Program Dinamik dan Prinsip Maksimum

Kendali ∗ disebut kendali optimal dan ∗ disebut dengan trayektori optimal dengan persamaan kondisi di mana = ∗ . Nilai optimal dari fungsi tujuan dinotasikan dengan � ∗ atau � ∗ . Masalah kendali optimal . disebut dengan persamaan Bolza. Apabila ≡ maka disebut dengan persamaan Lagrange. Apabila diketahui ≡ maka disebut dengan persamaan Mayer. Selain itu, akan disebut persamaan Mayer linier ketika ≡ dan linier, sehingga menjadi, { ma� ∈� {� = } terhadap ̇ = , , , = . dengan = , , … , adalah vektor baris dengan dimensi-n yang elemen- elemennya adalah konstanta-konstanta yang diberikan.

E. Program Dinamik dan Prinsip Maksimum

Sebelum sampai ke dalam Prinsip Maksimum, berikut ini akan dijelaskan terlebih dahulu Persamaan Hamilton-Jacobi-Bellman dan Derivasi Persamaan Adjoin. E.1. Persamaan Hamilton-Jacobi-Bellman Misalkan , : × → adalah nilai maksimum dari fungsi tujuan dari masalah kendali optimal dengan waktu awal pada kondisi . Dengan begitu, , = ma� ∈� ∫ , , + , , . dengan , = , , , = . Diasumsikan nilai dari fungsi , ada untuk semua dan pada interval yang relevan. Selanjutnya, digunakan optimisasi untuk menderivatifkan kondisi pada fungsi , . Pertama, batas integral pada fungsi tujuan � menjadi sampai + ; kedua, nilai fungsi + , + pada waktu + . Kendali � harus dipilih agar terdapat di dalam � � , � [ , + ], dan memaksimalkan integralnya. Agar mempermudah memahami maksud dari kalimat di atas, berikut ini akan diperlihatkan langkah-langkah untuk mendapatkan bentuk , yang baru. , = ma� ∈� {∫ , , +� + ∫ , , + , +� } = ma� ∈� ∫ , , +� + ma� ∈� ∫ , , + , +� sehingga didapatkan persamaan sebagai berikut , = ma� ∈� ∫ , , +� + + , + . dengan adalah kenaikan atau penambahan waktu yang sangat kecil. Hal ini digunakan untuk membandingkan persamaan . dengan persamaan . . PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI Karena adalah fungsi kontinu, integral dari persamaan . dapat diaproksimasikan , , , sehingga dapat ditulis menjadi , = ma� ∈� { , , + [ + , + ]} + . dengan disebut “little-o” yang menunjukkan koleksi dari suku-suku di dalam dengan order tinggi. Fungsi : → dikatakan order dari jika lim ‖� ‖→ � ‖� ‖ = . Diasumsikan bahwa fungsi merupakan fungsi yang bisa diturunkan dan kontinu continously differentiable. Maka kita bisa menderetkan Taylor fungsi terhadap , sehingga didapatkan hasil sebagai berikut: [ + , + ] = , + [ � , ̇ + , ] + , . dengan � dan merupakan turunan parsial dari , terhadap dan , serta ̇ yang diperoleh dari = + − = + − lim � → = lim � → + − = ̇ kemudian mensubstitusikan ̇ pada persamaan . ke dalam persamaan . , sehingga didapatkan: , = ma� ∈� { , , + , + � , , , + , } + . . PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI Dengan menghilangkan , pada kedua ruas dan diikuti membagi kedua ruas dengan didapatkan = ma� ∈� { , , + � , , , + , } + . . Misalkan → maka persamaan di atas berubah menjadi = ma� ∈� { , , + � , , , + , } . dengan batas , = ∈� ∫ , , + , , = ∈� ∫ , , + , , = ∈� + , , = , . . Perlu diingat bahwa vektor � , dapat diinterpretasikan sebagai kontribusi marginal dari variabel kondisi untuk memaksimalkan fungsi tujuannya. Disimbolkan vektor marginal sepanjang lintasan ∗ dengan vektor baris adjoin sebagai berikut: = � ∗ , ≔ � , | �=� ∗ . . dengan dapat diinterpretasikan sebagai perubahan kecil fungsi tujuannya sebesar ∗ pada waktu . Selanjutnya akan diberikan bentuk fungsi Hamiltonian, yaitu: [ , , � , ] = , , + , , . atau dapat disederhanakan menjadi, [ , , , ] = , , + , , . . Persamaan . dapat dituliskan kembali menjadi, = ma� ∈� [ , , � , + ], . yang disebut dengan persamaan Hamilton-Jacobi-Bellman atau persamaan HJB. Hamiltonian memaksimalkan kondisi dari prinsip maksimum dapat dihitung dari persamaan . dan . dengan memastikan bahwa, jika ∗ dan ∗ merupakan nilai yang paling optimal dari variabel kondisi dan kendali serta adalah nilai dari variabel adjoin pada waktu yang bersesuaian, maka kendali optimal ∗ harus memenuhi persamaan . untuk semua ∈ � , [ ∗ , ∗ , , ] + ∗ , [ ∗ , , , ] + ∗ , . Dengan menghilangkan pada kedua ruas, maka didapatkan [ ∗ , ∗ , , ] [ ∗ , , , ] . untuk semua ∈ � . Untuk sampai pada prinsip maksimum, ada aspek yang lain yang digunakan untuk menghitung prinsip maksimum, yaitu derivasi persamaan adjoin.

F. Derivasi Persamaan Adjoin

Dokumen baru

PENGARUH PENERAPAN MODEL DISKUSI TERHADAP KEMAMPUAN TES LISAN SISWA PADA MATA PELAJARAN ALQUR’AN HADIS DI MADRASAH TSANAWIYAH NEGERI TUNGGANGRI KALIDAWIR TULUNGAGUNG Institutional Repository of IAIN Tulungagung

103 3181 16

PENGARUH PENERAPAN MODEL DISKUSI TERHADAP KEMAMPUAN TES LISAN SISWA PADA MATA PELAJARAN ALQUR’AN HADIS DI MADRASAH TSANAWIYAH NEGERI TUNGGANGRI KALIDAWIR TULUNGAGUNG Institutional Repository of IAIN Tulungagung

37 799 43

PENGARUH PENERAPAN MODEL DISKUSI TERHADAP KEMAMPUAN TES LISAN SISWA PADA MATA PELAJARAN ALQUR’AN HADIS DI MADRASAH TSANAWIYAH NEGERI TUNGGANGRI KALIDAWIR TULUNGAGUNG Institutional Repository of IAIN Tulungagung

36 708 23

PENGARUH PENERAPAN MODEL DISKUSI TERHADAP KEMAMPUAN TES LISAN SISWA PADA MATA PELAJARAN ALQUR’AN HADIS DI MADRASAH TSANAWIYAH NEGERI TUNGGANGRI KALIDAWIR TULUNGAGUNG Institutional Repository of IAIN Tulungagung

16 461 24

PENGARUH PENERAPAN MODEL DISKUSI TERHADAP KEMAMPUAN TES LISAN SISWA PADA MATA PELAJARAN ALQUR’AN HADIS DI MADRASAH TSANAWIYAH NEGERI TUNGGANGRI KALIDAWIR TULUNGAGUNG Institutional Repository of IAIN Tulungagung

25 614 23

KREATIVITAS GURU DALAM MENGGUNAKAN SUMBER BELAJAR UNTUK MENINGKATKAN KUALITAS PEMBELAJARAN PENDIDIKAN AGAMA ISLAM DI SMPN 2 NGANTRU TULUNGAGUNG Institutional Repository of IAIN Tulungagung

53 1060 14

KREATIVITAS GURU DALAM MENGGUNAKAN SUMBER BELAJAR UNTUK MENINGKATKAN KUALITAS PEMBELAJARAN PENDIDIKAN AGAMA ISLAM DI SMPN 2 NGANTRU TULUNGAGUNG Institutional Repository of IAIN Tulungagung

53 966 50

KREATIVITAS GURU DALAM MENGGUNAKAN SUMBER BELAJAR UNTUK MENINGKATKAN KUALITAS PEMBELAJARAN PENDIDIKAN AGAMA ISLAM DI SMPN 2 NGANTRU TULUNGAGUNG Institutional Repository of IAIN Tulungagung

15 582 17

KREATIVITAS GURU DALAM MENGGUNAKAN SUMBER BELAJAR UNTUK MENINGKATKAN KUALITAS PEMBELAJARAN PENDIDIKAN AGAMA ISLAM DI SMPN 2 NGANTRU TULUNGAGUNG Institutional Repository of IAIN Tulungagung

24 849 30

KREATIVITAS GURU DALAM MENGGUNAKAN SUMBER BELAJAR UNTUK MENINGKATKAN KUALITAS PEMBELAJARAN PENDIDIKAN AGAMA ISLAM DI SMPN 2 NGANTRU TULUNGAGUNG Institutional Repository of IAIN Tulungagung

35 1050 23