F. Derivasi Persamaan Adjoin
Derivasi persamaan adjoin didapatkan dari persamaan HJB .
. Perlu diingat kembali bahwa
∗
,
∗
memaksimalkan ruas kanan pada persamaan .
dan nilai maksimumnya adalah nol. Karenanya, misalkan
=
∗
+ ,
. dengan
, ∥
∥ untuk kecil positif. Persamaan
. dapat dituliskan kembali sebagai
[
∗
,
∗
,
� ∗
, , ] +
∗
, [
,
∗
,
� ∗
, , ] + , .
.
Agar lebih mudah dipahami, persamaan .
menjelaskan bahwa ruas kanan dari persamaan
. sama dengan nol jika
∗
juga merupakan kendali optimal untuk
. Pada umumnya, untuk ≠
∗
maka ruas kanan tidak akan bernilai nol. Ruas kanan dari persamaan
. akan mencapai nilai maksimumnya nol saat
=
∗
. Dengan kata lain, apabila ingin mencari fungsi yang paling
maksimum maka harus dihitung turunan pertama ruas kanan terhadap ,
�
[ ,
∗
,
� ∗
, , ] +
�
, = . .
Diasumsikan bahwa merupakan fungsi yang bisa diturunkan dua kali secara kontinu. Dengan menggunakan definisi Hamiltonian pada persamaan
. , identitas
. , dan fakta bahwa
��
=
��
, didapatkan
�
+
� �
+
��
+
�
=
�
+
� �
+
��
+
�
= , .
dengan simbol ᵀ merupakan operasi transpose.
Persamaan .
merupakan langkah terpenting dalam menentukan turunan atau derivasi dari persamaaan adjoin. Untuk menentukan turunan dari persamaan adjoin,
dimulai dari menurunkan
�
, terhadap . Maka,
�
=
�
,
�
, … ,
�
=
� �
̇ +
�
,
� �
̇ +
�
, … ,
�
�
�
̇ +
�
�
= ∑
� �
�
̇
=
, ∑
� �
�
̇
=
, … , ∑
�
�
�
�
̇
=
+
�
=
��
̇ +
�
=
��
+
�
. .
Karena ruas kanan persamaan .
sama dengan dua langkah terakhir pada persamaan
. , maka persamaan
. menjadi
�
�
= −
�
−
� �
. .
Pada persamaan .
telah didefinisikan =
�
, jadi persamaan .
dapat dituliskan kembali menjadi
̇ = −
�
−
� �
. Apabila dilihat kembali, persamaan di atas merupakan hasil dari turunan parsial
pada persamaan .
tehadap . Karenanya, bentuk dari persamaan adjoin adalah sebagai berikut:
̇ = −
�
. .
Dari definisi pada persamaan .
dan kondisi batas pada persamaan .
, maka didapatkan kondisi batas akhir terminal boundary condition,
=
�
= ,
= ,
= ,
|
�=�
=
�
[ , ].
. Dari definisi Hamiltonian pada persamaan
. , persamaan kondisi juga dapat
ditulis sebagai ̇ = =
�
, .
Persamaan .
dan .
dapat dituliskan menjadi sebuah sistem sebagai berikut {
̇ =
�
, =
̇ = −
�
, =
�
[ , ],
.
G. Prinsip Maksimum