5
BAB II PENGANTAR KENDALI OPTIMAL
A. Teori Kendali Optimal
Banyak aplikasi dari bidang manajemen yang menggunakan teori kendali optimal. Kendali optimal adalah cabang matematika yang digunakan untuk mencari
penyelesaian optimal pada sistem dinamis. Aplikasi kendali optimal pada bidang manajemen seringkali diterapkan pada sistem keuangan, ekonomi, proses produksi dan
penyimpanan, periklanan, dan lain-lain. Dimisalkan variabel
merupakan variabel kondisi state variable dari suatu sistem pada waktu
∈ [ , ], dengan menunjukkan jangkauan waktu time horizon pada suatu sistem. Sebagai contoh,
dapat menyatakan banyaknya penyimpanan suatu barang pada waktu , seberapa populer suatu produk goodwill
pada waktu t, ataupun besarnya sumber daya alam yang tidak dipakai pada waktu . Diasumsikan bahwa ada cara untuk mengendalikan suatu keadaaan pada sistem.
Misalkan adalah variabel kendali dari suatu sistem pada waktu . Sebagai contoh,
dapat menyatakan besarnya tingkat produksi pada waktu , besarnya tingkat periklanan pada waktu , dan lain-lain.
Diberikan variabel kondisi , variabel kendali
, dan persamaan sistem dinamis sebagai berikut:
̇ =
, , ,
= , .
di mana ̇ adalah notasi untuk
yang menyatakan laju perubahan variabel kondisi terhadap waktu , adalah fungsi dari
, , , dan adalah kondisi awal dari variabel kondisi. Variabel kondisi dan kendali digunakan untuk memaksimalkan fungsi
tujuan yang berbentuk integral sebagai berikut: � = ∫
, ,
+ [ , ].
. Pada persamaan
. , bisa menyatakan tentang besarnya keuntungan dikurangi biaya periklanan, besarnya kegunaan dari konsumsi suatu barang, besarnya biaya
minimum pada proses penyimpanan dan produksi, dan lain-lain. pada persamaan . menyatakan besarnya nilai sisa pada kondisi
waktu . Variabel kendali seringkali terbatas, yang dapat dinyatakan sebagai berikut:
∈ � , ∈ [ , ], .
dengan Ω adalah himpunan dari variabel kendali yang memungkinkan pada waktu
. Namun, ada beberapa kendala khusus yang mungkin diperlukan, yaitu: Kendala ketaksamaan campuran
, ,
, ∈ [ , ] .
dengan adalah fungsi dari , dan juga .
Kendala yang hanya melibatkan variabel kondisi: ℎ ,
, ∈ [ , ] .
dengan ℎ adalah fungsi dari dan . Kendala . seringkali disebut dengan kendala
kondisi murni.
Kendala batas dari kondisi akhir :
∈ ,
. dengan
disebut batasan permintaan atau target dari variabel kondisi pada waktu .
B. Contoh-Contoh Kedali Optimal