Gambar 3.4. Kurva peningkatan kendala
Jika peningkatan kendala hasilnya di objektif perbaikan sebuah
pengurangan nilai maka � , dan kendala
tidak mencapai titik optimum. Jika peningkatan kendala hasilnya di peningkatan nilai, maka
� dan kendala
harus dipenuhi di titik optimum.
3.2.1. Program Multivariabel Kuadrat
Masalah optimasi fungsi kuadrat dengan variabel tunggal dan kendala pertidaksamaan linier tunggal cukup mudah diselesaikan. Pada masalah dengan
banyak variabel ≫ dan banyak kendala pertidaksamaan
≫ , menentukan kendala pertidaksamaan yang akan digunakan pada titik optimum
dapat menjadi sulit. Metode numerik digunakan dalam penyelesaian permasalahan yang melibatkan pendekatan trial-and-error secara berulang untuk menentukan
kendala pertidaksamaan yang aktif. Berikut adalah contoh optimasi berkendala dengan fungsi objektif kuadrat, dengan
= dan = . min
,
+ . +
+ .
dengan kendala +
+ 3.36
− −
,
Universitas Sumatera Utara
Contoh ini juga memiliki fungsi objektif kuadrat dan kendala pertidaksamaan linier dalam variabel. Kontur fungsi tujuan dan dua kendala
pertidaksamaan di plot pada gambar 3.5. Daerah layak dari dua kendala pertidaksamaan adalah sebelah kiri dari garis pada gambar dan diberi lambang
“ ok” dan “ ok”. Gambar ini menunjukkan bahwa pertidaksamaan ,
membatasi solusi dan pertidaksamaan ,
tidak membatasi solusi. Hal ini terlihat pada gambar 3.5 dengan
= , tapi untuk masalah yang lebih rumit mungkin tidak langsung selesai dimana kendala pertidaksamaannya aktif.
Dengan menggunakan metode pengali Lagrange, pengembangan fungsi objektif menjadi
�
�
, , � , � = + .
+ +
+ � +
+ +�
− − 3.37
Berbeda dengan contoh pertama dimana = dan = , kita tidak bisa plot
kontur �
�
, , � , � karena ini akan menjadi plot di ruang dimensi 4. Meskipun demikian, cara pengoptimalannya sama.
min �
�
⇒
��
�
�
|
∗
,
∗
,�
∗
,�
∗
= ⇒
∗
+ , +
∗
+ �
∗
+ �
∗
=
min �
�
⇒
��
�
�
|
∗
,
∗
,�
∗
,�
∗
= ⇒
∗
+
∗
+ �
∗
− �
∗
=
max
�
�
�
⇒
��
�
��
|
∗
,
∗
,�
∗
,�
∗
= ⇒
∗
+
∗
+ =
max
�
�
�
⇒
��
�
��
|
∗
,
∗
,�
∗
,�
∗
= ⇒
∗
−
∗
− =
Jika fungsi objektif adalah fungsi kuadrat dan kendalanya adalah fungsi linier, maka kondisi optimal secara sederhana dibentuk dari persamaan kuadrat,
persamaan linier dan pengali Lagrange. Dalam contoh ini kondisi optimal yang dinyatakan dalam empat persamaan linier dengan empat variabel yang tidak
diketahui. Secara umum kita mungkin tidak mengetahui mana kendala persamaan yang aktif. Jika hanya ada beberapa kendala persamaan, hal itu tidak terlalu sulit
Universitas Sumatera Utara
untuk mencoba semua kombinasi dari sejumlah kendala, yaitu dengan menetapkan pengali Lagrange untuk kendala pertidaksamaan lainnya sama dengan nol.
Pertama, tentukan minimum yang tidak dibatasi oleh kendala
, ataupun
, yang aktif,
�
∗
= , �
∗
= , dan [
] [
∗ ∗
] = [− . ] 3.38
[ | − . ] ~ [
| − ] ~ [ |
− ] ~ [
− |
− ] 3.39
∗
=
∗
=
∗
= .
∗
−
∗
= −
∗
= − + .
∗
= − . sehingga:
[
∗ ∗
] = [− .. ] 3.40
Kendala yang tidak dibatasi ditunjukkan pada gambar 3.5 sebagai “”. Subsitusi nilai
∗
dan
∗
ke persamaan kendala.
∗
,
∗
=
∗
+
∗
+ = − .
+ .
+ = .
Universitas Sumatera Utara
∗
,
∗
=
∗
−
∗
− =
− . −
. −
= − . Jadi, kendala yang tidak dibatasi tidak cocok karena kendala
− . , . .
Selanjutnya, asumsikan kedua kendala
, dan
, adalah aktif, nilai
optimal untuk
∗
,
∗
, �
∗
, �
∗
dicari, dan keempat persamaan harus diselesaikan bersama-sama.
[ −
− ]
[
∗ ∗
�
∗
�
∗
] = [
− . −
] 3.41
[ −
− |
− . −
] ~ [
− −
| |
− −
] ~
[ −
− |
| −
− ]
3.42
∗
=
∗
=
−
= − .
∗
+
∗
= −
∗
= − − − .
∗
= − + .
∗
= − .
Universitas Sumatera Utara
∗
+ �
∗
− �
∗
= − .
+ �
∗
− �
∗
= − . + �
∗
− �
∗
= �
∗
− �
∗
= .
∗
+
∗
+ �
∗
+ �
∗
= −
− . + − .
+ �
∗
+ �
∗
= −
− . + �
∗
+ �
∗
= − �
∗
+ �
∗
= . �
∗
+ �
∗
= . �
∗
= . − �
∗
�
∗
− �
∗
= . . − �
∗
− �
∗
= . . − �
∗
− �
∗
= . − �
∗
= . �
∗
= − .
�
∗
= . − �
∗
�
∗
= . − − .
Universitas Sumatera Utara
�
∗
= . sehingga:
[
∗ ∗
�
∗
�
∗
] = [
− . − .
. − .
] 3.43
Minimum kendala ditunjukkan pada gambar 3.5 sebagai “o” di perpotongan antara garis
, dan
, . Perhatikan bahwa
�
∗
menunjukkan bahwa tidak aktif, dimana
− . , − . =
− . − − .
− = Jadi, ketika solusi ini layak baik
dan menuju 0 solusinya bisa
diperbaiki dengan melepaskan kendala dan bergerak ke garis
.
Jadi, diasumsikan hanya kendala
yang aktif, tidak aktif,
�
∗
= , dan
[ ] [
∗ ∗
�
∗
] = [ − .
− ]
3.44
[ |
− . −
] ~ [ |
− −
] 3.45
∗
+
∗
= −
∗
= − −
∗
∗
+ �
∗
=
∗
+ �
∗
= �
∗
= −
∗
Universitas Sumatera Utara
∗
+
∗
+ �
∗
= −
∗
+
∗
+ �
∗
= −
∗
+
∗
+ −
∗
= −
∗
−
∗
= −
∗
−
∗
= −
∗
− − −
∗
= −
∗
+ +
∗
= −
∗
= −
∗
= − .
∗
+
∗
= − − .
+
∗
= − − . +
∗
= −
∗
= .
∗
= .
�
∗
= −
∗
�
∗
= − .
�
∗
= .
Universitas Sumatera Utara
sehingga:
[
∗ ∗
�
∗
] = [ − .
. .
] 3.46
Minimum kendala ditunjukkan sebagai “o” pada garis dalam gambar 3.5. Perhatikan bahwa
�
∗
yang menunjukkan bahwa kendala ini aktif. Subsitusikan
∗
dan
∗
ke dalam ,
memberikan nilai,
− . , . =
∗
−
∗
− =
− . −
. −
= − . Jadi, kendala minimum ini layak dengan kedua kendala. Ini adalah
solusi yang kita cari.
Sebagai pemeriksaan terakhir, diasumsikan hanya kendala
yang aktif, tidak
aktif, �
∗
= . [
− −
] [
∗ ∗
�
∗
] = [ − .
] 3.47
[ −
− |
− . ] ~ [
− −
| −
] 3.48
∗
−
∗
=
∗
=
∗
−
∗
+
∗
− �
∗
=
Universitas Sumatera Utara
∗
+
∗
− − �
∗
=
∗
+
∗
− − �
∗
=
∗
− �
∗
=
�
∗
=
∗
−
∗
+
∗
− �
∗
=
∗
+
∗
− + �
∗
= −
∗
+
∗
− + �
∗
= −
∗
+ �
∗
=
∗
+
∗
− =
∗
+
∗
− =
∗
= +
∗
= .
∗
= .
Universitas Sumatera Utara
∗
−
∗
=
. −
∗
=
∗
= . − .
∗
= − .
�
∗
=
∗
−
�
∗
= .
− �
∗
= − . sehingga:
[
∗ ∗
�
∗
] = [ .
− . − .
] 3.49
Kendala minimum ditunjukkan sebagai “o” di garis pada gambar 3.5 Perhatikan bahwa
�
∗
, yang menunjukkan bahwa kendala tidak aktif, bertentangan dengan asumsi kita. Selanjutnya, subsitusi
∗
dan
∗
ke dalam
∗
,
∗
memberikan nilai:
∗
,
∗
=
∗
+
∗
+ =
. + − .
+ = .
Sehingga kendala minimum ini tidak cocok dengan kendala karena
. , − . .
Universitas Sumatera Utara
Gambar 3.5. Kontur fungsi objektif �
�
, , � , � = + .
+ +
+ � +
+ + �
− − . a � =
, ; b
�
�
= ,
+ �
∗
, . Perhatikan
bahwa kontur �
�
bergeser sehingga minimum dari �
�
adalah di titik optimal sepanjang garis
-1 -0.5
0.5 1
-1 -0.5
0.5 1
g
1
ok g
2
ok
a
-1 -0.5
0.5 1
-1 -0.5
0.5 1
g 1
ok g
2 ok
b
Universitas Sumatera Utara
BAB 4 KESIMPULAN DAN SARAN
4.1. Kesimpulan
Berdasarkan kajian dan analisis yang dilakukan dapat disimpulkan bahwa: 1.
Ide dasar dikembangkannya metode pengali Lagrange adalah banyaknya masalah optimasi berkendala yang terjadi dalam kehidupan nyata, dimana
batasan atau kendalanya tidak hanya satu fungsi. Selain itu masalah optimasi dapat juga berbentuk fungsi nonlinier dan tidak mudah untuk
menentukan titik kritis dari fungsi yang ada. 2.
Metode pengali Lagrange dikembangkan berdasarkan pada kenyataan bahwa masalah optimasi dengan kendala, nilai ektremnya terletak pada titik
kritis. Metode pengali Lagrange menyediakan suatu metode aljabar yang cukup baik untuk menentukan titik kritis, sehingga masalah ekstrem
berkendala dapat diatasi. 3.
Fungsi pengali Lagrange bermanfaat dalam mentransformasi persoalan optimasi berkendala menjadi persoalan optimasi tanpa kendala.
Kebanyakan persoalan optimasi tanpa kendala dapat diselesaikan setelah persoalan tersebut diubah menjadi persoalan optimasi tanpa kendala.
4. Metode pengali Lagrange mampu menyelesaikan masalah dengan kendala
persamaan dan pertidaksamaan. Selain itu metode ini mampu menyelesaikan masalah optimasi dengan fungsi nonlinier.
5. Metode pengali Lagrange dapat digunakan untuk mencari solusi optimum
dari masalah optimasi dengan kendala pertidaksamaan. Tetapi dalam penyelesaiannya, metode Lagrange tidak menjamin akan dihasilkan solusi
optimum global.
Universitas Sumatera Utara
