dengan ℎ adalah fungsi dari dan . Kendala . seringkali disebut dengan kendala
kondisi murni.
Kendala batas dari kondisi akhir :
∈ ,
. dengan
disebut batasan permintaan atau target dari variabel kondisi pada waktu .
B. Contoh-Contoh Kedali Optimal
Berikut ini adalah contoh-contoh kendali optimal pada bidang produksi, periklaan, dan ekonomi. Pada contoh-contoh berikut ini akan ditunjukkan variabel-variabel dan
fungsi yang digunakan pada masing-masing bidangnya.
Contoh 2.2 Model Periklanan
Model periklanan yang akan dibahas pada contoh ini adalah Model Periklanan Nerlove-Arrow. Masalah yang harus diselesaikan adalah menentukan tingkat
pengiklanan suatu produk pada waktu . Variabel kondisinya adalah goodwill, ,
yaitu seberapa populer suatu produk pada waktu . Diasumsikan bahwa ada koefisien lupa forgetting , yang menyatakan seberapa besar pelanggan mulai melupakan suatu
produk. Untuk mengatasi masalah tersebut, proses periklanan dilakukan pada tingkat PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
tertentu dan diukur menggunakan variabel kendali . Maka diperoleh persamaan
kondisinya sebagai berikut:
̇ =
− ,
dengan =
adalah kondisi awal dari goodwill suatu produk. Berikut ini akan diberikan variabel-variabel yang digunakan dalam Model
Periklanan Nerlove-Arrow yang akan ditunjukkan pada tabel 1.2:
Variabel Kondisi =
Goodwill Variabel Kendali
= �ingkat periklanan Persamaan Kondisi
̇ =
− ,
= Fungsi Tujuan
Memaksimumkan {� = ∫
−
[ −
]
∞
} Kendala Kondisi
- Kendala Kendali
Kondisi Akhir -
Fungsi Eksogen = Laba kotor
Parameter = Nilai konstan goodwill
= �ingkat diskon = Batas atas tingkat periklanan
= Nilai awal goodwill Tabel 2.2: Variabel-Variabel Model Periklanan
Fungsi tujuan � memerlukan kajian khusus. Perlu diperhatikan bahwa fungsi J
akan diintegralkan dari waktu = ke waktu → ∞; karena memiliki batas waktu
atas ∞ maka disebut dengan horizon tak hingga infinite horizon problem. Karenanya,
integran dari fungsi tujuan tersebut memuat faktor diskonto
−
, dengan adalah
tingkat diskon konstan. Sisa integran di fungsi tujuan terdiri dari tingkat laba kotor . Tingkat goodwill
pada waktu t dikurangi biaya iklan yang diasumsikan sebanding dengan
faktor proporsionalitas = 1; dengan demikian −
adalah tingkat laba bersih pada waktu t. Begitu juga [
− ]
−
adalah nilai sekarang dari tingkat keuntungan pada waktu t. Oleh karena itu, J dapat diartikan
keuntungan masa depan dan hasil yang ingin kita maksimalkan. Ada kendala kendali mana adalah batas atas tingkat periklanan. Namun, tidak ada kendala
kondisi, karena goodwill tidak pernah bernilai negatif.
∎ Agar lebih mudah dimengerti, berikut akan diberikan contoh pengaplikasian
kendali optimal pada kasus periklanan. Misalkan = √ , = . , =
. , = , dan = . Diberikan
= . untuk . Buktikan bahwa
konstan untuk setiap . Hitunglah nilai dari fungsi tujuan �.
Penyelesaian:
Seperti yang telah diketahui, persamaan kondisi dari model periklanan adalah ̇
= −
, =
. Kemudian masing-masing kondisi yang telah diberikan dalam soal disubstitusikan ke dalam persamaan tersebut, menjadi:
̇ = . − .
Karena diketahui kondisi awal =
, maka informasi ini dapat dibawa ke dalam persamaan ̇
, sehingga diperoleh: ̇
= . − . ̇
= . − . = . − . =
Selanjutnya, ̇
+ . = .
Untuk membuktikan bahwa konstan, maka dicari faktor integral
yaitu sebagai berikut:
=
∫ �
=
∫ . 5
=
. 5
Kemudian faktor integral tersebut disubstitusikan ke dalam persamaan menjadi:
̇ + .
= . ̇
. 5
+ .
. 5
= .
. 5
[
. 5
] = .
. 5
∫ [
. 5
] = ∫ .
. 5
. 5
= . .
. 5
+ PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
. 5
=
. 5
+ =
. 5
+
. 5
= +
− . 5
. Karena
= , maka:
= +
= +
= Jadi, terbukti
= konstan untuk semua .
Selanjutnya nilai dari fungsi tujuan � dapat dihitung menggunakan informasi-
informasi yang sudah didapatkan di atas. � = ∫
−
[ −
]
∞
= ∫
− .
[ √ − . ]
∞
= ∫
− .
[ √ − . ]
∞
= ∫
− .
[ . ]
∞
= . ∫
− . ∞
= . [− .
− .
]
∞
= . [− .
−∞
− − . ] = .
+ � =
Jadi, didapatkan � =
.
Gambar 2.1. Grafik Nerlove-Arrow Dari Contoh Di Atas
Permasalahan lain misalkan menyatakan banyaknya orang yang mengetahui
suatu produk. menyatakan populasi, maka − adalah banyaknya orang yang tidak
mengetahui suatu produk. Jika menyatakan besarnya laju periklanan pada waktu
, diasumsikan bahwa − menyatakan laju kenaikan dari karena proses
periklanan. Buatlah model baru dari persamaan kondisi berdasarkan informasi- informasi tersebut
Penyelesaian:
̇ =
[ − ] − ,
= memaksimalkan
� = ∫
−
[ −
] .
∞
Berikut akan diberikan ilustrasi numerisnya. Misalkan =
, =
= ,
= √ , = . , = . , =
, dan = . untuk
. Maka,
̇ =
[ − ] − ,
= = . [
− ] − . ∗
= −
= .
Jadi, perubahan goodwill terhadap waktu sebesar orang. Dengan menggunakan
informasi-informasi di atas, dapat dihitung nilai dari fungsi tujuan �.
� = ∫
−
[ −
] .
∞
= ∫
− .
[ √ − . ]
∞
= ∫
− .
[ . ]
∞
= . ∫
− . ∞
= . [− .
− .
]
∞
= . [− .
−∞
− − . ] =
. +
� = . ∎
C. Notasi dan Konsep