BAB II TURUNAN PARSIAL
2.1 Fungsi dua Peubah atau Lebih
Fungsi dua peubah atau lebih dapat ditulis dalam bentuk eksplisit atau implisit. Jika fungsi dua peubah dinyatakan dalam
bentuk eksplisit, maka penulisannya secara umum dinyatakan dengan
, y
x F
z
. Sebaliknya jika fungsi dua peubah dinyatakan dalam bentuk implisit, maka penulisannya dinyatakan dengan
, ,
z
y x
F
Contoh: 1.
y x
y x
F y
x z
2
, 2
2.
2 2
4 2
ln ,
2 ln
y x
y x
F y
x z
3.
y x
z sin
sin 2
1 2
1
4.
yz
xz xy
5.
sin
y
e xy
x
6.
arctan ln
2 2
x
y y
x
7.
2 arctan
z x
y
Berdasarkan contoh di atas, fungsi yang ditulis dalam bentuk eksplisit adalah 1,2, dan 3. Sedangkan contoh 4, 5, 6, dan 7 adalah
fungsi yang ditulis dalam bentuk implisit. Semua fungsi dalam bentuk eksplisit dengan mudah dapat dinyatakan dalam bentuk implisit. Akan
tetapi tidak semua fungsi dalam bentuk implisit dapat dinyatakan dalam bentuk eksplisit.
Untuk menggambar kurva fungsi dua peubah dapat dengan membuat sumbu-sumbu koordinat, yaitu sumbu x, sumbu y, dan
sumbu z, sehingga pada sumbu tersebut membentuk ruang dan masing-masing ruang disebut oktan .
Kalkulus Peubah Banyak : Dwi Purnomo-
22
Oktan I adalah ruang dengan x0, y, dan z0 Oktan II adalah ruang dengan x0, y0, dan z0
Oktan III adalah ruang denganx0, y0, dan z0 Oktan IV adalah ruang dengan x0, y0, dan z0
Oktan V adalah ruang dengan x0, y, dan z0 Oktan VI adalah ruang dengan x0, y0, dan z0
Oktan VII adalah ruang denganx0, y0, dan z0 Oktan VIII adalah ruang dengan x0, y0, dan z0
Berdasarkan oktan-oktan tersebut, dapat digambarkan sebarang titik Px
1
,y
1
,z
1
atau kurva ruang dengan persamaan
, y
x F
z
Perhatikan gambar berikut.
Pada gambar di atas
, ,
1 1
1
z y
x P
adalah sebarang titik pada oktan I, dengan menggunakan kaidah dan teorema Pythagoras dapat
ditentukan panjang OP sebagai
2 1
2 1
2 1
z y
x OP
Dengan cara yang sama, jika
, ,
1 1
1
z y
x P
dan
, ,
2 2
2
z y
x Q
maka panjang PQ dinyatakan dengan
2 1
2 2
1 2
2 1
2
z z
y y
x x
PQ
Kalkulus Peubah Banyak : Dwi Purnomo-
23 X
Z
Y
, ,
1 1
1
z y
x P
1
x
1
z
1
y
Selanjutnya, misal
, y
x F
z
maka dapat ditentukan gambar kurva ruang.
Contoh Dalam ruang dimensi tiga R
3
gambarlah kurva ruang
y x
z 4
3 12
Untuk menggambar kurva ruang dengan persamaan
, y
x F
z
langkah yang ditempuh adalah menentukan titik potong kurva dengan masing-masing sumbu.
Jika x = 0 dan y = 0 maka z = 12, hal ini berarti kurva ruang memotong sumbu z di titik 0,0.12
Jika y = 0, z = 0 maka x = 4, hal ini berarti kurva ruang memotong sumbu x dititik 4,0,0.
Jika x = 0, z = 0 maka y = 3, hal ini berarti kurva ruang memotong sumbu y dititik 0,3,0.
Sehingga diperoleh:
Gambar di atas, adalah kurva ruang di oktan I. Kurva ruang di oktan yang lain dibayangkan sebagai ruang maya.
Sebagai latihan bagi pembaca, gambarlah kurva ruang dengan persamaan:
1
2 2
1 y
x z
2
y z
1
Kalkulus Peubah Banyak : Dwi Purnomo-
24
12 ,
, P
3 ,
, R
4 ,
, Q
3
x z
2
4
36 4
3 3
z
y z
5
2
1 x z
6
2
4 y
z
2.2 Turunan Parsial Fungsi Dua atau lebih
Kategori