Pendekatan Numerik pada CFD FLUENT .1 Ketentuan Matematis

3.3 Pendekatan Numerik pada CFD FLUENT 3.3.1 Ketentuan Matematis - Memungkinkan dimana, jumlah vektor yang diperlihatkan dengan bentuk tanda panah misalnya; , . Sebagai pengganti untuk vektor dan matriks yang diaplikasikan kedalam persamaan linear misalnya; matriks identitas, I. - Lambang operator ∇, menunjukkan seperti gradien, yang menwakili jumlah bentuk derivatif parsial yang berkaitan dengan semua arah yang dipilih dalam sistem koordinat. Didalam koordinat Cartesian, ∇ didefinisikan menjadi : + + ……………….……………3.1 Lambang ∇ ditunjukkan dalam beberapa cara : • Gradien jumlah vektor skalar dari komponen parsial derivatif, ∇p = + + ……………………………….3.2 • Gradien jumlah vektor persamaan tensor orde tingkat kedua, ∇ = …………..3.3 Persamaan tensor ini biasanya ditulis dalam bentuk : ……………………...3.4 • Divergensi jumlah vektor, dimana menghasilkan antara ∇ dan vektor : ∇ = …………….….3.5 Universitas Sumatera Utara • Bentuk operator ∇.∇, dimana biasanya ditulis dalam bentuk dan dikenal sebagai persamaan Laplace : = + + ……………………....3.6 berbeda dengan bentuk , dimana didefinisikan sebagai : = + + …………… …...…3.7 - Sebuah pengecualian untuk penggunaan pada tekanan Reynolds, dimana ketentuan ini digunakan pada notasi tensor Cartesian. Dalam hal ini, kita juga dapat mencari beberapa komponen vektor kecepatan yang ditulis seperti , , dan .

3.3.2 Persamaan Kontinuitas, Momentum dan Energi

Untuk semua aliran, FLUENT memecahkan persamaan kekekalan untuk massa dan momentum. Untuk aliran menyertakan perpindahan panas atau bersifat kompresibel, dipecahkan sebuah persamaan tambahan untuk kekekalan energi. Penambahan persamaan transport juga dipecahkan ketika aliran adalah turbulen. - Persamaan kekekalan massa Persamaan kekekalan massa, atau persamaan kontinuitas, dapat ditulis sebagai berikut : + ∇.ρ = ……………………………...3.8 Universitas Sumatera Utara Ini adalah bentuk umum persamaan kekekalan massa dan berlaku untuk untuk aliran inkompressibel maupaun kompressibel. Sumber adalah massa yang ditambah untuk fase terus-menerus. Untuk geometri dua dimensi, persamaan kontinuitas sebagai berikut : = ……..…………3.9 Dimana, adalah koordinat aksial, adalah koordinat radial, adalah kecepatan aksial, dan adalah kecepatan radial. - Persamaan kekekalan momentum Kekekalan momentum inersia tanpa percepatan sebagai acuan diuraikan : + ∇. = −∇p+∇. + ρ + ………….3.10 Dimana, p adalah tekanan statis, tegangan tensor, ρ dan adalah gaya gravitasi benda dan gaya eksternal benda. Tegangan tensor diberikan oleh : = μ …………….....3.11 Dimana, μ kecepatan molekul, I adalah unit tensor, dan masa kedua pada sisi sebelah kanan efek dilatasi volume. Untuk bidang dua dimensi, persamaan kekekalan momentum aksial dan radial, sebagai berikut : + + = − + ………3.12 Dan Universitas Sumatera Utara + + = − + …………………………...3.13 Dimana, ∇. = …………………..3.14 Dan adalah kecepatan putaran. - Persamaan energi FLUENT memecahkan persamaan energi dalam bentuk berikut : + ∇. = ∇ + ……………..……3.15 Dimana, adalah konduktivitas efektif , dimana adalah konduktivitas panas turbulen, didefinisikan menurut bentuk turbulen yang digunakan, dan adalah flux difusi jenis j. termasuk pada persamaan panas reaksi kimia dan persamaan panas volumetrik lainnya. Dalam persamaan 3.15 : E = h − + ………………………………..3.16 Dimana, enthalpy h didefinisikan untuk gas ideal yaitu : h = ……………………………………3.17 Universitas Sumatera Utara Dan untuk aliran kompresibel yaitu : h = + ……………………...…………3.18 Dalam persamaan tersebut, adalah fraksi massa dan, ………………………...……3.19 Dimana, adalah 298,15 K.

3.3.3 Fisik Aliran Kompressibel

Aliran kompressibel secara khas dikarakteristikkan oleh tekanan total dan temperatur total pada aliran. Untuk gas ideal, jumlah ini dapat menjadi hubungan untuk tekanan statis dan temperatur sebagai berikut : = exp ………….......................3.20 Untuk ,konstan, maka persamaan menjadi : = …………...……...3.21 = …………………………..3.22

3.3.4 Model Turbulensi

Aliran turbulen dikenali dengan adanya medan kecepatan yang berfluktuasi. Fluktuasi kecepatan tersebut membawa berbagai besaran seperti momentum, energi, konsentrasi partikel, sehingga besara tersebut juga ikut berfluktuasi. FLUENT menyediakan beberapa model turbulensi, yaitu : • Model Spalart-Allmaras • Model k-epsilon k – ε o Standard k – ε o Renormalization-group RNG Universitas Sumatera Utara o Realizable k – ε • Model k-omega k – ω o Standard k – ω o Shear-stress transport SST • Model Reynolds stress RSM o Model Linear pressure-strain RSM o Model Quadratic pressure-strain RSM o Model Low-Re stress-omega RSM • Model Large Eddy Simulation LES – khusus 3 dimensi - Persamaan transport model Standard k – ε Model ini merupkan model semi empiris yang dikembangkan LaunderSpalding. Merupakan model turbulensi yang cukup lengkap dengan dua persamaan yang memungkinkan kecepatan turbulen turbulent velocity dan skala panjang length scales ditentukan secara independen. Energi kinetik turbulen k, dan nilai disipasi ε, diperoleh dari mengikuti persamaan transport : + = + + − ρε− + …………………3.23 Dan ………3.24 Universitas Sumatera Utara Dalam persamaan ini, : mewakili generasi energi kinetik turbulen yang merupakan gradient kecepatan rata-rata. : mewakili generasi energi kinetik turbulen yang merupakan gaya apung buoyancy. : mewakili kontribusi fluktuasi dilatasi dalam kompresibel turbulen untuk angka disipasi keseluruhan. , , adalah konstan dan angka Prandtl turbulen dan adalah sumber yang didefinisikan pengguna. - Bentuk viskositas turbulen Bentuk turbulen atau viskositas Eddy , dikomputasi dengan kombinasi k – ε, sebagai berikut : ………………………..3.25 Dimana, adalah konstan. Model konstan Model konstan , , , dan mempunyai nilai tetap : , , , , Nilai tetap ini dideterminasi dari eksperimen udara dan air pada dasar aliran turbulen yang homogen. Universitas Sumatera Utara

3.3.5 Persamaan Umum Transport Skalar; Diskritisasi dan Solusi

FLUENT meggunakan teknik basis volume control untuk mengkonversi persamaan umum transport skalar ke sebuah persamaan aljabar yang dipecahkan secara numerik. Teknik control volume ini terdiri dari integrasi persamaan transport masing-masing control volume, yang menghasilkan persamaan diskrit yang menyatakan hukum kekekalan pada basis control volume. Diskritisasi persamaan pembentuk aliran dapat dengan sangat mudah diilustrsikan dengan mempertimbangkan persamaan kekekalan unsteady untuk jumlah transport skalar ϕ ini dapat ditunjukkan dengan mengikuti persamaan yang ditulis dalam bentuk integral pada volume control V sebagai berikut : ………………..3.26 Dimana, ρ = massa jenis = kecepatan vector dalam dua dimensi = area permukaan vector = koefisien difusi untuk = gradien dalam dua dimensi = sumber per unit volume Universitas Sumatera Utara Persamaan 4.26 diaplikasikan untuk masing-masing volume control, atau cell dalam domain komputasi. Diskritisasi persamaan 3.26 yang diberikan pada cell menghasilkan : ………………..3.27 Dimana, = angka masukan bidang sell = nilai konveksi melalui bidang = fluks massa melalui bidang = area bidang , , bidang 2 dimensi = gradien , pada bidang = volume sell Universitas Sumatera Utara Gambar 3.3 Volume control digunakan utnuk mengilustrasikan diskritisasi persamaan transport skalar

3.3.6 Penyelesaian Persamaan Linear

Linearisasi bentuk persamaan 4.27 dapat ditulis sebagai berikut : ………………………..3.28 Dimana, subscript berkenaan pada sell yang dekat, dan dan adalah linearisasi koefisien pada dan . FLUENT memecahkan system linear menggunakan titik implicit Gauss- Seidel pemecah persamaan linear bersama dengan metode multrigid aljabar AMG.

3.3.7 Dasar Penyelesaian Tekanan Pressure-Based Solver

Bentuk praktis yang sangat mudah diuraikan dengan mempertimbangkan persamaan kontinuitas dan momentum pada kondisi steady-state dalam bentuk integral : …..….…..3.29 …………3.30 Dimana, I adalah matriks identitas, adalah tegangan tensor, dan adalah gaya vector. Universitas Sumatera Utara - Diskritisasi persamaan kontinuitas Persamaan 3.30 dapat diintegrasikan diluar control volume untuk menghasilkan persamaan diskrit : ………………………3.31 Dimana, adalah fluks massa melalui permukaan Dengan menggunakan prosedur ini, bidang fluks , dapat ditulis : ……………………….. 3.32 Dimana, , dan , berturut-turut adalah tekanan dan kece patan normal, diantara kedua sell pada salah satu sisi bidang, dan menpunyai pengaruh kecepatan dalam sell. Dan istilah adalah fungsi , rata-rata persamaan momentum koefisien pada sell dalam salah satu bidang . - Diskritisasi persamaan momentum Sebagai contoh, persamaan momentum di dapat diperoleh dengan mengubah : ………………….3.33 Universitas Sumatera Utara FLUENT menggunakan skema lokasi, dimana tekanan dan kecepatan keduanya disimpan pada pusat sell. Bentuk tetap skema interpolasi nilai tekanan pada permukaan menggunakan koefisien persamaan momentum dalam FLUENT yaitu : ……………………….3.34 Prosedur ini bekerja sejauh variasi tekanan diantara pusat sell adalah licin.

3.3.8 Diskritisasi Metode Interpolasi

Pada dasarnya, FLUENT hanya menghitung pada titik-titik simpul mesh geometri, sehingga pada bagian di antara titik simpul tersebut harus dilakukan interpolasi untuk mendapatkan nilai kontinyu pada sluruh domain. Terdapat beberapa skema interpolasi yang sering digunakan yaitu : - First-order upwind scheme Skema interpolasi yang paing ringan dan cepat mencapai konvergen, tetapi ketelitiannya hanya orde satu. Ketika skema ini dipilih, nilai bidang dalah sama dengan nilai pusat sell dalam sell upstream. Skema ini memungkinkan digunakan pada penyelesaian berbasis tekanan dan rapatan density - Second-order upwind scheme Menggunakan persamaan yang lebih teliti sampai orde 2, sangat baik digunaan pada mesh tritet dimana arah aliran tidak sejajar dengan mesh. Karena metode Universitas Sumatera Utara interpolasi yang digunakan lebih rumit, maka lebih lambat mencapai konvergen. Ketika skema ini dipilih, nilai bidang dikomputasi mengikuti bentuk : ……………………......3.35 Dimana, dan adalah nilai pusat sell dan gradient dalam sell upstream, dan adalah vektor perpindahan dari pusat luasan sell upstream ke bidang pusat luasan. - Quadratic Upwind Interpolation QUICK scheme Diaplikasikan untuk mesh quadhex dan hybrid, tetapi jangan digunakan untuk elemen mesh tri, dengan alian fluida yang berputarswirl. Ketelitiannya mencapai orde 3 pada ukuran mesh yang seragam. Untuk bidang e pada Gambarxxx, jika aliran dari kiri ke kanan, seperti itu nilai dapat ditulis sebagai berikut : ………..3.36 Gambar 3.4 Volume control satu dimensi Universitas Sumatera Utara dalam persamaan di atas hasil dalam pusat interpolasi orde 2 dimana hasil nilai orde kedua. Biasanya skema QUICK diperoleh dengan kedaaan . Implementasi pada FLUENT menggunakan variabel, solusi dependen nilai , dipilih supaya menghindari pengenalan solusi ekstrim yang baru.

3.3.9 Pressure Velocity Coupling

Selain factor diskritisasi, yang harus ditentukan pada parameter control solusi adalah Pressure Velocity Coupling mengenai cara kontinuitas massa dihitung apabila menggunakan solver segregated. Terdapat 3 metode untuk Pressure Velocity Coupling, yaitu : - Semi Implicit-Method for Pressure Linked Equation SIMPLE Algoritma SIMPLE menggunakan hubungan antara koreksi kecepatan dan tekanan untuk menjalankan kekekalan massa dan untuk mendapatkan daerah tekanan. Jika persamaan momentum dipecahkan dengan menebak daerah tekanan , meghasilkan fluks bidang , dikomputasi dari persamaan 3.32. ………………………..3.37 tidak memuaskan persamaan kontinuitas. Sebagai konsekwensinya, koreksi ditambahkan ke bidang fluks sehingga koreksi bidang fluks . Universitas Sumatera Utara ………………………3.38 memuaskan persmaan kontinuitas. Dalil algoritma SIMPLE pada dapat ditulis : ………………………..3.39 Dimana, adalah tekanan koreksi sell. Alogiritma SIMPLE mensubstisusikan persaman koreksi fluks Persamaan 3.38 dan 3.39 ke dalam persamaan diskrit kontinuitas Persamaan 3.32 untuk memperoleh persamaan diskrit pada koreksi tekanan dalam sell : ………………………..3.40 Dimana, istilah sumber b adalah angka aliran bersih ke dalam sell : ………………………3.41 Sekali lagi, solusi diperoleh, tekanan sell dan fluks bidang dikoreksi menggunakan: …………………………...3.42 ………………………..3.43 Disini adalah faktor under-relaxation untuk tekanan. Koreksi bidang fluks, , memuaskan persamaan diskrit kontinuitas yang identik pada waktu masing-masing iterasi. Universitas Sumatera Utara Dapat mempercepat konvergensi untuk kasus yang sederhana, misalnya aliran laminar dengan bentuk geometri yang tidak terlalu kompleks. Seperti dalam SIMPLE, persamaan koreksi dapat ditulis : ………………..3.44 Bagaimanapun juga, koefisien dikenal sebagai fungsi . menggunakan modifikasi ini persamaan koreksi menunjukkan untuk mempercepat konvergensi dalam masalah dimana pressure-velocity coupling adalah pencegah utama untuk memperoleh solusi. - Pressure-Implicit with Splitting of Operators PISO PISO adalah skema pressure-velocity coupling, bagian keluarga algoritma SIMPLE, bebasis derajat tinggi aproksimasi hubungan antara koreksi tekanan dan kecepatan. Berguna untuk aliran transien atau kasusu dengan mesh yang mengandung skewness tinggi.

3.3.10 Grafik Kompatibilitas Model FLUENT

Grafik berikut merangkum kompatibilitas beberapa kategori model FLUENT : • Model multifasa • Model domain bergerak • Model turbulensi • Model pembakaran Universitas Sumatera Utara Sebagai catatan, bahwa y mengindikasikan bahwa dua model adalah kompatibel dengan yang lainnya, sedangkan n mengindikasikan bahwa dua model adalah tidak kompetibel denganyang lainnya. Universitas Sumatera Utara Gambar 3.5 Kompatibilitas model pada FLUENT

BAB IV ANALISA TERMODINAMIKA