dibahas dalam hal ini adalah titik stasioner. Ada kemungkinan bahwa fungsi tidak mempunyai titik stasioner, akan tetapi mempunyai nilai ekstrem. Pengertian titik
stasioner didefinisikan dengan menggunakan turunan parsial pertama Edwin J. Purcell, 2003.
2.2.3. Titik Stasioner - Uji Turunan Pertama
Titik ,
dikatakan sebagai titik stasioner pada daerah asal fungsi bilamana, ,
= dan ,
= 2.14
Definisi di atas, menyatakan bahwa syarat perlu adanya nilai ekstrem fungsi dua variabel adalah fungsi mempunyai turunan parsial pertama, dan adanya titik yang
memenuhi turunan pertama sedemikian sehingga nilainya nol. Jika
= adalah titik kritis maka:
Jika ′
merubah tanda dari positif ke negatif ketika nilainya bertambah, di dalam suatu jangka yang mengandung , maka
adalah nilai maksimum dari fungsi tersebut.
Jika ′
merubah tanda dari negatif ke positif ketika nilainya bertambah, di dalam suatu jangka yang mengandung , maka
adalah nilai minimum dari fungsi tersebut.
Jika ′
tidak merubah tanda ketika nilainya bertambah, di dalam suatu jangka yang mengandung , maka
adalah bukan nilai maksimum atau minimum dari fungsi tersebut.
Cara yang lebih mudah bisa diperoleh dengan melalui turunan kedua. Jika turunan kedua hasilnya negatif pada suatu titik menunjukkan bahwa kurvanya pada
titik tersebut terbuka ke bawah concave down ward dan jika hasil turunan keduanya positif pada suatu titik menunjukkan kurvanya terbuka ke atas concave
up ward pada titik tersebut.
2.2.4. Uji Turunan Kedua
Universitas Sumatera Utara
Untuk menentukan nilai ekstrem fungsi, di samping dipersyaratkan adanya titik kritis diperlukan penyelidikan lanjutan untuk mengetahui apakah titik kritis tersebut
memberikan nilai ekstrem. Penyelidikan pada titik kritis demikian disebut pengujian syarat kecukupan nilai ekstrem. Uji syarat cukup yang digunakan adalah
uji turunan kedua, khususnya bilamana titik kritisnya adalah titik stasioner. Andaikan
, mempunyai turunan parsial kedua kontinu dalam lingkungan
, dimana
, = dan
, = . Misalkan,
= ,
= ,
, − [
, ]
2.15 Maka
i Jika
dan ,
, ,
adalah sebuah nilai maksimum lokal;
ii Jika
dan ,
, ,
adalah sebuah nilai minimum lokal;
iii Jika
dan ,
bukan sebuah nilai ekstrem ,
adalah sebuah titik pelana;
iv Jika
= , uji yang dilakukan tidak mempunyai hasiltidak dapat disimpulkan.
Untuk menentukan nilai ekstrem fungsi dua variabel, langkah-langkah yang harus dilakukan adalah,
1. Tentukanlah turunan-turunan parsial pertama dan kedua dari
, yakni , ,
, , , ,
, dan , atau
, 2.
Tentukanlah titik kritis stasioner fungsi yakni dengan menetapkan, ,
= dan ,
= 3.
Bentuklah persamaan pembantu, =
, =
, ,
− [ ,
] 2.16
Dan selanjutnya selidikilah jenis nilai ekstrem pada titik kritis dengan menggunakan uji turunan ke dua Prayudi, 2009.
Universitas Sumatera Utara
Turunan kedua juga bisa digunakan mencari titik-titik belok dari fungsi tersebut jika ada, yaitu suatu titik pada mana suatu fungsi berubah bentuknya dari
terbuka ke atas ke terbuka ke bawah. Suatu titik belok dapat terjadi jika turunan keduanya sama dengan nol. Tidak
semua titik-titik dimana turunan keduanya sama dengan nol, adalah titik belok. Titik belok bisa juga terjadi pada nilai
= dimana ′′ tidak tentu. Dengan
demikian suatu titik belok suatu fungsi pada = bisa terjadi:
1.
′′
= 2.
′′ tidak tentu.
2.3. Metode Pengali Lagrange
Andaikan akan dicari nilai ekstrem relatif fungsi dari dengan variabel dan
kendala kesamaan seperti berikut:
Minimumkan 2.17
= , , … ,
dengan kendala = , = , , … ,
Ada suatu ketentuan bahwa , hal ini dikarenakan jika
maka persamaan tersebut tidak bias diselesaikan.
Fungsi Lagrange untuk kasus ini didefinisikan dengan memperkenalkan pengali Lagrange
� untuk setiap kendala sebagai
, , … , , � , � , … , � =
+ ∑ �
=
, , … , .
Dengan memperlakukan sebagai sebuah fungsi
+ variabel , , … , , � , � , … , � , maka syarat perlu untuk ekstrimum dari yang juga
merupakan solusi masalah asal, diberikan oleh �
� = �
� + ∑ �
=
� � = , = , , … , .
Universitas Sumatera Utara
� �� =
= , = , , … , .
Persamaan di atas melibatkan + persamaan dalam + variabel tak
diketahui dan
� . Penyelesaian dari persamaan di atas adalah
∗
=
∗
,
∗
, … ,
∗
dan �
∗
= �
∗
, �
∗
, … , �
∗
Djoko Luknanto, 2000.
Universitas Sumatera Utara
BAB 1 PENDAHULUAN
1.1. Latar Belakang
Optimasi Optimization adalah aktivitas untuk mendapatkan hasil terbaik di dalam suatu keadaan yang diberikan. Tujuan akhir dari semua aktivitas tersebut adalah
meminimumkan usaha effort atau memaksimumkan manfaat benefit yang diinginkan. Karena usaha yang diperlukan atau manfaat yang diinginkan dapat
dinyatakan sebagai fungsi dari variabel keputusan, maka optimasi dapat didefinisikan sebagai proses untuk menemukan kondisi yang memberikan nilai
minimum atau maksimum dari sebuah fungsi. Kondisi tersebut akan dimodelkan dalam fungsi tujuan, dimana fungsi tujuan itu dapat berupa fungsi linier dan fungsi
non linier Parwadi Moengin, 2011. Secara matematis fungsi tujuan dapat dinyatakan sebagai berikut.
Maksimum Atau
Minimum Program linier merupakan salah satu teknik riset operasi yang mampu
menyelesaikan masalah optimasi dimana fungsi tujuan dan kendalanya adalah fungsi linier. Model matematika pemrograman linier dapat ditulis dalam bentuk
formulasi umum sebagai berikut: Masalah Maksimasi.
Maksimum: =
+ + +
1.1 dengan kendala:
+ + +
Universitas Sumatera Utara
