Contoh-Contoh Kedali Optimal PENGANTAR KENDALI OPTIMAL

dengan ℎ adalah fungsi dari dan . Kendala . seringkali disebut dengan kendala kondisi murni. Kendala batas dari kondisi akhir : ∈ , . dengan disebut batasan permintaan atau target dari variabel kondisi pada waktu .

B. Contoh-Contoh Kedali Optimal

Berikut ini adalah contoh-contoh kendali optimal pada bidang produksi, periklaan, dan ekonomi. Pada contoh-contoh berikut ini akan ditunjukkan variabel-variabel dan fungsi yang digunakan pada masing-masing bidangnya. Contoh 2.2 Model Periklanan Model periklanan yang akan dibahas pada contoh ini adalah Model Periklanan Nerlove-Arrow. Masalah yang harus diselesaikan adalah menentukan tingkat pengiklanan suatu produk pada waktu . Variabel kondisinya adalah goodwill, , yaitu seberapa populer suatu produk pada waktu . Diasumsikan bahwa ada koefisien lupa forgetting , yang menyatakan seberapa besar pelanggan mulai melupakan suatu produk. Untuk mengatasi masalah tersebut, proses periklanan dilakukan pada tingkat PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI tertentu dan diukur menggunakan variabel kendali . Maka diperoleh persamaan kondisinya sebagai berikut: ̇ = − , dengan = adalah kondisi awal dari goodwill suatu produk. Berikut ini akan diberikan variabel-variabel yang digunakan dalam Model Periklanan Nerlove-Arrow yang akan ditunjukkan pada tabel 1.2: Variabel Kondisi = Goodwill Variabel Kendali = �ingkat periklanan Persamaan Kondisi ̇ = − , = Fungsi Tujuan Memaksimumkan {� = ∫ − [ − ] ∞ } Kendala Kondisi - Kendala Kendali Kondisi Akhir - Fungsi Eksogen = Laba kotor Parameter = Nilai konstan goodwill = �ingkat diskon = Batas atas tingkat periklanan = Nilai awal goodwill Tabel 2.2: Variabel-Variabel Model Periklanan Fungsi tujuan � memerlukan kajian khusus. Perlu diperhatikan bahwa fungsi J akan diintegralkan dari waktu = ke waktu → ∞; karena memiliki batas waktu atas ∞ maka disebut dengan horizon tak hingga infinite horizon problem. Karenanya, integran dari fungsi tujuan tersebut memuat faktor diskonto − , dengan adalah tingkat diskon konstan. Sisa integran di fungsi tujuan terdiri dari tingkat laba kotor . Tingkat goodwill pada waktu t dikurangi biaya iklan yang diasumsikan sebanding dengan faktor proporsionalitas = 1; dengan demikian − adalah tingkat laba bersih pada waktu t. Begitu juga [ − ] − adalah nilai sekarang dari tingkat keuntungan pada waktu t. Oleh karena itu, J dapat diartikan keuntungan masa depan dan hasil yang ingin kita maksimalkan. Ada kendala kendali mana adalah batas atas tingkat periklanan. Namun, tidak ada kendala kondisi, karena goodwill tidak pernah bernilai negatif. ∎ Agar lebih mudah dimengerti, berikut akan diberikan contoh pengaplikasian kendali optimal pada kasus periklanan. Misalkan = √ , = . , = . , = , dan = . Diberikan = . untuk . Buktikan bahwa konstan untuk setiap . Hitunglah nilai dari fungsi tujuan �. Penyelesaian: Seperti yang telah diketahui, persamaan kondisi dari model periklanan adalah ̇ = − , = . Kemudian masing-masing kondisi yang telah diberikan dalam soal disubstitusikan ke dalam persamaan tersebut, menjadi: ̇ = . − . Karena diketahui kondisi awal = , maka informasi ini dapat dibawa ke dalam persamaan ̇ , sehingga diperoleh: ̇ = . − . ̇ = . − . = . − . = Selanjutnya, ̇ + . = . Untuk membuktikan bahwa konstan, maka dicari faktor integral yaitu sebagai berikut: = ∫ � = ∫ . 5 = . 5 Kemudian faktor integral tersebut disubstitusikan ke dalam persamaan menjadi: ̇ + . = . ̇ . 5 + . . 5 = . . 5 [ . 5 ] = . . 5 ∫ [ . 5 ] = ∫ . . 5 . 5 = . . . 5 + PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI . 5 = . 5 + = . 5 + . 5 = + − . 5 . Karena = , maka: = + = + = Jadi, terbukti = konstan untuk semua . Selanjutnya nilai dari fungsi tujuan � dapat dihitung menggunakan informasi- informasi yang sudah didapatkan di atas. � = ∫ − [ − ] ∞ = ∫ − . [ √ − . ] ∞ = ∫ − . [ √ − . ] ∞ = ∫ − . [ . ] ∞ = . ∫ − . ∞ = . [− . − . ] ∞ = . [− . −∞ − − . ] = . + � = Jadi, didapatkan � = . Gambar 2.1. Grafik Nerlove-Arrow Dari Contoh Di Atas Permasalahan lain misalkan menyatakan banyaknya orang yang mengetahui suatu produk. menyatakan populasi, maka − adalah banyaknya orang yang tidak mengetahui suatu produk. Jika menyatakan besarnya laju periklanan pada waktu , diasumsikan bahwa − menyatakan laju kenaikan dari karena proses periklanan. Buatlah model baru dari persamaan kondisi berdasarkan informasi- informasi tersebut Penyelesaian: ̇ = [ − ] − , = memaksimalkan � = ∫ − [ − ] . ∞ Berikut akan diberikan ilustrasi numerisnya. Misalkan = , = = , = √ , = . , = . , = , dan = . untuk . Maka, ̇ = [ − ] − , = = . [ − ] − . ∗ = − = . Jadi, perubahan goodwill terhadap waktu sebesar orang. Dengan menggunakan informasi-informasi di atas, dapat dihitung nilai dari fungsi tujuan �. � = ∫ − [ − ] . ∞ = ∫ − . [ √ − . ] ∞ = ∫ − . [ . ] ∞ = . ∫ − . ∞ = . [− . − . ] ∞ = . [− . −∞ − − . ] = . + � = . ∎

C. Notasi dan Konsep