3
x z
2
4
36 4
3 3
z
y z
5
2
1 x z
6
2
4 y
z
2.2 Turunan Parsial Fungsi Dua atau lebih
Misal
, y
x F
z
adalah fungsi dengan variabel bebas x dan y. Karena x dan y variable bebas maka terdapat beberapa kemungkinan
yaitu: 1. y dianggap tetap, sedangkan x berubah-ubah.
2. x dianggap tetap, sedangkan y berubah-ubah 3. x dan y berubah bersama-sama sekaligus.
Pada kasus 1 dan 2 diatas mengakibatkan fungsinya menjadi fungsi satu peubah, sehingga fungsi tersebut dapat diturunkan
dengan menggunakan definisi turunan pertama yang telah dipelajari pada kalkulus diferensial.
Definisi Misal
, y
x F
z
adalah fungsi dua peubah yang terdefinisi pada interval tertentu, turunan parsial pertama z terhadap x dan y
dinotasikan dengan
x z
dan
y z
dan didefinisikan oleh
x y
x F
y x
x F
x z
x
, ,
lim
, asalkan limitnya ada dan
y y
x F
y y
x F
y z
y
, ,
lim
, asalkan limitnya ada
Contoh : 1
Tentukan
x z
dan
y z
dari
2 2
y x
z
Kalkulus Peubah Banyak : Dwi Purnomo-
25
Jawab
x y
x F
y x
x F
x z
x
, ,
lim
x y
x y
x x
x
2 2
2 2
lim
2 2
2 2
2 2
2 2
2 2
2 2
. lim
y x
y x
x y
x y
x x
x y
x y
x x
x
.
2 2
2 2
2 2
2 2
lim y
x y
x x
x y
x y
x x
x
2 2
2 2
2 2
2 2
2
2 lim
y x
y x
x x
y x
y x
x x
x
x
2 2
2 2
2
2 lim
y x
y x
x x
x x
x
x
2 2
2 2
2 lim
y x
y x
x x
x
x
2 2
2 2
y x
x
2 2
y x
x
y y
x F
y y
x F
y z
y
, ,
lim
x y
x y
y x
y
2 2
2 2
lim
2 2
2 2
2 2
2 2
2 2
2 2
. lim
y x
y y
x y
x y
y x
x y
x y
y x
x
.
2 2
2 2
2 2
2 2
lim y
x x
y y
x x
y x
y y
x
x
Kalkulus Peubah Banyak : Dwi Purnomo-
26
2 2
2 2
2 2
2 2
2
2 lim
y x
x y
y x
x y
x y
y y
y x
x
2 2
2 2
2
2 lim
y x
y y
x x
y y
y
x
2 2
2 2
2 lim
y x
y y
x y
y
x
2 2
2 2
y x
y
2 2
y x
y
2 Tentukan
x z
dan
y z
dari
sin y
x z
Jawab
x y
x F
y x
x F
x z
x
, ,
lim x
y x
y x
x
x
sin sin
lim
x y
x y
x x
y x
y x
x
x
2 1
sin 2
1 cos
2 lim
x x
x y
x
x
2 sin
2 cos
lim 2
x x
x y
x
x x
2 sin
lim 2
cos lim
2
2 1
2 2
sin lim
2 cos
lim 2
x x
x y
x
x x
2 1
1 cos
2 y
x
cos y
x
Kalkulus Peubah Banyak : Dwi Purnomo-
27
y y
x F
y y
x F
y z
y
, ,
lim
y y
x y
y x
y
sin sin
lim
y y
x y
y x
y x
y y
x
y
2 1
sin 2
1 cos
2 lim
y y
y y
x
y
2 sin
2 cos
lim 2
y y
y y
x
y y
2 sin
lim 2
cos lim
2
2 1
2 2
sin lim
2 cos
lim 2
y y
y y
x
y y
2 1
1 cos
2 y
x
cos y
x
Untuk memudahkan dalam menentukan turunan parcial dapat dilakukan dengan menggunakan metode sederhana sebagai berikut.
Andaikan
, y
x F
z
maka untuk menentukan
x z
sama artinya dengan menurunkan variabel x dan variabel y dianggap konstan dan
selanjutnya y diturunkan. Demikian pula untuk menentukan
y z
sama artinya dengan menurukan variable y dan variable x dianggap konstant lalu diturunkan.
Dengan cara yang sama, andaikan
, ,
z y
x F
W
adalah fungsi tiga peubah yang terdefinisi dalam selang tertentu maka turunan
parsial pertama dinyatakan dengan
y W
x W
,
, dan
z W
yang secara berturut didefinisikan oleh:
Kalkulus Peubah Banyak : Dwi Purnomo-
28
x z
y x
F z
y x
x F
x W
x
, ,
, ,
lim
y z
y x
F z
y y
x F
y W
x
, ,
, ,
lim
z z
y x
F z
z y
x F
z W
z
, ,
, ,
lim Asalkan limitnya ada.
Selain menggunakan definisi di atas, maka turunan parsial fungsi dua peubah juga dapat dilakukan dengan metode sederhana.
Misal
, y
x F
z
,
x z
berarti x adalah variable dan y konstanta
sedangkan
y z
berarti y variabel dan x konstanta. Demikian pula,
misal
, ,
z y
x F
W
x W
berarti x adalah variabel y dan z adalah
konstanta.
y W
berarti y variabel x dan z adalah konstanta.
z W
berarti z variabel x dan y adalah kosntanta.
Contoh: 1. Ditentukan
x y
xyz z
y x
F tan
2 ,
,
Carilah turunan parsial pertamanya. Dengan metode sederhana didapat
a.
2 2
1 2
, ,
x y
x y
yz x
z y
x F
1 2
2 2
2
y x
yx yz
1 2
1
2 2
2 2
2
y x
yx y
yz x
Kalkulus Peubah Banyak : Dwi Purnomo-
29
b.
x
x y
xz y
z y
x F
1 1
2 ,
,
2
1 2
2 2
y x
x xy
1 2
1
2 2
2 2
2
y x
yx y
yz x
c.
xy z
z y
x F
,
,
Sebagai latihan bagi pembaca tentukan turunan persial pertama fungsi-fungsi di bawah ini:
1.
y x
z
ln
2.
2 2
36 y
x z
3.
sin 1
3 y
x z
4.
3 2
2
3 2
y x
xy z
5.
x
y z
arctan
6.
xz yz
xy z
y x
F
, ,
7.
3 2
2 2
, ,
z y
x z
y x
F
8.
xyz
e xy
z y
x F
2 sin
, ,
9.
z
xy z
y x
F arcsin
, ,
Berdasarkan turunan parsial pertama fungsi dua peubah atau lebih dapat ditentukan turunan parsial ke n untuk n
2. Turunan parsial tersebut dinamakan turunan parsial tingkat tinggi.
Dengan menggunakan analogi fungsi satu peubah dapat ditentukan turunan parsial tingkat 2, 3 dan seterusnya.
Jadi andaikan
, y
x F
z
maka: Turunan parsial tingkat dua adalah
x y
z dan
y x
z y
z x
z
2 2
2 2
2 2
, ,
,
Kalkulus Peubah Banyak : Dwi Purnomo-
30
Demikian pula, jika
, ,
z y
x F
W
Turunan parsial tingkat dua adalah
y z
W x
z W
x y
W z
y W
z x
W y
x W
z W
y W
x W
2 2
2 2
2 2
2 2
2 2
2 2
, ,
, ,
, ,
, ,
Demikian seterusnya. Banyaknya turunan tingkat ditentukan oleh rumus m
n
, dimana m banyaknya variabel dan n menunjukkan turunan ke-n
Contoh 1
Tentukan
2 2
x z
dan
2 2
y z
dari fungsi
y x
xy z
Jawab
y x
xy z
,diperoleh
2
1 y
x xy
y x
y x
z
2 2
y x
y
2
1 y
x xy
y x
x y
z
2 2
y x
x
Sehingga
x
z x
x z
2 2
2 2
y x
y x
4 2
2
1 2
y x
y x
y y
x
4 3
2
2 2
y x
y xy
Dan
2 2
2 2
y x
x y
y z
4 2
2
1 2
y x
y x
x y
x
4 2
3
2 y
x yx
x
Kalkulus Peubah Banyak : Dwi Purnomo-
31
2 Tentukan
2 2
x z
dan
2 2
y z
dari fungsi
2 2
x y
y x
z
Jawab Dari,diperoleh
3 2
2 1
x y
y x
z
2 3
1 2
x y
x y
z
Sehingga
x
z x
x z
2 2
3 2
2 1
x y
y x
4
6 x
y
dan
2 3
2 2
1 2
x y
x y
y z
4
6 y
x
Dengan cara yang sama dapat dicari
x y
z dan
y x
z
2 2
Soal-soal Tentukan
x y
z dan
y x
z y
z x
z
2 2
2 2
2 2
, ,
fungsi-fungsi berikut: 1
y x
z 4
cos 3
sin
2
y x
z
ln
3
2 2
36 y
x z
4
sin 1
3 y
x z
Kalkulus Peubah Banyak : Dwi Purnomo-
32
5
3 2
2
3 2
y x
xy z
6
x
y z
arctan
7
xy
e xy
z 2
sin
8
2
2 arcsin
x y
z
9
2 2
2 sin
2 cos
y x
x y
z 10
2 2
1 y
x z
2.3 Differensial Total
Kategori