3 2 3

2 6 2 6 6 2 3 4 6

1 4 6

 _  _� 

  

  



   

  

Jawaban:E 5. UN 2012

Bentuk sederhana dari

 



 _  _� 

  

  



  



  

  

5 2 5 2 5 3 2

5 3 2 5 3 2 5 3 2 5 3 10 10 6

5 18 11 4 10

13 1 _{11 4 10} 13

1 _{11 4 10} 13

Jawaban:E 6. UN 2010

Bentuk sederhana dari









4 3 -2

-2 -4 -5 5a b

=... 5a b

A. 4 2

18 5 a

b _D.

6 4 18 5 a b

B. 6 4

18 5 a

b _E.

6 4 18 5 b a

C. 2 18

4 5 b a

Pembahasan :









 

 _

 

    

 

�



� 4

3 2 _{4 12} ₈ 2 2 8 10 4 5

4 2 12 8 8 10 6 4 6 4 18

18 5a b _{5 a b}

5 a b 5a b

5 a b

5 a 5 a b

Jawaban:D 7. UN 2012

(9)

Diketahui a = 1

2 , b = 2, c = 1. Nilai dari 2 3

2 1 a bc ab c

 

adalah . . .

A. 1 D. 64

B. 4 E. 96

C. 16

Pembahasan :

2 3 4 4

2 1 3 3

a bc c 1

ab c a b 1 ₂ 2 1 1 4 4



  

� ��  

Jawaban:B 8. UN 2012

Jika diketahui

1 1

x , y , danz 2

3 5

  

. Nilai 4 2 3 2 4 x yz x y z

 

adalah . . .

A. 32 D. 320

B. 60 E. 640

C. 100 Pembahasan :

     

 

4 2

4 3 1 2 2 4 3 2 4

1 1 2 1 1

2 x yz

x y z

1 1 ₂

3 5

3 5 4 60

 

      

 

 

� � � � _{� � � �} � � � �  �� 

Jawaban:B 9. UN 2012

Diketahui a = 4, b = 2, dan c = 1

2 . Nilai

 

4 2 1

3 b a

 

� adalah . . .

(10)

A. 1

2 _D.

1 16 B.

4 _E.

1 32 C.

1 8

Pembahasan :

 

₁ 2 4

 

₁ 2 4

3 3

b 2

a 4

c 1

2 1 16 16 8 1 8

 

  

� �

� � � � � �

 �



Jawaban:C 10.UN 2012

Nilai dari

 

2 3 1 2 2 a b c

a bc , untuk a = 2, b = 3, dan c = 5 adalah ... A.

125 _D.

1296 125 B.

144

125 _E.

2596 125 C.

432 125

(11)

   

 



     



     2 3 1

2 ( 2) 3 1 1 2 2 2

4 2 3 4 2

3 4 2

3 a b c

a b c a bc

a b c a b

c 2 3

5 144 125

Jawaban:B 11.UN 2010

Nilai dari

�

27 2 3

3 3

log9+ log3 log4 = log2- log18 _{. . .}

A.  14

3 _D.

14 6 B. 

6 _E.

14 3 C. 

10 6

Pembahasan :



 

 �

 _



  

�



3 2

27 2 3

3 3

3 2 2 3 2

3 2 3

log9 log3. log4 log2 log18 log3 log3. log2

2 log

18 2 1 2

.₁ ₂ _{2 12}

3 1 ₄

3 3

1 log3 2 6

log 9

Jawaban:B 12.UN 2011

(12)

Bentuk sederhana dari   3 3 7

7 2 3 =…

A. 21 10 D. 21 5 

B.  21 10  E. 2 21 5 C.  21 5 

Pembahasan :





 _� 

 

 

�

    �



 _{ } _ �



3 3 7 7 2 3 7 2 3 7 2 3 3 3 7 7 2 3

7 4.3 3 21 18 7 2 21

7 12 5 21 25

21 5 5

Jawaban:C 13.UN 2011

Bentuk sederhana dari

3 4 6 7 1 4 7x y z 84x y z

 

  

= . . . A.

10 10 3 x z

12y _D.

3 2 4 y z 12x B.

2 4 3 z

12x y _E.

10 3 2 x 12y z

C. 10 5

2 x y 12z

Pembahasan :

3 4 6 3 4 6

7 1 4 7 1 4 10 3 2 10

3 2

7x y z 7 x y z 84

84x y z x y z 1

x y z 12

x 12y z

   

     

 

 � � �



(13)

14.UN 2011

Diketahui a = 4, b = 2, dan c = 1

2 . Nilai dari

 



 

�4 2 1

3 b

a ...

c A.

16 _{D. 8}

B. 1

8 _{E. 16}

C. 1 4

Pembahasan :

 



_{ }

    _ 

�  

4 4 4

2 1

3 2 3 ₂ ₁ 3

b b 2

c a c _{4 2} 1 1

8 2

Jawaban:B 15.UN 2011

Nilai x yang memenuhi persamaan





2_{log x}2__{7x 3}_

adalah… A. – 1 dan 8

B. 1 dan – 8 C. 0 dan 2 D. 1 saja E. – 8 saja Pembahasan :







 



2 2

a c

3 2 2

log x 7x 3 Pakai aturanparuh!

logb c a b 2 x 7x x 7x 8 0

x 8 x 1 0 x 8 ataux 1

   �    �

   �

  

�

 

�

Metode supertrik :

Cek ke fungsi awal, pilih x yang menyebabkan logaritma positif :

(14)

 





 





2 2

x 8 maka x 7x 8 7 8 64 56 8 positif x 1 maka x 7x 1 7 1

1 7 8 positif

     

  

   

  

Jawaban:B 16.UN 2012

Diketahui 5log3 a dan  3log4 b . Nilai  4log15 . . . A.

1 a ab



D. ab 1 a

B. 1 a 1 b



 _E.

ab 1 b

C. 1 b 1 a

 

Pembahasan :





3 4

3 3

3 log15 log15

log4 log 3 5

log4 log3 log5

log4 1

1 _a

a b a a 1

ab 

� 

 



 �

 

Jawaban:A 17.UN 2012

Diketahui 2log3 x, log10 y 2  . Nilai 6log120 = . . . A.

x y 2 x 1  

 D.

xy 2 x



x 1 x y 2



(15)

C. x xy 2 Pembahasan :









2 6

2 2 2

2 2 2 2

2 2

2 2 2

2 2

log120 log120

log6 log 2 3 10

log 2 3

log2 log3 log10 log2 log3 2 log2 log3 log10

log2 log3 2 x y

1 x �

� � �

�

 

�



 

� �

   �



Jawaban:A 18.UN 2012

Diketahui 3log6 p , log2 q 3  . Nilai 24log288 = . . . A.

2p 3q p 2q



 _D.

p 2q 3p 2q

  B.

3p 2q p 2q



 _E.

q 2p 2p 3q

  C.

p 2q 2p 3q

  Pembahasan :

(16)









3 24

3 3 2 3 2 3 3 3 2

3 2 3

3 3

log288 log288

log24 log 2 6

log 2 6 log2 log6

log2 log6 3 log2 2 log6

2 log2 log6 3q 2p

2q p �

� �

�  �

 

� �

�

 �  �



Jawaban:A PAKET SOAL LATIHAN

1. Bentuk sederhana dari 1

3 2 2 _adalah…

A. 6 4 2 D. 6 3 2

B. 6 2 2 E. 3 2 2

C. 6 4 2

2. Bentuk sederhana dari 6

8 60_adalah… A. 6 5 6 3 D. 3 5 3 3 B. 6 5 6 3 E. 3 5 3 3 C. 3 5 6 3

3. Bentuk sederhana dari 3 5

2 12x y

3x y



adalah… A. 4x7_y– 4 _{D. 4x}– 3_y– 4 B. 4x7_y– 2 _{E. 4x}3_y– 4 C. 4x3_y– 3

(17)

4. Diketahui nilai a = 8 , b = 25 , dan c = 81. Nilai 2 1 1 3 2 4 a b c adalah…

A. 10 D. 54

B. 20 E. 60

C. 30

5. Nilai x yang memenuhi persamaan : 2x 3 3 x 5

3  _ 27

adalah…

A. – 8 D. 2

B. – 2 E. 8

C. 0

6. Nilai x yang memenuhi persamaan : 2x 1 5x 2

8  _ 4 

adalah…

A. 6 D. 3

B. 5 E. 2

C. 4

7. Diketahui p = 81, q = 8 , dan r = 16. Nilai dari

2 1

3 4

3 4 2p .q

� �

� _�=…

A. 24 D. 3

B. 12 E.

3 2 C. 6

8. Nilai dari 9log 25. log 33 5  27log3 ... A.

2 _D.

1 3  B.

3 _E.

1 2  C.

1 6 

9. Bentuk sederhana dari

3 6 2 5 2

(18)

4 ₆

18 _D.

7 ₆ 18 B.

5 ₆

18 _E.

8 ₆ 18 C.

6 ₆ 18

10. Hasil dari 3

3 2

3 7 7

log21 1

log18 6 ... log18 2. log3  log2 

A. 2log7 D. 2

B. 7log2 E. 3

C. 1

11. Nilai 3 8 4 32 2 18







dapat disederhanakan menjadi…

A. 2 2 D. 16 2

B. 5 2 E. 22 2

C. 12 2

12. Jika

2 3

a b 6

2 3

 _{ }

 _{, maka a + b = …}

A. 3 D. – 3

B. 2 E. – 5

C. – 2

13. Nilai 16log2 3log 3 ...

A. 2 D.

1 4  B.

2 E.

1 2  C.

1 4

14. Hasil dari



 



2 2

log216 log12  log3

(19)

A. 8 D. 1 2

B. 2 E.

1 4 C.

3 4

15. Jika 3log2 p . Nilai dari 3log4 2 = …

A. 5p D. – 2p

B. 4p E. – 4p

C. 2p

16. Jika 2_{log 3 = m dan}3_{log 5 = n , maka}6_{log 75 =…} A.

2mn m m 1



 _D.

2mn m m 1

  B.

2n 1 m 1



 _E.





2n 1 n m 1

  C.

2m 1 n 1

 

17. Diketahui 3log4 p dan log5 q 2  , maka nilai 6log90 ... A.

pq p 4 p 1

 

 _D.

pq q 4 p 1

   B.

pq p 4 p 2

 

 _E.

pq q 4 q 2

   C.

pq 4 p 2

 

18. Nilai x yang memenuhi log x + log 2 = 1 adalah…

A. 10 D.

1 2

B. 5 E.

1 4 C. 2

19. Nilai x yang memenuhi persamaan : 2_log2 _{x + 2}2_{log x = 3 adalah…}

(20)

A. – 1 dan 3 D.

1_dan8 2 B. – 3 dan 1 E. 1 saja C.

1 dan2 8

20. Jika a dan b adalah penyelesaian dari persamaan :









_





_

2_{log log x 7 1}2 _{  } 2_{log logx}2 _ 2_{log x 3}_

, maka a .b = ....

A. – 14 D. 5

B. – 5 E. 14

(1)

C. x xy 2

Pembahasan :









2 2

2 2 2 2

2 2

2 2 2

2 2

log120 log120

log6 log 2 3 10

log 2 3

log2 log3 log10 log2 log3 2 log2 log3 log10

log2 log3 2 x y

1 x �

� � �

�

 

�



 

� �

  

�



Jawaban:A 18.UN 2012

Diketahui 3log6 p , log2 q 3  . Nilai 24log288 = . . . A.

2p 3q p 2q



 _D.

p 2q 3p 2q

 

3p 2q p 2q



 _E.

q 2p 2p 3q

 

p 2q 2p 3q



(2)









3 24

3 3 2

3 2

3 3 3 2 3 2 3

3 3

log288 log288

log24 log 2 6

log 2 6 log2 log6

log2 log6 3 log2 2 log6

2 log2 log6 3q 2p

2q p �

� �

�



�

 

� �

�



�



�



Jawaban:A PAKET SOAL LATIHAN

1. Bentuk sederhana dari 1

3 2 2 _adalah…

A. 6 4 2 D. 6 3 2

B. 6 2 2 E. 3 2 2

C. 6 4 2

2. Bentuk sederhana dari 6

8 60_adalah… A. 6 5 6 3 D. 3 5 3 3 B. 6 5 6 3 E. 3 5 3 3 C. 3 5 6 3

3. Bentuk sederhana dari 3 5

2 12x y

3x y



adalah… A. 4x7_y– 4 _{D. 4x}– 3_y– 4 B. 4x7_y– 2 _{E. 4x}3_y– 4 C. 4x3_y– 3

(3)

4. Diketahui nilai a = 8 , b = 25 , dan c = 81. Nilai 2 1 1 3 2 4 a b c adalah…

A. 10 D. 54

B. 20 E. 60

C. 30

5. Nilai x yang memenuhi persamaan : 2x 3 3 x 5

3  _ 27

adalah…

A. – 8 D. 2

B. – 2 E. 8

C. 0

6. Nilai x yang memenuhi persamaan : 2x 1 5x 2

8  _ 4 

adalah…

A. 6 D. 3

B. 5 E. 2

C. 4

7. Diketahui p = 81, q = 8 , dan r = 16. Nilai dari

2 1

3 4

3 4 2p .q

� �

� _�=…

A. 24 D. 3

B. 12 E.

3 2 C. 6

8. Nilai dari 9log 25. log 33 5  27log3 ... A.

2 _D.

1 3



B. 1

3 _E.

1 2



C. 1 6



9. Bentuk sederhana dari

3 6 2 5 2

(4)

4 ₆

18 _D.

7 ₆ 18 B.

5 ₆

18 _E.

8 ₆ 18 C.

6 ₆ 18

10. Hasil dari 3

3 2

3 7 7

log21 1

log18 6 ... log18 2. log3  log2 

A. 2log7 D. 2

B. 7log2 E. 3

C. 1

11. Nilai 3 8 4 32 2 18







dapat disederhanakan menjadi…

A. 2 2 D. 16 2

B. 5 2 E. 22 2

C. 12 2

12. Jika

2 3

a b 6

2 3

 _{ }

 _{, maka a + b = …}

A. 3 D. – 3

B. 2 E. – 5

C. – 2

13. Nilai 16log2 3log 3 ...

A. 2 D.

1 4



B. 1

2 E.

1 2



C. 1 4

14. Hasil dari



 



2 2

log216 log12  log3

(5)

A. 8 D. 1 2

B. 2 E.

1 4 C.

3 4

15. Jika 3log2 p . Nilai dari 3log4 2 = …

A. 5p D. – 2p

B. 4p E. – 4p

C. 2p

16. Jika 2_{log 3 = m dan}3_{log 5 = n , maka}6_{log 75 =…} A.

2mn m m 1



 _D.

2mn m m 1

 

2n 1 m 1



 _E.





2n 1 n m 1

 

2m 1 n 1

 

17. Diketahui 3log4 p dan log5 q 2  , maka nilai 6log90 ... A.

pq p 4 p 1

 

 _D.

pq q 4 p 1

  

pq p 4 p 2

 

 _E.

pq q 4 q 2

  

pq 4 p 2

 

18. Nilai x yang memenuhi log x + log 2 = 1 adalah…

A. 10 D.

1 2

B. 5 E.

1 4 C. 2

19. Nilai x yang memenuhi persamaan : 2_log2 _{x + 2}2_{log x = 3 adalah…}

(6)

A. – 1 dan 3 D.

1_dan8 2 B. – 3 dan 1 E. 1 saja C.

1 dan2 8

20. Jika a dan b adalah penyelesaian dari persamaan :









_





_

2_{log log x 7 1}2 _{  } 2_{log logx}2 _ 2_{log x 3}_

, maka a .b = ....

A. – 14 D. 5

B. – 5 E. 14