, h
r I
I
Diketahui r = 15 cm, h = 20 cm,
det 5
, 0 cm
t r
,
det 1 cm
t h
Dengan definisi turunan total
, h
r I
I
dengan r dan h bergantung pada waktu t, maka diperoleh
dt dh
h I
dt dr
r I
dt dI
dt dh
r dt
dr rh
2
2
det
1 15
det 5
, 20
15 2
2
cm cm
cm cm
cm
det 225
det 300
3 3
cm cm
det 75
3
cm
Soal-soal 1. Tentukan turunan total fungsi berikut:
a. z = Ln x
2 2
y
jika x = e
dan
t
y = e
t
b. u = x
2 2
2
2 2
z y
jika x =
t p cos
sin
, y =
p z
dan t
p cos
sin sin
2.5 Turunan Parsial Fungsi Implisit
Turunan parsial fungsi juga dapat dilakukan untuk fungsi-fungsi yang ditulis dalam bentuk implisit. Misal
,
y x
f
adalah fungsi implisit maka untuk menentukan turunan parsialnya dapat dilakukan
dengan menggunakan kaidah diferensial totalf Karena
,
y x
f
maka
, d
y x
df
Sehingga
dy y
y x
f dx
x y
x f
,
,
= 0 Dengan membagi masing-masing bagian dengan dx, diperoleh:
Kalkulus Peubah Banyak : Dwi Purnomo-
40
, ,
dx
dy y
y x
f x
y x
f
x y
x f
dx dy
y y
x f
,
,
y y
x f
x y
x f
dx dy
,
,
Contoh 1 Tentukan
dy dx
dan dx
dy
bila diketahui
sin ,
y
e xy
y x
f
x
akan dicari
dx dy
, menurut definisi turunan total
y y
x f
x y
x f
dx dy
, ,
y e
x y
e y
x x
cos sin
x y
x f
y y
x f
dy dx
, ,
y e
y y
e x
x x
sin cos
2 Tentukan
dari dy
dx dan
dx dy
arctan ln
,
2 2
x y
y x
y x
f
y y
x f
x y
x f
dx dy
, ,
2 2
2 2
2 2
y x
x y
y x
y x
y x
y x
2 2
Kalkulus Peubah Banyak : Dwi Purnomo-
41
x y
x f
y y
x f
dy dx
, ,
y x
y x
2 2
Sebagaimana telah dibahas sebelumnya bahwa fungsi dua peubah secara implisit dinyatakan dengan
, ,
z
y x
f
.
Contoh 1.
xz
yz xy
2.
sin
y
x e
xy
3.
25
2 2
2
z y
x
a. Turunan Fungsi Implisit 2 Peubah
Fungsi Implisit 2 peubah secara umum dinyatakan dalam bentuk
, ,
z
y x
f
Dengan menggunakan diferensial total Andaikan
, ,
z y
x f
W
maka
, ,
d z
y x
df
, ,
, ,
, ,
dz
z z
y x
F dy
y z
y x
F dx
x z
y x
F
Jika masing masing bagian dibagi dx akan diperoleh
, ,
, ,
, ,
dx
dz z
z y
x F
dx dy
y z
y x
F x
z y
x F
Karena akan dicari turunan fungsi terhadap x, maka
dx
dy
. Dan karena fungsi lebih dari satu variabel maka turunan terhadap x
dinyatakan dengan
x z
, sehingga:
, ,
, ,
x z
z z
y x
F x
z y
x F
Kalkulus Peubah Banyak : Dwi Purnomo-
42
x z
y x
F x
z z
z y
x F
,
, ,
,
z z
y x
F x
z y
x F
x z
,
, ,
,
Dengan menurunkan terhadap z dan menentukan
z y
diperoleh
, ,
, ,
z
z y
x F
z y
y z
y x
F
z z
y x
F z
y z
z y
x F
,
, ,
,
y z
y x
F x
z y
x F
x y
,
, ,
,
Dengan menurunkan terhadap y dan menentukan
y x
diperoleh
, ,
, ,
y
z y
x F
y x
x z
y x
F
y z
y x
F y
x x
z y
x F
,
, ,
,
x z
y x
F y
z y
x F
y x
,
, ,
,
Sehingga turunan pertama fungsi implisit
, ,
z
y x
f
adalah
y x
z x
x z
y z
dan x
y
z
y
Contoh 1. Tentukan
y x
dari
xz
yz xy
Jawab Karena
, ,
xz yz
xy z
y x
f
Kalkulus Peubah Banyak : Dwi Purnomo-
43
Maka
z y
x y
y x
f
,
,
dan
z x
y y
y x
f
,
,
, sehingga menurut definisi turunan fungsi implisit 2 peubah
x z
y x
F y
z y
x F
y x
, ,
, ,
z y
z x
2. Tentukan
z x
dari
sin
x
y z
e
xyz
Jawab Karena
sin ,
,
x y
z e
z y
x f
xyz
Maka
y y
x z
e yz
x y
y x
f
xyz
1 cos
, ,
dan
y x
e xy
z y
y x
f
xyz
sin ,
,
, sehingga menurut definisi turunan fungsi implisit 3 peubah
x z
y x
F z
z y
x F
z x
, ,
, ,
y x
e xy
y x
y z
e yz
xyz xyz
sin cos
3. Tentukan
y z
dari
25
2 2
2
z y
x
Jawab Karena
25 ,
,
2 2
2
z
y x
z y
x f
Kalkulus Peubah Banyak : Dwi Purnomo-
44
Maka
z z
y y
x f
2 ,
,
dan
y y
y y
x f
2 ,
,
, sehingga menurut definisi turunan fungsi implisit 3 peubah
z z
y x
F y
z y
x F
y z
, ,
, ,
z y
2 2
z y
b. Turunan parsial fungsi implisit 4 peubah
