bab ii turunan parsial revisi

BAB II

TURUNAN PARSIAL 2.1 Fungsi dua Peubah atau Lebih

Fungsi dua peubah atau lebih dapat ditulis dalam bentuk eksplisit atau implisit. Jika fungsi dua peubah dinyatakan dalam bentuk eksplisit, maka penulisannya secara umum dinyatakan dengan z F(x,y)_{. Sebaliknya jika fungsi dua peubah dinyatakan} dalam bentuk implisit, maka penulisannya dinyatakan dengan

0 ) , ,

(x y z 

F

Contoh:

1. z2xy F(x,y)2x y

2. _zlnx2 _{ 2y}4 _{ F(x,y)lnx}2 _y2

3. z _{x y}

sin sin 2

1 2

1

 



4. xyxz yz0 5. xy exsiny0

6. ln 2 _ 2 _ arctan _0 x y y

x

7. arctan  2z 0 x

y

Berdasarkan contoh di atas, fungsi yang ditulis dalam bentuk eksplisit adalah 1,2, dan 3. Sedangkan contoh 4, 5, 6, dan 7 adalah fungsi yang ditulis dalam bentuk implisit. Semua fungsi dalam bentuk eksplisit dengan mudah dapat dinyatakan dalam bentuk implisit. Akan tetapi tidak semua fungsi dalam bentuk implisit dapat dinyatakan dalam bentuk eksplisit.

Untuk menggambar kurva fungsi dua peubah dapat dengan membuat sumbu-sumbu koordinat, yaitu sumbu x, sumbu y, dan sumbu z, sehingga pada sumbu tersebut membentuk ruang dan masing-masing ruang disebut oktan .

Oktan I adalah ruang dengan x>0, y>, dan z>0 Oktan II adalah ruang dengan x>0, y<0, dan z>0 Oktan III adalah ruang denganx<0, y<0, dan z>0 Oktan IV adalah ruang dengan x<0, y>0, dan z>0 Oktan V adalah ruang dengan x>0, y>, dan z<0 Oktan VI adalah ruang dengan x>0, y<0, dan z<0 Oktan VII adalah ruang denganx<0, y<0, dan z<0 Oktan VIII adalah ruang dengan x<0, y>0, dan z<0

Berdasarkan oktan-oktan tersebut, dapat digambarkan sebarang titik P(x1,y1,z1 ) atau kurva ruang dengan persamaan z F(x,y)

Perhatikan gambar berikut.

Pada gambar di atas P(x1,y1,z1)adalah sebarang titik pada oktan I, dengan menggunakan kaidah dan teorema Pythagoras dapat ditentukan panjang OP sebagai

2 1 2 1 2

1 y z

x

OP  

Dengan cara yang sama, jika P(x1,y1,z1)dan Q(x2,y2,z2)maka

panjang PQ dinyatakan dengan 2

1 2 2 1 2 2 1

2 ) ( ) ( )

(x x y y z z

PQ     

X Z

Y

) , , (x1 y1 z1

P

1 x

1 z

1 y

Selanjutnya, misal zF(x,y)_{maka dapat ditentukan gambar kurva} ruang.

Contoh

Dalam ruang dimensi tiga (R3_{) gambarlah kurva ruang z 12 3x 4y}

Untuk menggambar kurva ruang dengan persamaan z F(x,y) langkah yang ditempuh adalah menentukan titik potong kurva dengan masing-masing sumbu.

Jika x = 0 dan y = 0 maka z = 12, hal ini berarti kurva ruang memotong sumbu z di titik (0,0.12)

Jika y = 0, z = 0 maka x = 4, hal ini berarti kurva ruang memotong sumbu x dititik (4,0,0).

Jika x = 0, z = 0 maka y = 3, hal ini berarti kurva ruang memotong sumbu y dititik (0,3,0).

Sehingga diperoleh:

Gambar di atas, adalah kurva ruang di oktan I. Kurva ruang di oktan yang lain dibayangkan sebagai ruang maya.

Sebagai latihan bagi pembaca, gambarlah kurva ruang dengan persamaan:

1) _{z1 x}2 _{ y}2

2) z 1 y

) 12 , 0 , 0 ( P

) 3 , 0 , 0 ( R

) 4 , 0 , 0 ( Q

3) z2 x

4) 3z3y4z36 5) _{z 1 x}2

6) _{z4 y}2

2.2 Turunan Parsial Fungsi Dua atau lebih

Misal zF(x,y) _{adalah fungsi dengan variabel bebas x dan y.} Karena x dan y variable bebas maka terdapat beberapa kemungkinan yaitu:

1. y dianggap tetap, sedangkan x berubah-ubah. 2. x dianggap tetap, sedangkan y berubah-ubah 3. x dan y berubah bersama-sama sekaligus.

Pada kasus 1 dan 2 diatas mengakibatkan fungsinya menjadi fungsi satu peubah, sehingga fungsi tersebut dapat diturunkan dengan menggunakan definisi turunan pertama yang telah dipelajari pada kalkulus diferensial.

Definisi

Misal zF(x,y)_{adalah fungsi dua peubah yang terdefinisi pada} interval tertentu, turunan parsial pertama z terhadap x dan y dinotasikan dengan

x z

 

dan __yz dan didefinisikan oleh

x

y x F y x x F x

z

x _

   

 

 

) , ( ) , (

lim

0 , asalkan limitnya ada

dan

y

y x F y y x F y

z

y _

   

 

 

) , ( ) ,

( lim

0 , asalkan limitnya ada

Contoh :

1 Tentukan

x z

 

Jawab x y x F y x x F x z x _         ) , ( ) , ( lim 0 x y x y x x x _         2 2 2 2 0 ) ( lim 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2

0 _{( )}

) ( . ) ( lim y x y x x y x y x x x y x y x x

x _{   }

              .



2 2 2 2



2 2 2 2

0 _{( )}

) ( ) ( lim y x y x x x y x y x x

x _{    }

       

_

_{2 2 2 2}

_

2 2 2 2 2

0 _{( )}

) ( 2 lim y x y x x x y x y x x x x

x _{    }

          2 2 2 2 2

0 _{( )}

2 lim y x y x x x x x x

x _{    }

      2 2 2 2

0 _{( )}

2 lim y x y x x x x

x _{   }

     2 2 2 2 y x x   2 2 _y x x   y y x F y y x F y z y _         ) , ( ) , ( lim 0 x y x y y x y _         2 2 2 2 0 ) ( lim 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2

0 _{( )}

) ( . ) ( lim y x y y x y x y y x x y x y y x

x _{   }

              . 2 2 2 2 2 2 2 2

0 _{( )}

) ( ) ( lim y x x y y x x y x y y x

x _{    }

       

2 2 2 2 2 2 2 2 2

0 _{( )}

) ( 2 lim y x x y y x x y x y y y y x

x _{    }

          2 2 2 2 2

0 _{( )}

2 lim y x y y x x y y y

x _{    }

      2 2 2 2

0 _{( )}

2 lim y x y y x y y x           2 2 2 2 y x y   2 2 _y x y   2 Tentukan x z  

dan __yz dari zsin(xy) Jawab x y x F y x x F x z x _         ) , ( ) , ( lim 0 x y x y x x x _         ) ( sin ) sin( lim 0 x y x y x x y x y x x x _              ) ( 2 1 sin ) ( 2 1 cos 2 lim 0 x x x y x x _        2 sin ) 2 cos( lim 2 0                             x x x y x x x 2 sin lim 2 cos lim 2 0 0 2 1 2 2 sin lim 2 cos lim 2 0 0                             x x x y x x x         2 1 ) 1 )( cos(

2 x y

) cos(x y



y

y x F y y x F y

z

y _

   

 

 

) , ( ) ,

( lim

0

y

y x y

y x

y _

 

   

 

) ( sin ) sin(

lim 0

y

y x y y x y

x y y x

y _

     

    

 

) (

2 1 sin ) (

2 1 cos 2 lim

0

y

y y

y x

y _

 

  

 

2 sin ) 2 cos(

lim 2

0

      

    

  

  



 

  

  

 y

y y

y x

y y

2 sin lim 2 cos

lim 2

0 0

2 1

2 2 sin lim 2 cos

lim 2

0 0

   

 

   

 

  

  



 

  

  

 y

y y

y x

y y

       

2 1 ) 1 )( cos(

2 x y

) cos(x y



Untuk memudahkan dalam menentukan turunan parcial dapat dilakukan dengan menggunakan metode sederhana sebagai berikut. Andaikan zF(x,y) _{maka untuk menentukan}

x z

 

sama artinya dengan menurunkan variabel x dan variabel y dianggap konstan dan selanjutnya y diturunkan. Demikian pula untuk menentukan __yz sama artinya dengan menurukan variable y dan variable x dianggap konstant lalu diturunkan.

Dengan cara yang sama, andaikan W F(x,y,z) _{adalah fungsi} tiga peubah yang terdefinisi dalam selang tertentu maka turunan parsial pertama dinyatakan dengan _W_x ,_W_{y , dan}

z W

 

x

z y x F z y x x F x

W

x _

 

 

 

 

) , , ( ) , , (

lim

0

y

z y x F z y y x F y

W

x _

   

 

 

) , , ( ) , ,

( lim

0

z

z y x F z z y x F z

W

z _

   

 

 

) , , ( ) ,

, ( lim

0

Asalkan limitnya ada.

Selain menggunakan definisi di atas, maka turunan parsial fungsi dua peubah juga dapat dilakukan dengan metode sederhana.

Misal z F(x,y)_, x z

 

berarti x adalah variable dan y konstanta

sedangkan __yz berarti y variabel dan x konstanta. Demikian pula,

misal W F(x,y,z) x W

 

berarti x adalah variabel y dan z adalah

konstanta. _W_y berarti y variabel x dan z adalah konstanta. z W

 

berarti z variabel x dan y adalah kosntanta.

Contoh:

1. Ditentukan 

      

x y xyz

z y x

F( , , ) 2tan

Carilah turunan parsial pertamanya. Dengan metode sederhana didapat

a. 

              



2 2 1

2 )

, , (

x y

x y yz

x z y x F

) 1 ( 2

2 2

2 y x

yx yz

 



) 1 (

2 ) 1 (

2 2

2 2

2

y x

yx y

yz x

   

b.               



x x y xz

y z y x

F 1

1 2 )

, , (

2

) 1 (

2 2 2

y x

x xy

  

) 1 (

2 ( ) 1 (

2 2

2 2

2

y x

yx y

yz x

   

c. xy

z z y x F

 

 ( , , )

Sebagai latihan bagi pembaca tentukan turunan persial pertama fungsi-fungsi di bawah ini:

1. zln xy

2. _{z36 x}2 _{ y}2

3. 3 _sin(1 ₎

y x z

 



4. _zxy2 _{ 2x}2 _3y3

5. 

     

x y z arctan

6. F(x,y,z)xy yzxz 7. _F(x,y,z)3 _x2_y2 _z2

8. _{F(x,y,z) sin(xy) 2e}xyz

 

9. 

     

z xy z

y x

F( , , ) arcsin

Berdasarkan turunan parsial pertama fungsi dua peubah atau lebih dapat ditentukan turunan parsial ke n untuk n 2. Turunan parsial tersebut dinamakan turunan parsial tingkat tinggi.

Dengan menggunakan analogi fungsi satu peubah dapat ditentukan turunan parsial tingkat 2, 3 dan seterusnya.

Jadi andaikan zF(x,y)_maka: Turunan parsial tingkat dua adalah

x y

z dan y x

z y

z x

z

 

 

    

 2 2

2 2 2 2

, ,

Demikian pula, jika W F(x,y,z)_{Turunan parsial tingkat dua adalah}

y z

W x

z W x

y W z

y W z

x W y

x W z

W y

W x

W

                      

 2 2 2 2 2 2

2 2 2 2 2 2

, ,

, ,

, ,

, ,

Demikian seterusnya. Banyaknya turunan tingkat ditentukan oleh rumus mn_{, dimana m banyaknya variabel dan n menunjukkan}

turunan ke-n Contoh

1 Tentukan

2 2

x z  

dan 2 2 y z

 

dari fungsi z _xxy_y

  Jawab

y x

xy z



 _{,diperoleh 2}

) (

) 1 ( ) (

y x

xy y x y x z

     

2 2

) (x y

y

  

_{( )}2

) 1 ( ) (

y x

xy y x x y z



     

2 2

) (x y

x

 

Sehingga 

    

  

   

x z x x

z 2 2

_

  

 

  



 ₂

2

) (x y

y x

4 2 2

) (

) 1 )( )(

2 )( ( ) ( 0

y x

y x y

y x



 

  

4 3 2

) (

2 2

y x

y xy

  

Dan _

  

 

 

   

2 2 2

2

) (x y

x y y

z

4 2 2

) (

) 1 )( )(

2 ( )

( 0

y x

y x x y x



  

 

4 2 3

) ( 2

y x

yx x

   

2 Tentukan

2 2

x z  

dan 2 2 y z

 

dari fungsi 2 _x2

y y

x

z 

Jawab

Dari,diperoleh 2 3

2 1

x y y x z

   

3 2

1 2

x y

x y

z

    

Sehingga 

    

  

   

x z x x

z 2 2

_   

 

 



 1₂ 2₃

x y y x

6₄

x y  

dan _

  

 

  

   

2 3 2

2 _{2 1}

x y

x y y

z

4

6

y x



Dengan cara yang sama dapat dicari

x y

z dan y x

z

 

 



2 2

Soal-soal Tentukan

x y

z dan y x

z y

z x

z

 

 

    

 2 2

2 2 2 2

,

, _{fungsi-fungsi berikut:}

1) z sin3xcos4y

2) zln xy

3) _{z36 x}2 _{ y}2

4) 3 _sin(1 ₎

y x z

 

5) _zxy2 _{ 2x}2 _3y3

6) 

     

x y z arctan

7) _{z sin(xy) 2e}xy

8) 

     arcsin 2₂

x y z

9) _

           

cos 2₂ sin 2₂

y x x

y z

10) _{z 1 x}2 _{ y}2

2.3 Differensial Total

Misal z F(x,y) _{adalah suatu fungsi yang dapat diturunkan} terhadap variable x dan y. Secara berturut-turut dapat diperoleh turunan parisal terhadap x dan turunan parsial terhadap y. Keduanya dinyatakan oleh:

x y x F x z

   

 ( , )

--- (1) dan

y y x F y z

   

 ( , )

--- (2) Dari (1) dan (2) diperoleh:

dx x

y x F dz

 

 ( , ) dan dy

y y x F dz

 

 ( , )

Jumlah diferensialnya diperoleh: dy

y y x F dx x

y x F

   

 ( , ) ( , )

Bentuk di atas disebut diferensial total.

Dengan demikian jika zF(x,y)_{,maka diferensial totalnya adalah:} dy

y y x F dx x

y x F dz

   



 ( , ) ( , )

Analog, jika W F(x,y,z) _{maka diferensial totalnya adalah:} dz

z z y x F dy y

z y x F dx x

z y x F dw

   

  



Contoh.

1 Tentukan diferensial total fungsi

2 3_{y 2xy} x

z  

Jawab

xy x

y z xy y x x z

4 ,

3 2 2 _ 3_

  

  

sehingga diferensial total fungsi _{z x}3_{y 2xy}2 _adalah



x y xy



dx



x xy



dz _3 2 _ 2 _ 3 _ 4

2 Tentukan turunan parsial fungsi

2

2 _y

x x z

  Jawab

 





 

2 2

2 2 2

2

1

y x

y x

x x

y x x

z



    

  

 

 

 



  

2 2 2 2

2 2 2

y x y x

x y x

 

  

2 2 2 2

2 y x y x

y

 



 





 

2 2

2 2 2

2

0

y x

y x

y x

y x y

z



    

  

 

 

 

2 2 2

2 _{y x y}

x

xy

 

 

sehingga diferensial total fungsi _x2 _y2 x z



 _adalah

dy y x y x

xy dx

y x y x

y dz

    

  

 

 

    

  

 



2 2 2 2 2

2 2 2

dy y x y x

xy dx

y x y x

y

    

  

 

     

  

 



2 2 2 2 2

2 2 2

2

3 Dengan menggunakan diferensial total, hitunglah

2 2

2 _{(1,99) (0,97)}

) 01 , 2

(  

Jawab

Langkah pertama yang harus ditetapkan fungsinya, dalam hal

2 2

2 _{(1,99) (0,97)}

) 01 , 2

(  

2 2 2 _{y z} x

W   

Pilih x = 2, y = 2 dan z = 1 sehingga W = ₂2_22_12 = 3 Karena akan dihitung _(2,01)2_(1,99)2 _(0,97)2 maka:

x + x = 2,01 sehingga x0,1 x + y = 1,99 sehingga x 0,1 x + z = 0,97 sehingga x0,3

dengan menggunakan definisi diferensial total W = F(x,y,z) maka dz

z z y x F dy y

z y x F dx x

z y x F dW

   

  



 ( , , ) ( , , ) ( , , )

( 0,03)

3 1 ) 01 , 0 ( 3 2 ) 1 , 0 ( 3 2

  

 

= -0,01

Akhirnya diperoleh _(2,01)2 _(1,99)2 _(0,97)2 

 = 3 + (-0,01) = 2,99

4 Suatu segitiga siku-siku panjang sisi-sisi penyikunya 15 cm dan 20 cm. Bila sisi panjang dipendekkan cm

16 5

dan kaki pendek

dipanjangkan cm 8 5

. Dengan menggunakan differensial tentukan perubahan panjang sisi miringnya.

Jawab

Misal x : sisi pendek, y : sisi panjang, dan r : sisi miring maka berlaku

2 2 _y x

r  .

dy y r dx x r dr

     

dimana dr r, dx x, dxy

didapat

y y r x x r

r 

       

y y x

y x

y x

x

  

  

2 2 2

2 ₂

2 2

2

        

       

16 5 20 15

20 8

5 20 15

15

2 2 2

2

16 5 25 20 8 5 25 15

 

cm 8 1



Hal ini berarti sisi miring dipanjangkan . 8 1

cm

Soal-soal

1) Dengan menggunakan diferensial total, hitunglah a) 3 _(0,98)2_(1,01)2_(0,99)2

b) Suatu tempat berbentuk kotak dengan dimensi 2,02 m, 1,97 m, dan 0,99 m. Dengan menggunakan differensial tentukan panjang diagonal ruang kotak tersebut.

c) Suatu kotak alasnya persegi dengan panjang sisi 8,005 dm dan tingginya 9,996 dm. Hitung volume dan luas

permukaannya.

2) Dekatilah luas persegi panjang yang berdimensi 35,02 cm, 24,97 cm.

3) Daya yang dibutuhkan oleh resistor listrik dinyatakan dengan P=

R E2

watt. Jika E = 200 volt dan R = 8 Ohm. Dengan berapa besar daya berubah jika E menyusut 5 volt dan R menyusut dengan 2 Ohm.

2.4 Turunan Total

Misal zF(x,y) _{dan F dapat diturunkan (differentiable).}

Selanjutnya dimisalkan x x(t) dan y y(t)_{, x dan y adalah fungsi satu} peubah yaitu peubah t yang dapat diturunkan. Maka z F(x,y)_adalah fungsi satu peubah, sehingga:

dy y

y x F dx x

y x F dz

   



 ( , ) ( , )

karena x =x(t) dan y=y(t) dapat diturunkan maka dapat ditentukan

dt dx dan dx dy

sehingga

dt dy y

y x F dt dx x

y x F dt dz

   



 ( , ) ( , )

Bentuk di atas dinamakan turunan total zF(x,y)_dengan )

( )

(t dan y y t x

x  

Catatan

Pengertian ganda z, x, dan y pada dz_dt F x_x y dx_dt F x_y y dy_dt

   



 ( , ) ( , )

Pada dt dz

, z berarti F



x(t),y(t)



, Sedangkan dan _yz x

z

  



, z berarti

f(x,y). Pada F x_y y dy_dt

  ( , )

.

Andaikan zF(x,y) _{adalah fungsi yang dapat diturunkan, dan} misalkan

) , ( )

,

(r s dan y y r s x

x  _{adalah fungsi dua peubah dan dapat}

diturunkan, maka diferensial totalnya adalah dy

y y x F dx x

y x F dz

   



 ( , ) ( , )

Karena xx(r,s) dan yy(r,s) _{dan dapat diturunkan, maka dapat} ditentukan

s x r x

   

, _dan

s y r y

   

,

r y y

y x F r x x

y x F r z

  

    

  

 ( , ) ( , )

s y y

y x F s x x

y x F s z

  

    

  

 ( , ) ( , )

Dengan cara yang sama diperoleh

1. Jika W F(x,y,z),xx(t),yy(t),dan zz(t) _{maka turunan totalnya} adalah:

dt dz z

z y x F dt dy y

z y x F dt dx x

z y x F dt

dW

   

  



 ( , , ) ( , , ) ( , , )

2. Jika W F(x,y,z),xx(r,s),yy(r,s),dan zz(r,s)_{maka turunan} parsialnya adalah:

W_r F x_xy z _rx F x_yy z _ryF x_zy z _z_t 

 

    

  

 ( , , ) ( , , ) ( , , )

dan

s z z

z y x F s y y

z y x F s x x

z y x F s

W

  

    

    

  

 ( , , ) ( , , ) ( , , )

Contoh

Tentukan turunan total fungsi-fungs berkut. 1) _{( , , ) ,} 1_{,y 1 t,danz 2t}2

t x xz yz xy z y x

F       

Jawab

Turunan total fungsi di atas adalah:

dt dz z

z y x F dt dy y

z y x F dt dx x

z y x F dt

dW

   

  



 ( , , ) ( , , ) ( , , )











y x

 

t t

z x t z

y 4

1 2

1 1

2  

  

 

         _  

2) 2

2

2 , 2 , 3

1 )

,

( x r s dan y r s

y x y x

F    

  Jawab

Turunan total fungsi di atas adalah z_r F x_x y _rxF_x_y y __ry

  

  

3 )

( 2 )

( 2 2 2 2 2 2 2 2     

  

 

      

  

 

 

y x y x

y y

x y x

x

_

  

  

 

      

   

  

2 2 2 2 2

3 2

2 ( )

3 )

( 2

y x y x

y y

x x

s y y

y x F s x x

y x F s z

  

    

  

 ( , ) ( , )

s

y x y x

y y

x y x

x

2 )

( 1 )

( 2 2 2 2 2 2 2 2     

  

 

      

  

 

 

_

  

  

 

      

   

  

2 2 2 2 2

3 2

2 ( )

2 )

( x y x y

ys y

x x

3) Suatu tempat berbentuk silinder (tabung) dengan jari-jari alasnya 15 cm dan tingginya 20 cm. Karena pemuaian, tinggi slinder bertambah 0,5 cm/det dan jari-jarinya berkurang 1 cm/det. Hitunglah perubahan yang terjadi terhadap volume dan luas permukaan silinder.

Jawab.

Misal jari-jari tabung r, tinggi h dan volume I, maka h

r I _ 2

h

) , (r h I I 

Diketahui r = 15 cm, h = 20 cm,

det 5 , 0 cm t

r

  

,

det 1cm t

h

   

Dengan definisi turunan total )

, (r h I

I  _{dengan r dan h bergantung pada waktu t, maka diperoleh}

dt dh h I dt dr r I dt dI

     

dt dh r dt dr

rh 2

2  













  

   

   

  

det 1 15

det 5 , 0 20

15

2 cm cm cm  cm 2 cm

det 225 det

300 cm3  cm3 

det 75

3 cm



Soal-soal

1. Tentukan turunan total fungsi berikut: a. z = Ln (x2_y2_{) jika x = e}t _{dan y = et} b. u = x2 _2y2 _2z2 _{jika x = sin pcost , y =}

p z

dan t

psin cos

sin 

 

2.5 Turunan Parsial Fungsi Implisit

Turunan parsial fungsi juga dapat dilakukan untuk fungsi-fungsi yang ditulis dalam bentuk implisit. Misal f(x,y)0 _{adalah fungsi} implisit maka untuk menentukan turunan parsialnya dapat dilakukan dengan menggunakan kaidah diferensial totalf

Karena f(x,y)0 _maka df(x,y)d(0) Sehingga

dy y

y x f dx x

y x f

   

 ( , ) ( , )

= 0

0 )

, ( ) , (

 

    

dx dy y

y x f x

y x f

x y x f dx

dy y

y x f

    



 ( , ) ( , )

y y x f x

y x f

dx dy

 

    

) , (

) , (

Contoh

1) Tentukan dan_dydx dx

dy

bila diketahui f(x,y)xy exsiny0 akan dicari

dx dy

, menurut definisi turunan total

y y x f x

y x f

dx dy

 

   

) , (

) , (

y e x

y e y

x x

cos sin 

  

x y x f

y y x f

dy dx

 

   

) , (

) , (

y e y

y e

x

x x

sin cos 

  

2) Tentukan dari dy dx dan dx dy

0 arctan

ln ) ,

( 2 2 _

      

 

x y y

x y x f

y y x f x

y x f

dx dy

 

   

) , (

) , (

2 2

2 2 2 2

y x

x y

y x

y x

     

x y x f

y y x f

dy dx

 

   

) , (

) , (

 x_x_yy 2

2

Sebagaimana telah dibahas sebelumnya bahwa fungsi dua peubah secara implisit dinyatakan dengan f(x,y,z) 0_.

Contoh

1. xyyzxz0 2. sin _0

     

y x exy

3. _x2_y2_z2_ 25_0

a. Turunan Fungsi Implisit 2 Peubah

Fungsi Implisit 2 peubah secara umum dinyatakan dalam bentuk 0

) , ,

(x y z 

f

Dengan menggunakan diferensial total

Andaikan W f(x,y,z)0 _maka df(x,y,z)d(0) 

0 )

, , ( )

, , ( )

, , (

 

  

  



dz z

z y x F dy y

z y x F dx x

z y x F

Jika masing masing bagian dibagi dx akan diperoleh 0

) , , ( )

, , ( )

, , (

 

  

  



dx dz z

z y x F dx dy y

z y x F x

z y x F

Karena akan dicari turunan fungsi terhadap x, maka 0 dx dy

. Dan karena fungsi lebih dari satu variabel maka turunan terhadap x dinyatakan dengan

x z

 

, sehingga:

0 )

, , ( )

, , (

   

  



x z z

z y x F x

z y x F

x z y x F x

z z

z y x F

      



 ( , , ) ( , , )

z z y x F x

z y x F

x z

 

      

) , , (

) , , (

Dengan menurunkan terhadap z dan menentukan z y

 

diperoleh 0

) , , ( )

, , (

0 

     

 

z z y x F z y y

z y x F

z z y x F z

y z

z y x F

      



 ( , , ) ( , , )

y z y x

F x

z y x F

x y

 

      

) , , (

) , , (

Dengan menurunkan terhadap y dan menentukan __yx diperoleh 0

0 ) , , ( )

, , (

  

    



y z y x F y x x

z y x F

y z y x F y

x x

z y x F

      



 ( , , ) ( , , )

x z y x F

y z y x F

y x

 

      

) , , (

) , , (

Sehingga turunan pertama fungsi implisit f(x,y,z)0_adalah

y x

 

z x

 

x z

 

y z

 

dan x y

 

z y

 

Contoh

1. Tentukan __yx dari xyyzxz0 Jawab

Maka y z x

y y x f

  

 ( , , )

dan x z

y y y x f

  

 ( , , )

, sehingga menurut definisi turunan fungsi implisit 2 peubah

x z y x F

y z y x F

y x

 

     

) , , (

) , , (

 _yx_z_z

2. Tentukan z x

 

dari sin 0

     

x y z exyz

Jawab

Karena ( , , ) sin 0

      

x y z e z y x

f xyz

Maka _

           

 



y y x z

e yz x

y y x

f( , , ) _{( )} xyz _cos 1

dan

       

 

y x e

xy z

y y x

f( , , ) _{( )} xyz _{sin , sehingga menurut definisi turunan}

fungsi implisit 3 peubah

x z y x F z

z y x F

z x

 

     

) , , (

) , , (

      

      

 

y x e

xy

y x y z e yz

xyz xyz

sin )

(

cos )

(

3. Tentukan __yz dari _x2_y2 _z2_ 25_0 Jawab

Karena ( , , ) 2 2 2 25 0

    x y z z

y x f

Maka z z

y y x f

2 ) , , (

 



dan y

y y y x f

2 ) , , (

 



, sehingga menurut definisi turunan fungsi implisit 3 peubah

z z y x F

y z y x F

y z

 

     

) , , (

) , , (

z y 2 2

 

z y

 

b. Turunan parsial fungsi implisit 4 peubah

Bentuk umum fungsi impilisit 4 peubah dinyatakan dengan











0

)

,

,

,

(

0

)

,

,

,

(

v

u

y

x

G

v

u

y

x

F

Atau

0 ) , , , ( 0

) , , ,

(x y u v  danG x y u v 

F

Dimana variable x sejenis dengan y (berpasangan) dan variable u sejenis dengan v dan F(x,y,u,v)0sertaG(x,y,u,v)0_{tidak dapat} berdiri sendiri. Karena u dan v sejenis maka tidak dapat ditentukan

v u

 

atau u v

 

dan tidak dapat pula ditentukan x y

 

atau x y

 

Untuk lebih jelasnya perhatikan contoh berikut ini.

Contoh

1.

























0

0

2

2 2 2 2

2

v

u

y

xy

x

uv

y

x

atau

2.

























0

2

0

2

2 2

y

xy

v

u

xy

x

v

u

atau

2_{u vx}2_xy0_danu2_{vxy y}2 _0

3.





















0

0

3

2

2 2

y

x

uv

y

x

v

u

atau

_u2_{ v}2 _2_x3_y0_{danuvx y}0

Turunan Parsial fungsi implisit 4 variabel dilakukan dengan menggunakan metode eliminasi.

Bentuk umum F(x,y,u,v)0danG(x,y,u,v)0_{, u,v variabel sejenis,} x,y variabel sejenis sehingga tidak dapat ditentukan

u v dan v u x y y x

  

    

, ,

, _.

Sehingga turunan parsial fungsi implisit yang dapat ditentukan adalah

x v dan y v y u x u u y v y v x u x

  

            

, , , , , , ,

Untuk menentukan turunan parsial 4 peubah, langkah ditempuh adalah menurunkan fungsi terhadap peubah yang dimaksud, lalu dari persamaan yang diperoleh gunakan metode eliminasi..

Contoh: 1. Tentukan

u x dan x u

  



dari Jawab

Karena akan ditentukan x u

 

maka _u_v,__uv,_y_x,_yx _{tidak boleh} dilakukan

_xy2 _2_uv0_danx2_{ xyy}2_u2_v2 _0

dengan menurunkan fungsi terhadap variabel x didapat 0

2 2

1 

  

 

           

        

 

x u v x v u x

y y x x

………(1)

0 2

2 0

1 

       

x u v x v

u atau 2 2 1

    

x u v x v u dan

-2 2 2 2 0

            

 

           

 

x v v x u u x y y x x y x y x x x

x _{…………(2)}

atau y x

x v v x u

u 2 2

2  

    

Selanjutnya dari (1) dan (2) dengan mengeliminasi x v

 

didapat 1

2

2 

    

x u v x v

u (v) x

y x v v x u

u 2 2

2  

    

(u)

didapat

v x u v x v

uv 

   

 ₂ 2 2

ux uy x v uv x u

u 2 2

2 2 _{ }

    

atau

) (

2

) 2 (

2 2 _u

v

x y u v x u

      

= _2(u(2 _v22₎)

x y u v

  

Karena akan ditentukan u x

 

maka _yx,__uv,_u_v,_xy _{tidak boleh} dilakukan

_xy2 _2_uv0_danx2_{ xyy}2_u2_v2 _0

dengan menurunkan fungsi terhadap variabel u didapat 0

2 2

1 

                            u u v u v u u y y u x ………(1) 0 2 2  

                 v u y y u x

atau v

u y y u x 2 2 

     dan 0 0 2 2

2  

                    u u u u y y u x y u y x u x

x _atau

u u y x y u x y

x ) (2 ) 2

2 (        

 _………(2)

Berdasarkan persamaan (1) dan (2), dengan metode eliminasi diperoleh 1 v u y y u x 2 2 

    

... . (2y-x) u u y x y u x y

x ) (2 ) 2

2 (        

 _{…………. (2y)}

Didapat ) 2 ( 2 ) 2 ( 2 ) 2

( v y x

u y x y y u x x

y  

        ) 2 ( 2 2 ) 2 ( 2 ) 2

( u y

u y y x y u x y y

x 

       



(2 ) (2 )(2 )



2v(2y x) 2u(2y) u x y y x x

y   

     Diperoleh ) 2 4 ( ) 2 ( 4 2 4 2 y xy x y uy vx vy u x         

_(2y4 _x 2_4xy 4_2y2₎ uy vx vy       

Berdasarkan jawaban di atas, jelaslah bahwa untuk fungsi implisit 4 peubah tidak berlaku hubungan

u x x u

   

 1

atau

x u u x

   

 1

2. Tentukan dan _yv y

u

  



dari fungsi 2_{u vx}2_xy0_danu2_{vxy y}2 _0 Karena akan ditentukan _u_y maka _vu,__uv,_y_x,_x_{y tidak boleh} dilakukan

Selanjutnya dengan menurunkan fungsi 0

2 0

2_{u vx}2_{xy danu vxy y}2 _{ terhadap variabel y didapat}

0 2

2 _

  

 

           

y x y x y x x y v y u

………(1)

        

 2 0 x 0

y v y u

atau x

y v y u

       2

dan

0 2

2 

      

 

        

y y y x y y x y v y

u

…………(2)

0 2 ) 0 (

2    

    

 x y

y v y u

atau x y

y v y

u

2 2  

    

Selanjutnya dari (1) dan (2) dengan mengeliminasi __yv didapat

x y v y u

      

2 ₍₂₎

y x y v y

u

2 2  

    

(1)

didapat

x y

v y

u _{2 2}

4 

    

y x y v y

u

2 2  

    

5 y x

y u

   

2 _atau



y x



y

u

 

 

2 5 1

Karena akan ditentukan __yv maka _vu,__uv,_y_x,_x_{y tidak boleh} dilakukan

Selanjutnya dengan menurunkan fungsi 0

2 0

2_{u vx}2_{xy danu vxy y}2 _{ terhadap variabel y didapat}

0 2

2 _

  

 

           

y x y x y x x y v y u

………(1)

        

 2 0 x 0

y v y u

atau x

y v y u

       2

dan

0 2

2 

      

 

        

y y y x y y x y v y

u

…………(2)

0 2 ) 0 (

2    

    

 x y

y v y u

atau x y

y v y

u

2 2  

    

Selanjutnya dari (1) dan (2) dengan mengeliminasi __yu didapat

x y v y u

      

2 ₍₁₎

y x y v y

u

2 2  

    

(2)

didapat

x y v y u

       2

y x y v y

u _{4 2 4}

2  

    

y x y

v

4 3 5  

 

 _atau



x y



y v

4 3 5 1

 

 

Soal-soal

1. Ditentukan fungsi _u2 _{ v}2 _2_x3_y0_{danuvx y}0 Tentukan:

a. dan _xv y

u x v x u

  

    

, , ,

b.

u x dan v y v x u x

  

    

, , ,

2. Ditentukan 2_{u vx}2_xy0_danu2_{vxy y}2 _0 Tentukan:

a.

x v dan x u

  



b.

v x dan u x

  



3. Jika _xy2 _2_uv0_danx2_{ xyy}2_u2_v2 _0 Tentukan

a. dan _yv y

u

  



b.

v x dan u x

  



c. Turunan Parsial Fungsi Implisit 6 peubah.

Fungsi implisit 6 peubah, secara umum dinyatakan dalam bentuk:

















0

)

,

,

,

,

,

(

0

)

,

,

,

,

,

(

0

)

,

,

,

,

,

(

z

y

x

w

v

u

H

z

y

x

w

v

u

G

z

y

x

w

v

u

F

u,v,dan w variable sejenis, sehingga tidak dapat ditentukan hasilnya

v w u w w

v u v w

u v u

    

      

, , , , ,

x,y, dan z variable sejenis, sehingga tidak dapat ditentukan hasilnya

y z x z z x y x z y x y

           

, , , , ,

Contoh fungsi 6 peubah:





























3 3 3

2 2 2

z

y

x

w

z

y

x

v

z

y

x

u

Atau



































0

0

0

3 3 3

2 2 2

z

y

x

w

z

y

x

v

z

y

x

u

Perhatikan beberapa contoh di bawah ini.

1. Tentukan u x

 

dari



































0

0

0

3 3 3

2 2 2

z

y

x

w

z

y

x

v

z

y

x

u

Jawab

Persamaan diturunkan terhadap u dan diperoleh 0

1 

        

u z u y u x

...(1) 0

2 2

2

0 

        

u z z u y y u x

x ...(2) 0

3 3

3

0 2 2 2 _

     

  

u z z u y y u x

x _...(3) Karena akan ditentukan

u x

 

maka eliminasikan

u z dan u y

  



dari persamaan (1), (2) dan (3)

Dari (1) dan (2) dengan mengeliminasi u y

 

diperoleh: 0

1 

        

u z u y u x

(2y) 2 2 2 2 0

         

u z y u y y u x y y

0 2

2

2 

        

u z z u y y u x

x (1) 2 2 2 0

         

u z z u y y u x x

a. dan _xv y

u x v x u

  

    

, , , b.

u x dan v y v x u x

  

    

, , ,

2. Ditentukan 2_{u vx}2_xy0_danu2_{vxy y}2 _0 Tentukan:

a.

x v dan x u

  



b.

v x dan u x

  



3. Jika _xy2 _2_uv0_danx2_{ xyy}2_u2_v2 _0 Tentukan

a. dan _yv y

u

  



b.

v x dan u x

  



c. Turunan Parsial Fungsi Implisit 6 peubah.

Fungsi implisit 6 peubah, secara umum dinyatakan dalam bentuk:

















0

)

,

,

,

,

,

(

0

)

,

,

,

,

,

(

0

)

,

,

,

,

,

(

z

y

x

w

v

u

H

z

y

x

w

v

u

G

z

y

x

w

v

u

F

u,v,dan w variable sejenis, sehingga tidak dapat ditentukan hasilnya

v w u w w

v u v w

u v u

    

      

, , , , ,

x,y, dan z variable sejenis, sehingga tidak dapat ditentukan hasilnya y

z x z z x y x z y x y

           

, , , , ,

Contoh fungsi 6 peubah:





























3 3 3

2 2 2

z

y

x

w

z

y

x

v

z

y

x

u

Atau



































0

0

0

3 3 3

2 2 2

z

y

x

w

z

y

x

v

z

y

x

u

Perhatikan beberapa contoh di bawah ini.

1. Tentukan

u x

 

dari



































0

0

0

3 3 3

2 2 2

z

y

x

w

z

y

x

v

z

y

x

u

Jawab

Persamaan diturunkan terhadap u dan diperoleh

0

1 

        

u z u y u x

...(1)

0 2

2 2

0 

        

u z z u y y u x

x ...(2)

0 3

3 3

0 2 2 2 _

     

  

u z z u y y u x

x _...(3)

Karena akan ditentukan

u x

 

maka eliminasikan

u z dan u y

  



dari persamaan (1), (2) dan (3)

Dari (1) dan (2) dengan mengeliminasi

u y

 

diperoleh:

0

1 

        

u z u y u x

(2y) 2 2 2 2 0

         

u z y u y y u x y y 0

2 2

y u z y z u x y

x 2 ) (2 2 ) 2

2 (         ...(4)

Dari (1) dan (3) dengan mengeliminasi

u y   diperoleh: 0 1           u z u y u x

(3y2 _{) 3} 2 ₃ 2 ₃ 2 _{ 3} 2 _0

       y u y y u x y y 0 3 3 3

0 2 2 2 _

         u z z u y y u x

x (1) 0 3 2 3 2 3 2 _0

          u z z u y y u x x 2 2 2 2

2 _{3 ) (3 3 ) 3}

3 ( y u z y z u x y

x 

       _.(5) Selanjutnya eliminasi u z  

dari persamaan (4) dan (5) diperoleh:

y u z y z u x y

x 2 ) (2 2 ) 2

2 (       





3(yz)



2

2 2 2

2 _{3 ) (3 3 ) 3}

3 ( y u z y z u x y

x 

     

 ₍₂₎

atau ) ( 6 ) 3 3 )( 2 2 ( ) )( (

6 y z y

u z y z y z u x y z y

x  

          2 2 2 2

2 _{3 ) 2(3 3 ) 6}

3 ( 2 y u z y z u x y

x 

       



_{6( )( ) 2(3} 2 ₃ 2₎



_{6y(z y) 6y}2

u x y x y z y

x   

      Sehingga:



6( )( )





2(3 3 )



) 6 ( ) ( 6 2 2 2 y x y z y x y y z y u x           ) )( (x y x z

yz    2. Tentukan w z   dari



































0

0

0

3 3 3 2 2 2

z

y

x

w

z

y

x

v

z

y

x

u

Jawab

Persamaan di atas diturunkan terhadap variable w dan diperoleh

0

0 

      

 

w z w

y w

x

...(1)

0 2

2 2

0 

      

 

w z z x y y w x

x ...(2)

0 3

3 3

1 2 2 2 _

  

  

  

w z z w y y w

x

x _...(3)

Karena akan ditentukan

w z

 

maka eliminasikan

w y dan w

x

  



dari persamaan (1), (2) dan (3)

Dari (1) dan (2) dengan mengeliminasi

w x

 

diperoleh:

0

0 

      

 

w z w

y w

x

…………(2x) 2 2 2 0

   

    

w z x w

y y w x x 0

2 2

2

0 

      

 

w z z x y y w x

x ... (1) 2 2 2 0

      

  

w z z x y y w

x x

(2 2 ) (2 2 ) 0

  

 

 

w z x z w y x y

...(4)

Selanjutnya dari (1) dan (3) dengan mengeliminasi

w x

 

diperoleh:

0

0 

      

 

w z w

y w

x

... (3x2 ₎

0 3

3

3 2 2 2 _

  

   

 

w z x w y x w

x x

0 3

3 3

1 2 2 2 _

  

  

  

w z z w y y w

x

x ... (1)

1 3

3

3 2 2 2 _

  

  

   

w z z w

y y w

x x

1 )

3 3 ( ) 3 3

( 2 2 2 2 _

  

   

w z x z w y x

y _...(5)

Selanjutnya eliminasi

w y

 

0 )

2 2 ( )

2 2

( 

      

w z x z w

y x

y ...



3(yx)



1 )

3 3 ( ) 3 3

( 2 2 2 2 _

  

   

w z x z w y x

y ...(1)

atau

0 )

2 2 ( ( 3 ) ) 2 2 )( (

3 

  

     



w z x z x y w

y x y x y

1 )

3 3 ( ) 3 3

( 2 2 2 2 _

  

   



w z x z w y x y



3( )(2 2 ) (3 2 3 2)



_1

  

  

w z x z x z x y

Sehingga:

} 3 3 ( ) 2 2 )( (

3 {

1

2 2 _x

z x z x y w

z

 

 

 

 

_{3(x z}1_{)(y z)}

 



Soal-soal.

1. Tentukan _x_v,__wx ,__uy,_y_v,__wy ,_z_x,__yz _{dari fungsi}





























3 3 3

2 2 2

z

y

x

w

z

y

x

v

z

y

x

u

2. Tentukan _u_x,_u_y,_u_z ,_xv,_v_y,_zv,_w_x ,_w_y ,_w_z





























3 3 3

2 2 2

z

y

x

w

z

y

x

v

z

y

x

u