Jika kontinu pada sebuah himpunan � tertutup terbatas, maka mencapai
nilai maksimum global dan nilai minimum global di himpunan tersebut. Misalkan adalah fungsi dengan daerah asal
�, dan misalkan � adalah sebuah titik di
�.
1. � adalah nilai maksimum global dari di � jika �
� untuk seluruh � di �.
2. � adalah nilai minimum global dari di � jika �
� untuk seluruh � di
�. 3.
� adalah nilai ekstrem global dari di � jika � bukan nilai maksimum global dan bukan nilai minimum global.
Untuk menentukan nilai ekstrem fungsi adalah dengan menentukan titik di daerah asal fungsi, sedemikian sehingga
mencapai nilai maksimum atau minimum. Titik-titik demikian disebut dengan titik kritis.
Masalah mencari nilai maksimum atau minimum akan sangat sulit jika bentuk umum daripada kurva belum diketahui. Di dalam hal ini sangatlah sukar
menentukan apakah titik kritisnya adalah titik maksimum, titik minimum, atau titik lainnya. Cara yang paling mudah ialah dengan mencari turunan pertama atau
turunan kedua yang dekat nilai kritisnya.
2.2.2. Teorema Titik Kritis
Misalkan didefinisikan pada sebuah himpunan � yang mengandung � . Jika
� � adalah sebuah nilai ekstrem, maka � harus merupakan sebuah titik kritis, yaitu
� adalah i
Sebuah titik batas di �
ii Sebuah titik stasioner dari
iii Sebuah titik tunggal dari
Dari definisi di atas, menyatakan bahwa syarat perlu agar fungsi dua variabel mempunyai nilai ekstrim adalah adanya titik kritis. Titik kritis yang
Universitas Sumatera Utara
dibahas dalam hal ini adalah titik stasioner. Ada kemungkinan bahwa fungsi tidak mempunyai titik stasioner, akan tetapi mempunyai nilai ekstrem. Pengertian titik
stasioner didefinisikan dengan menggunakan turunan parsial pertama Edwin J. Purcell, 2003.
2.2.3. Titik Stasioner - Uji Turunan Pertama
Titik ,
dikatakan sebagai titik stasioner pada daerah asal fungsi bilamana, ,
= dan ,
= 2.14
Definisi di atas, menyatakan bahwa syarat perlu adanya nilai ekstrem fungsi dua variabel adalah fungsi mempunyai turunan parsial pertama, dan adanya titik yang
memenuhi turunan pertama sedemikian sehingga nilainya nol. Jika
= adalah titik kritis maka:
Jika ′
merubah tanda dari positif ke negatif ketika nilainya bertambah, di dalam suatu jangka yang mengandung , maka
adalah nilai maksimum dari fungsi tersebut.
Jika ′
merubah tanda dari negatif ke positif ketika nilainya bertambah, di dalam suatu jangka yang mengandung , maka
adalah nilai minimum dari fungsi tersebut.
Jika ′
tidak merubah tanda ketika nilainya bertambah, di dalam suatu jangka yang mengandung , maka
adalah bukan nilai maksimum atau minimum dari fungsi tersebut.
Cara yang lebih mudah bisa diperoleh dengan melalui turunan kedua. Jika turunan kedua hasilnya negatif pada suatu titik menunjukkan bahwa kurvanya pada
titik tersebut terbuka ke bawah concave down ward dan jika hasil turunan keduanya positif pada suatu titik menunjukkan kurvanya terbuka ke atas concave
up ward pada titik tersebut.
2.2.4. Uji Turunan Kedua
