Turunan Total TURUNAN PARSIAL

2.4 Turunan Total

Misal , y x F z  dan F dapat diturunkan differentiable. Selanjutnya dimisalkan t y y dan t x x   , x dan y adalah fungsi satu peubah yaitu peubah t yang dapat diturunkan. Maka , y x F z  adalah fungsi satu peubah, sehingga: dy y y x F dx x y x F dz       , , karena x =xt dan y=yt dapat diturunkan maka dapat ditentukan dt dx dan dx dy sehingga dt dy y y x F dt dx x y x F dt dz       , , Bentuk di atas dinamakan turunan total , y x F z  dengan t y y dan t x x   Catatan Pengertian ganda z, x, dan y pada dt dy y y x F dt dx x y x F dt dz       , , Pada dt dz , z berarti   , t y t x F , Sedangkan y z dan x z     , z berarti fx,y. Pada dt dy y y x F   , . Andaikan , y x F z  adalah fungsi yang dapat diturunkan, dan misalkan , , s r y y dan s r x x   adalah fungsi dua peubah dan dapat diturunkan, maka diferensial totalnya adalah dy y y x F dx x y x F dz       , , Karena , , s r y y dan s r x x   dan dapat diturunkan, maka dapat ditentukan s x r x     , dan s y r y     , Sehingga turunan total , , , , s r y y dan s r x y x f z    adalah Kalkulus Peubah Banyak : Dwi Purnomo- 37 r y y y x F r x x y x F r z             , , s y y y x F s x x y x F s z             , , Dengan cara yang sama diperoleh 1. Jika , , , , , t z z dan t y y t x x z y x F W     maka turunan totalnya adalah: dt dz z z y x F dt dy y z y x F dt dx x z y x F dt dW          , , , , , , 2. Jika , , , , , , , , s r z z dan s r y y s r x x z y x F W     maka turunan parsialnya adalah: t z z z y x F r y y z y x F r x x z y x F r W                  , , , , , , dan s z z z y x F s y y z y x F s x x z y x F s W                  , , , , , , Contoh Tentukan turunan total fungsi-fungs berkut. 1 2 2 , 1 , 1 , , , t z dan t y t x xz yz xy z y x F        Jawab Turunan total fungsi di atas adalah: dt dz z z y x F dt dy y z y x F dt dx x z y x F dt dW          , , , , , ,        t x y t z x t z y 4 1 2 1 1 2                      2 2 2 2 3 , 2 , 1 , s r y dan s r x y x y x F       Jawab Turunan total fungsi di atas adalah r y y y x F r x x y x F r z             , , Kalkulus Peubah Banyak : Dwi Purnomo- 38 3 2 2 2 2 2 2 2 2 2                         y x y x y y x y x x                         2 2 2 2 2 3 2 2 3 2 y x y x y y x x s y y y x F s x x y x F s z             , , s y x y x y y x y x x 2 1 2 2 2 2 2 2 2 2                                                 2 2 2 2 2 3 2 2 2 y x y x ys y x x 3 Suatu tempat berbentuk silinder tabung dengan jari-jari alasnya 15 cm dan tingginya 20 cm. Karena pemuaian, tinggi slinder bertambah 0,5 cmdet dan jari-jarinya berkurang 1 cmdet. Hitunglah perubahan yang terjadi terhadap volume dan luas permukaan silinder. Jawab. Misal jari-jari tabung r, tinggi h dan volume I, maka h r I 2   Kalkulus Peubah Banyak : Dwi Purnomo- 39 h r , h r I I  Diketahui r = 15 cm, h = 20 cm, det 5 , 0 cm t r    , det 1 cm t h     Dengan definisi turunan total , h r I I  dengan r dan h bergantung pada waktu t, maka diperoleh dt dh h I dt dr r I dt dI       dt dh r dt dr rh 2 2                         det 1 15 det 5 , 20 15 2 2 cm cm cm cm cm   det 225 det 300 3 3 cm cm   det 75 3 cm  Soal-soal 1. Tentukan turunan total fungsi berikut: a. z = Ln x 2 2 y  jika x = e dan t  y = e t b. u = x 2 2 2 2 2 z y   jika x = t p cos sin  , y = p z dan t p cos sin sin   

2.5 Turunan Parsial Fungsi Implisit