5
3 2
2
3 2
y x
xy z
6
x
y z
arctan
7
xy
e xy
z 2
sin
8
2
2 arcsin
x y
z
9
2 2
2 sin
2 cos
y x
x y
z 10
2 2
1 y
x z
2.3 Differensial Total
Misal
, y
x F
z
adalah suatu fungsi yang dapat diturunkan terhadap variable x dan y. Secara berturut-turut dapat diperoleh
turunan parisal terhadap x dan turunan parsial terhadap y. Keduanya dinyatakan oleh:
x y
x F
x z
,
------------- 1 dan
y y
x F
y z
,
------------- 2 Dari 1 dan 2 diperoleh:
dx x
y x
F dz
,
dan
dy y
y x
F dz
,
Jumlah diferensialnya diperoleh:
dy y
y x
F dx
x y
x F
,
,
Bentuk di atas disebut diferensial total. Dengan demikian jika
, y
x F
z
,maka diferensial totalnya adalah:
dy y
y x
F dx
x y
x F
dz
,
,
Analog, jika
, ,
z y
x F
W
maka diferensial totalnya adalah:
dz z
z y
x F
dy y
z y
x F
dx x
z y
x F
dw
, ,
, ,
, ,
Kalkulus Peubah Banyak : Dwi Purnomo-
33
Contoh. 1
Tentukan diferensial total fungsi
2 3
2xy y
x z
Jawab
xy x
y z
xy y
x x
z 4
, 3
3 2
2
sehingga diferensial total fungsi
2 3
2xy y
x z
adalah
xy x
dx xy
y x
dz 4
3
3 2
2
2 Tentukan turunan parsial fungsi
2 2
y x
x z
Jawab
2 2
2 2
2 2
1 y
x y
x x
x y
x x
z
2 2
2 2
2 2
2
y x
y x
x y
x
2 2
2 2
2
y x
y x
y
2 2
2 2
2 2
y x
y x
y x
y x
y z
2 2
2 2
y x
y x
xy
sehingga diferensial total fungsi
2 2
y x
x z
adalah
dy y
x y
x xy
dx y
x y
x y
dz
2 2
2 2
2 2
2 2
2
Kalkulus Peubah Banyak : Dwi Purnomo-
34
dy y
x y
x xy
dx y
x y
x y
2 2
2 2
2 2
2 2
2
3 Dengan menggunakan diferensial total, hitunglah
2 2
2
97 ,
99 ,
1 01
, 2
Jawab Langkah pertama yang harus ditetapkan fungsinya, dalam hal
2 2
2
97 ,
99 ,
1 01
, 2
2 2
2
z y
x W
Pilih x = 2, y = 2 dan z = 1 sehingga W =
2 2
2
1 2
2
= 3 Karena akan dihitung
2 2
2
97 ,
99 ,
1 01
, 2
maka: x +
x
= 2,01 sehingga
1 ,
x
x +
y
= 1,99 sehingga
1 ,
x
x + z = 0,97 sehingga
3 ,
x
dengan menggunakan definisi diferensial total W = Fx,y,z maka
dz z
z y
x F
dy y
z y
x F
dx x
z y
x F
dW
, ,
, ,
, ,
03 ,
3 1
01 ,
3 2
1 ,
3 2
= -0,01 Akhirnya diperoleh
2 2
2
97 ,
99 ,
1 01
, 2
= 3 + -0,01 = 2,99 4
Suatu segitiga siku-siku panjang sisi-sisi penyikunya 15 cm dan 20 cm. Bila sisi panjang dipendekkan
cm 16
5
dan kaki pendek
dipanjangkan
cm 8
5
. Dengan menggunakan differensial tentukan perubahan panjang sisi miringnya.
Jawab Misal x : sisi pendek, y : sisi panjang, dan r : sisi miring maka
berlaku
2 2
y x
r
. Berdasarkan definisi diferensial total diperoleh
Kalkulus Peubah Banyak : Dwi Purnomo-
35
dy y
r dx
x r
dr
dimana dr r
, dx
x
, dx
y
didapat
y y
r x
x r
r
y y
x y
x y
x x
2 2
2 2
2 2
2 2
16
5 20
15 20
8 5
20 15
15
2 2
2 2
16 5
25 20
8 5
25 15
cm 8
1
Hal ini berarti sisi miring dipanjangkan
. 8
1 cm
Soal-soal 1 Dengan menggunakan diferensial total, hitunglah
a
3 2
2 2
99 ,
01 ,
1 98
,
b Suatu tempat berbentuk kotak dengan dimensi 2,02 m, 1,97
m, dan 0,99 m. Dengan menggunakan differensial tentukan panjang diagonal ruang kotak tersebut.
c Suatu kotak alasnya persegi dengan panjang sisi 8,005 dm
dan tingginya 9,996 dm. Hitung volume dan luas permukaannya.
2 Dekatilah luas persegi panjang yang berdimensi 35,02 cm, 24,97 cm.
3 Daya yang dibutuhkan oleh resistor listrik dinyatakan dengan P=
R E
2
watt. Jika E = 200 volt dan R = 8 Ohm. Dengan berapa besar daya berubah jika E menyusut 5 volt dan R menyusut dengan 2
Ohm.
Kalkulus Peubah Banyak : Dwi Purnomo-
36
2.4 Turunan Total
