Kendali
∗
disebut kendali optimal dan
∗
disebut dengan trayektori optimal dengan persamaan kondisi di mana
=
∗
. Nilai optimal dari fungsi tujuan dinotasikan dengan
�
∗
atau �
∗
. Masalah kendali optimal
. disebut dengan persamaan Bolza. Apabila
≡ maka disebut dengan persamaan Lagrange. Apabila diketahui
≡ maka disebut dengan persamaan Mayer. Selain itu, akan disebut persamaan Mayer linier ketika
≡ dan linier, sehingga menjadi,
{ ma�
∈�
{� = }
terhadap ̇ =
, , , =
.
dengan =
, , … , adalah vektor baris dengan dimensi-n yang elemen-
elemennya adalah konstanta-konstanta yang diberikan.
E. Program Dinamik dan Prinsip Maksimum
Sebelum sampai ke dalam Prinsip Maksimum, berikut ini akan dijelaskan terlebih dahulu Persamaan Hamilton-Jacobi-Bellman dan Derivasi Persamaan Adjoin.
E.1. Persamaan Hamilton-Jacobi-Bellman
Misalkan , :
× →
adalah nilai maksimum dari fungsi tujuan dari masalah kendali optimal dengan waktu awal pada kondisi . Dengan begitu,
, = ma�
∈�
∫ ,
, +
, , .
dengan ,
= ,
, , = .
Diasumsikan nilai dari fungsi , ada untuk semua dan pada interval yang
relevan. Selanjutnya, digunakan optimisasi untuk menderivatifkan kondisi pada fungsi , . Pertama, batas integral pada fungsi tujuan � menjadi sampai + ; kedua,
nilai fungsi + , +
pada waktu + . Kendali � harus dipilih agar
terdapat di dalam � � , � [ , + ], dan memaksimalkan integralnya. Agar
mempermudah memahami maksud dari kalimat di atas, berikut ini akan diperlihatkan langkah-langkah untuk mendapatkan bentuk
, yang baru.
, = ma�
∈�
{∫ ,
,
+�
+ ∫ ,
, +
,
+�
}
= ma�
∈�
∫ ,
,
+�
+ ma�
∈�
∫ ,
, +
,
+�
sehingga didapatkan persamaan sebagai berikut , = ma�
∈�
∫ ,
,
+�
+ +
, + .
dengan adalah kenaikan atau penambahan waktu yang sangat kecil. Hal ini
digunakan untuk membandingkan persamaan .
dengan persamaan .
. PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
Karena adalah fungsi kontinu, integral dari persamaan
. dapat
diaproksimasikan , ,
, sehingga dapat ditulis menjadi , = ma�
∈�
{ , ,
+ [ +
, + ]} + .
dengan disebut “little-o” yang menunjukkan koleksi dari suku-suku di dalam
dengan order tinggi. Fungsi :
→ dikatakan order dari
jika lim
‖� ‖→ �
‖� ‖
= . Diasumsikan bahwa fungsi merupakan fungsi yang bisa diturunkan dan kontinu continously differentiable. Maka kita bisa menderetkan Taylor fungsi
terhadap , sehingga didapatkan hasil sebagai berikut:
[ +
, + ] = , + [
�
, ̇ +
, ] + ,
. dengan
�
dan merupakan turunan parsial dari , terhadap dan , serta ̇ yang
diperoleh dari =
+ −
= +
−
lim
� →
= lim
� →
+ −
= ̇ kemudian mensubstitusikan
̇ pada persamaan . ke dalam persamaan . ,
sehingga didapatkan: , = ma�
∈�
{ , ,
+ , +
�
, , ,
+ ,
} + .
. PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
Dengan menghilangkan , pada kedua ruas dan diikuti membagi kedua ruas
dengan didapatkan
= ma�
∈�
{ , , +
�
, , , +
, } + .
. Misalkan
→ maka persamaan di atas berubah menjadi = ma�
∈�
{ , , +
�
, , , +
, } .
dengan batas , =
∈�
∫ ,
, +
,
, =
∈�
∫ ,
, +
, , =
∈�
+ ,
, = , .
. Perlu diingat bahwa vektor
�
, dapat diinterpretasikan sebagai kontribusi marginal dari variabel kondisi untuk memaksimalkan fungsi tujuannya. Disimbolkan
vektor marginal sepanjang lintasan
∗
dengan vektor baris adjoin sebagai
berikut: =
� ∗
, ≔
�
, |
�=�
∗
. .
dengan dapat diinterpretasikan sebagai perubahan kecil fungsi tujuannya sebesar
∗
pada waktu . Selanjutnya akan diberikan bentuk fungsi Hamiltonian, yaitu:
[ , ,
�
, ] = , , +
, , .
atau dapat disederhanakan menjadi, [ , , , ] =
, , + , , .
. Persamaan
. dapat dituliskan kembali menjadi,
= ma�
∈�
[ , ,
�
, + ], .
yang disebut dengan persamaan Hamilton-Jacobi-Bellman atau persamaan HJB. Hamiltonian memaksimalkan kondisi dari prinsip maksimum dapat dihitung dari
persamaan .
dan .
dengan memastikan bahwa, jika
∗
dan
∗
merupakan nilai yang paling optimal dari variabel kondisi dan kendali serta adalah
nilai dari variabel adjoin pada waktu yang bersesuaian, maka kendali optimal
∗
harus memenuhi persamaan .
untuk semua ∈ � ,
[
∗
,
∗
, , ] +
∗
, [
∗
, ,
, ] +
∗
, .
Dengan menghilangkan pada kedua ruas, maka didapatkan
[
∗
,
∗
, , ]
[
∗
, ,
, ] .
untuk semua ∈ � .
Untuk sampai pada prinsip maksimum, ada aspek yang lain yang digunakan untuk menghitung prinsip maksimum, yaitu derivasi persamaan adjoin.
F. Derivasi Persamaan Adjoin
