sedangkan syarat batas dinamik terjadi karena adanya gaya-gaya yang bekerja pada fluida. Misalkan
, adalah kurva yang membatasi air dan udara dan dinyatakan oleh persamaan permukaan
, , ,
, sehingga diperoleh syarat batas kinematik pada permukaan fluida adalah
di z = , ,
sedangkan syarat batas kinematik di dasar fluida yang tidak rata adalah
di z = -hx. Syarat batas dinamik hanya berlaku pada permukaan saja, diturunkan
berdasarkan persamaan Euler dengan asumsi fluida tak kental invicid dan tekanan di permukaan sama dengan tekanan udara, misalnya nol. Jadi syarat batas
dinamik adalah di z =
, . Dengan demikian diperoleh persamaan-persamaan dasar berikut :
di Ωη. 2.7
di z = -hx. 2.8 di z =
, . 2.9 di z =
, . 2.10
2.3 Penurunan Persamaan KdV
Salah satu metode untuk menurunkan persamaan KdV adalah metode Asimtotik. Metode ini merupakan cara penurunan persamaan KdV yang
diperkenalkan oleh Newell dengan menskalakan peubah berikut : ;
√
; √ ;
√ .
Jika peubah-peubah tersebut di atas disubstitusikan ke persamaan 2.7, 2.8, 2.9 dan 2.10, maka diperoleh
di Ωη; 2.11
di z = -hx; 2.12 √
di z = 2.13 di z = 2.14
Selanjutnya untuk penyederhanaan, tanda dapat diabaikan.
Misalkan penyelesaian persamaan 2.11 – 2.14 berbentuk Φx, z, t = x,z,t+
, , , ,
… 2.15 Jika persamaan 2.15 disubstitusikan kedalam persamaan 2.11, maka diperoleh
. 2.16 Koefisien dari
, dan memberikan persamaan berikut
2.17 2.18
. 2.19 Jika persamaan 2.15 disubstitusikan ke persamaan 2.12, maka diperoleh :
, di 2.20
Koefisien dari ,
dan memberikan persamaan berikut di
2.21 , di
2.22 , di
2.23 Jika persamaan 2.17 diintegralkan terhadap , maka diperoleh
Karena , maka diperoleh
, ,
sehingga fungsi tidak bergantung pada peubah . Jadi dapat dimisalkan
, , 2.24 Dari persamaan 2.18 dan persamaan 2.24 diperoleh
, dan integralkan dari
ke , diperoleh ,
Karena , maka setelah diintegralkan dari ke diperoleh
. 2.25 Dengan cara yang sama, dimana h = O , diperoleh
berbentuk . 2.26
Jika persamaan 2.24, 2.25 dan 2.26 disubstitusikan kembali ke persamaan 2.15, maka diperoleh
, , ,
. 2.27 Dengan memisalkan
pada persamaan 2.27, maka persamaan 2.13 dan 2.14 berturut –turut memberikan persamaan berikut
2.28 dan
. 2.29
Selanjutnya, diperkenalkan peubah berikut , X = , 2.30
dimana dengan cx=
. Misalkan
, dalam peubah dan X dinyatakan sebagai berikut ,
, , 2.31
Jika persamaan 2.31 disubstitusikan ke persamaan 2.28 dan 2.29, maka diperoleh
. 2.32 Kemudian dimisalkan
;
∆
2.33 U
, 2.34 maka persamaan 2.32 dapat dinyatakan oleh persamaan berikut
. 2.35 Penurunan persamaan 2.35 diberikan pada lampiran 1.
Jika batas bawah berupa dasar yang bervariasi dengan sangat lambat kecil, maka dari persamaan 2.35 diperoleh
2.36 dengan suatu parameter kecil. Dalam tulisan ini akan dikaji persamaan KdV
yang melibatkan parameter perturbasi yang dinyatakan oleh persamaan berikut 2.37
dengan suatu fungsi yang bergantung pada dan turunan-turunan .
Selanjutnya, untuk batas bawah berupa dasar yang rata di , konstan
maka dari persamaan 2.35 diperoleh
2.38 yang merupakan persamaan KdV standar. Persamaan KdV standar memenuhi
hukum konservasi massa dan energi yang dibahas dalam subbab berikut.
2.4 Konsep Hukum Konservasi
