� = Dengan demikian, kendala pertidaksamaan dapat dimasukkan ke dalam fungsi
Lagrange jika kendalanya adalah persamaan, kecuali bahwa kita memerlukan µ dan ketika
≠ , µ = . Tidak ada jaminan akan didapatkan optimum global meskipun masalah optimasi tersebut mempunyai solusi tunggal.
3.1.5. Penerapan Metode Lagrange Pada Sistem Daya Operasi Generator
Metode pengali Lagrange secara luas digunakan untuk menyelesaikan masalah nilai ekstrem pada ilmu pengetahuan, ekonomi, dan teknik. Pada ekonomi, jika kamu
memaksimumkan keuntungan dengan sumber yang terbatas, dimana � memiliki arti
sebagai sumber nilai yang kecil atau terkadang disebut harga bayangan. Secara khusus, nilai pengali Lagrange menaksir nilai optimal dari fungsi objektif yang
akan berubah jika kendalanya dirubah. Salah satu aplikasi penting dari metode pengali Lagrange dalam sistem daya adalah economic dispatch atau
�-dispatch problem
, yang menghubungkan bidang teknik dan ekonomi. Pada masalah ini, fungsi objektif meminimumkan biaya pengoperasian pembangkit dan variabelnya
dibatasi oleh kendala keseimbangan daya. Economic dispatch diilustrasikan pada contoh berikut.
Terdapat 3 generator dengan masing-masing fungsi harganya menyimpan daya 952Mw. Hitung pembagian optimal dari masing-masing pembangkit.
: + , 3.21
: + ,
: + ,
dimana: adalah daya yang dihasilkan generator Mw.
adalah biaya beroperasi generator per jam jam.
Universitas Sumatera Utara
Fungsi biaya dengan batasan dihasilkan oleh kurva polynomial yang disesuaikan berdasarkan data operasi generator. Karena
=
�
dan biaya untuk memproduksi
� unit adalah . Diperoleh [ ] ≡ [ ] ≡ [
ℎ
]. Sehingga biaya menjadi
ℎ
. Langkah awal dalam menentukan pembagian optimal dari generator adalah
memodelkannya dalam bentuk matematika. Dengan demikian model optimasinya adalah:
: = + + = + ,
+ + ,
+ + ,
3.22 dengan kendala:
= +
+ −
= 3.23
Fungsi Lagrange: =
+ , +
+ , +
+ , − �
+ +
− 3.24
Dengan = dan hasil himpunan persamaan linier adalah:
� �
= + , − � =
3.25
� �
= + , − � =
� �
= + , − � =
� ��
= +
+ −
= ,
, ,
− −
− �
= −
− −
3.26
Universitas Sumatera Utara
Dari persamaan 3.25 diperoleh: � = + ,
= + , = + ,
3.27 Andaikan diambil,
+ , = + ,
, = ,
= ,
,
=
+ , = + ,
, = ,
= ,
,
= Subsitisukan hasil persamaan 3.27 ke persamaan kendala:
+ + =
+ +
= +
+ =
= . =
.
=
Universitas Sumatera Utara
=
= =
=
= =
Subsitusikan nilai ke dalam
�, diperoleh: � = + ,
= Menentukan nilai ekstrem. Karena titik kritis
= , , , � adalah
, ,
, ,
maka titik
kritis fungsi
= , ,
adalah ,
, . Jadi, nilai ekstrem
= + ,
+ + ,
+ +
, dengan kendala
+ +
= adalah,
= + ,
+ + ,
+ + ,
= . Jadi, biaya minimum untuk mengoperasikan 3 generator setiap jam sebesar
7.616 dengan masing-masing rincian generator adalah
Biaya operasi generator pertama
sebesar 896 dan daya yang dikeluarkan sebesar 112Mw.
Biaya operasi generator kedua
sebesar 4.480 dan daya yang dikeluarkan sebesar 560Mw.
Biaya operasi generator ketiga
sebesar 2.240 dan daya yang dikeluarkan sebesar 280Mw.
Biaya tambahan untuk system
� sebesar 15Mwhr.
Dari pembahasan di atas dapat disimpulkan bahwa metode pengali Lagrange adalah suatu alat yang sangat efisien untuk permasalahan optimasi
nonlinier yang disertai dengan kendala persamaan dan kendala pertidaksamaan. Banyak metode program komputer seperti metode titik barrier dan interior telah
Universitas Sumatera Utara
dikembangkan berdasarkan aturan metode pengali Lagrange. Metode pengali Lagrange dan perluasan metode ini telah diterapkan pada ilmu pengetahuan, teknik,
ekonomi, dan dalam kehidupan kita sehari-hari.
3.2. Optimasi Berkendala Menggunakan Pengali Lagrange
