Derivasi Persamaan Adjoin PENGANTAR KENDALI OPTIMAL

F. Derivasi Persamaan Adjoin

Derivasi persamaan adjoin didapatkan dari persamaan HJB . . Perlu diingat kembali bahwa ∗ , ∗ memaksimalkan ruas kanan pada persamaan . dan nilai maksimumnya adalah nol. Karenanya, misalkan = ∗ + , . dengan , ∥ ∥ untuk kecil positif. Persamaan . dapat dituliskan kembali sebagai [ ∗ , ∗ , � ∗ , , ] + ∗ , [ , ∗ , � ∗ , , ] + , . . Agar lebih mudah dipahami, persamaan . menjelaskan bahwa ruas kanan dari persamaan . sama dengan nol jika ∗ juga merupakan kendali optimal untuk . Pada umumnya, untuk ≠ ∗ maka ruas kanan tidak akan bernilai nol. Ruas kanan dari persamaan . akan mencapai nilai maksimumnya nol saat = ∗ . Dengan kata lain, apabila ingin mencari fungsi yang paling maksimum maka harus dihitung turunan pertama ruas kanan terhadap , � [ , ∗ , � ∗ , , ] + � , = . . Diasumsikan bahwa merupakan fungsi yang bisa diturunkan dua kali secara kontinu. Dengan menggunakan definisi Hamiltonian pada persamaan . , identitas . , dan fakta bahwa �� = �� , didapatkan � + � � + �� + � = � + � � + �� + � = , . dengan simbol ᵀ merupakan operasi transpose. Persamaan . merupakan langkah terpenting dalam menentukan turunan atau derivasi dari persamaaan adjoin. Untuk menentukan turunan dari persamaan adjoin, dimulai dari menurunkan � , terhadap . Maka, � = � , � , … , � = � � ̇ + � , � � ̇ + � , … , � � � ̇ + � � = ∑ � � � ̇ = , ∑ � � � ̇ = , … , ∑ � � � � ̇ = + � = �� ̇ + � = �� + � . . Karena ruas kanan persamaan . sama dengan dua langkah terakhir pada persamaan . , maka persamaan . menjadi � � = − � − � � . . Pada persamaan . telah didefinisikan = � , jadi persamaan . dapat dituliskan kembali menjadi ̇ = − � − � � . Apabila dilihat kembali, persamaan di atas merupakan hasil dari turunan parsial pada persamaan . tehadap . Karenanya, bentuk dari persamaan adjoin adalah sebagai berikut: ̇ = − � . . Dari definisi pada persamaan . dan kondisi batas pada persamaan . , maka didapatkan kondisi batas akhir terminal boundary condition, = � = , = , = , | �=� = � [ , ]. . Dari definisi Hamiltonian pada persamaan . , persamaan kondisi juga dapat ditulis sebagai ̇ = = � , . Persamaan . dan . dapat dituliskan menjadi sebuah sistem sebagai berikut { ̇ = � , = ̇ = − � , = � [ , ], .

G. Prinsip Maksimum