tidak selalu membawa hasil bilamana kendalanya melibatkan lebih dari satu persamaan kendala. Sedangkan masalah optimasi berkendala yang sering timbul
dalam masalah nyata, batasan atau kendalanya tidak hanya satu fungsi. Metode subsitusi juga sering tidak dapat menyelesaikan sebagian besar masalah optimasi
dengan fungsi nonlinier. Hal yang sering timbul adalah tidak mudah untuk menentukan titik kritis dari fungsi yang ada.
Metode pengali Lagrange dikemukakan oleh Joseph Louis Lagrange, menyajikan sebuah metode alternatif untuk menyelesaikan masalah optimasi
dengan kendala nonlinier. Metode ini mampu menyelesaikan masalah dengan kendala persamaan dan pertidaksamaan. Metode ini dikembangkan berdasarkan
pada kenyataan bahwa masalah optimasi dengan kendala, nilai ekstremnya terletak pada titik kritis. Metode Lagrange ini menyediakan suatu metode aljabar yang
cukup baik untuk menentukan titik kritis, sehingga masalah ekstrem terkendala dengan metode ini dapat diatasi.
3.1.1. Metode Pengali Lagrange
Bentuk umum masalah optimasi nonlinier dengan kendala persamaan, yaitu: min
, … , dengan kendala:
, … , =
dimana, = [
, … , = , … ,
, … , = ] adalah vektor fungsi
kendala. Bentuk fungsi Lagrange adalah sebagai berikut:
�, � = � − � � 3.4
dimana: = [ , … , ] adalah vektor variabel
Universitas Sumatera Utara
� = [� , … , � ], � , … , � disebut pengali Lagrange Titik ekstrem dan pengali Lagrange
� memenuhi: =
3.5 sehingga
� �
− ∑ �
= �
= , = , … , 3.6
3.1.2. Pembuktian Matematis Untuk Metode Pengali Lagrange
Bukti akan diilustrasikan pada contoh berikut: =
, , , 3.7
dengan kendala: � , , , =
3.8 � , , , =
3.9 Diasumsikan bahwa di titik
�, , , � , fungsi akan mencapai nilai ekstrem ketika dicocokkan dengan nilai pada setiap titik tetangga yang memenuhi
kendala. Juga asumsikan bahwa Jacobbian.
� �,� � ,
= � � − � � ≠ 3.10 Sehingga pada titik diketahui nilai 2 variabel yaitu dan , seperti fungsi
lainnya dan . Subsitusi fungsi =
, dan = ℎ , ke fungsi objektif , lalu diperoleh fungsi objektif dari 2 variabel bebas dan , dan fungsi ini harus
memiliki nilai ekstrem bebas pada titik = �, = , sehingga memenuhi
+
� �
+
� �
= 3.11
+
� �
+
� �
=
Universitas Sumatera Utara
Nilai untuk λ dan µ dapat ditentukan dari persamaan berikut:
− �� − µ� = 3.12
− �� − µ� = Diambil turunan parsial terhadap diperoleh:
� + �
� �
+ �
� �
= 3.13
� + �
� �
+ �
� �
= Kalikan persamaan di atas dengan
− λ dan − µ: − λ � − λ �
� �
− λ �
� �
= 3.14 − µ� − µ�
� �
− µ�
� �
= Kemudian akan dijumlahkan
− λ � − µ� + − �� − µ�
� �
+ − �� − µ�
� �
= 3.15
Dengan demikian diperoleh: − λ � − µ� =
3.16 Secara serupa diperoleh:
− λ � − µ� = 3.17
Pembuktian metode dapat dilakukan secara serupa pada fungsi objektis dengan variabel dan kendala yang lebih banyak.
Universitas Sumatera Utara
3.1.3. Penjelasan Geometri Pada Metode Pengali Lagrange
Gambar 3.1. Kontur lingkaran dari fungsi objektif dan daerah layak
Peraturan untuk metode Lagrange dapat dijelaskan dari gambar titik geometri. Gambar 3.1. menunjukkan kontur kurva dari sebuah fungsi objektif dan daerah
layak dari solusi. Kurva lingkaran adalah kontur dari fungsi objektif . Garis tebal adalah titik yang memenuhi kendala
= . Panah menunjukkan arah menurun dari fungsi objektif. terus meluas dan memotong garis sampai mencapai posisi
keduanya telah bersentuhan seluruhnya dan saling bersinggungan. Masalah optimasi dalam hal ini adalah menentukan dimana fungsi tersebut
mencapai maksimum dan dimana fungsi mencapai minimum di sepanjang kurva perpotongan. Nilai maksimum dan minimum akan terjadi ketika kurva lingkaran
dan fungsi objektif menyinggung garis kendala. Inilah gagasan kunci di balik metode pengali Lagrange.
Kurva lingkaran dan garis kendala saling bersinggungan yaitu mempunyai sebuah garis singgung yang sama maka kedua kurva tersebut mempunyai garis
tegak lurus yang sama. Tetapi di sebarang titik pada kurva lingkaran, vektor gradien tegak lurus terhadap garis kendala, dan dengan cara yang sama
tegak lurus terhadap kurva lingkaran, oleh karena itu:
= � 3.18
Universitas Sumatera Utara
3.1.4. Perluasan Metode Lagrange Dengan Kendala Pertidaksamaan
Metode pengali Lagrange juga mencakup kasus kendala pertidaksamaan seperti pada persamaan 3.1.3. Dalam daerah layak,
, … , = atau
, … , . Jika optimum yang dihasilkan memenuhi semua kendala maka
titik optimum sudah dicapai. Tetapi jika optimum tidak memenuhi semua kendala maka optimum terkendala harus terjadi pada satu titik kendala ruang solusi. Ketika
= , dikatakan aktif tetapi tidak aktif. Fungsi Pengali Lagrange
diformulasikan sebagai berikut:
�, �, µ = � − � � − µ �
3.19 dimana:
µ = [µ , … , µ ] = [
, … , , … ,
, … , ]
Ketika tidak aktif kita dapat menghapus kendala tersebut dengan
menetapkan µ = . Aktifkan sembarang kendala dan optimumkan
dengan kendala aktif menggunakan metode Lagrange. Jika titik optimum yang
dihasilkan memenuhi semua kendala maka akan dihasilkan solusi optimum. Apabila titik optimum yang dihasilkan dari
tidak memenuhi semua kendala maka harus diaktifkan sembarang kendala yang lain. Tetapi jika titik optimum yang
dihasilkan hanya memenuhi sebagian kendala saja, maka akan dihasilkan titik optimum dengan solusi lokal saja.
Ketika meluas mencakup kendala pertidaksamaan, aturan untuk metode pengali Lagrange dapat diformulasikan sebagai berikut:
� − ∑ �
=
� − ∑ µ
=
� = � .
µ = , … ,
µ = = , … ,
Universitas Sumatera Utara
� = Dengan demikian, kendala pertidaksamaan dapat dimasukkan ke dalam fungsi
Lagrange jika kendalanya adalah persamaan, kecuali bahwa kita memerlukan µ dan ketika
≠ , µ = . Tidak ada jaminan akan didapatkan optimum global meskipun masalah optimasi tersebut mempunyai solusi tunggal.
3.1.5. Penerapan Metode Lagrange Pada Sistem Daya Operasi Generator
