Salah satu sifat yang menarik dari persamaan KdV adalah berlakunya hukum konservasi massa dan energi, serta memiliki penyelesaian dalam bentuk
gelombang soliter. Salah satu penelitian mengenai perilaku penyelesaian persamaan KdV yang
melibatkan parameter perturbasi dengan menggunakan pendekatan metode perturbasi multiskala multiscale perturbation expansion dilakukan oleh Johnson
[1]. Kemudian dikembangkan oleh Ko dan Koehl [2] dan Grimshaw [5]. Kapman dan Maslov [3], Kaup dan Newell [4], melakukan hal yang sama yakni
untuk mengetahui perilaku penyelesaian persamaan KdV, tetapi dengan metode yang berbeda, yaitu dengan menggunakan teknik transformasi hamburan terbalik
the techniques of the inverse scattering transform. Berdasarkan kedua pendekatan yang dilakukan di atas diperoleh hasil yang
sama untuk perubahan amplitudo gelombang soliter terhadap besaran yang sama. Keduanya konsisten dengan hukum konservasi massa dan energi. Tetapi prediksi
terhadap kecepatan phase gelombang soliternya belum disajikan. Penelitian ini akan mencakup prediksi terhadap kecepatan phase gelombang soliter, khususnya
gelombang soliter terganggu pada persamaan KdV yang melibatkan parameter perturbasi.
1.2 Tujuan Penelitian
Berdasarkan uraian di atas, maka tujuan dari penelitian ini adalah : 1.2.1
Menurunkan suatu persamaan bagi kecepatan phase gelombang soliter terganggu dengan menggunakan metode asimtotik.
1.2.2 Mengkaji perubahan amplitudo dan kecepatan phase gelombang soliter
terganggu pada suatu contoh kasus yang diberikan.
II LANDASAN TEORI
Pada bagian ini akan dibahas konsep-konsep yang mendasari penelitian, yakni konsep metode asimtotik yang disajikan dari [6] dan [7], persamaan dasar
fluida dan penurunan persamaan KdV yang dirangkum dari [8] dan [9], serta konsep hukum konservasi dari pustaka [10] dan [11].
2.1 Konsep Metode Asimtotik
Metode asimtotik adalah suatu teknik yang digunakan untuk menentukan suatu fungsi yang merupakan penyelesaian dari suatu masalah nilai awalbatas,
dimana fungsi tersebut dinyatakan dalam deret pangkat terhadap suatu parameter kecil. Deret pangkat tersebut dapat berupa deret yang konvergen atau divergen.
Berikut ini adalah konsep dasar metode asimtotik. Misalkan ft ,x,
: R x R
n
x R kontinu terhadap
dan x ,
dan merupakan parameter kecil. Fungsi f mempunyai uraian terhadap .
Untuk kasus yang khusus f mempunyai uraian Taylor terhadap , yaitu : , ,
, , ,
, , 2.1
dengan koefisien
, , … . , bergantung pada t dan x.
Salah satu contoh penggunaan metode asimtotik adalah menyelesaikan masalah nilai awal MNA berikut :
,, ,
2.2 dengan syarat awal
,
,
. Akan dicari suatu penyelesaian masalah di atas dengan menggunakan metode asimtotik.
Misalkan penyelesaian persamaan tersebut dalam bentuk uraian asimtotik .
Jika pemisalan penyelesaian di atas disubstitusikan ke dalam persamaan 2.2, maka koefisien untuk
memberikan persamaan
,,
. Untuk koefisien
memberikan persamaan
,, ,
dan seterusnya, untuk , , , … memberikan
,, ,
, n = 2,3,… Kemudian dengan menggunakan syarat awal :
,
,
,
,
, , , , ..
maka diperoleh penyelesaian MNA .
Penyelesaian eksak dari persamaan differensial 2.2 dengan syarat awal ,
,
, adalah √
t
√
√ t.
Perbandingan penyelesaian MNA pada persamaan 2.2, baik penyelesaian dengan pendekatan metode asimtotik maupun penyelesaian eksaknya untuk =
0.1, diberikan pada Gambar 1 berikut.
Gambar 1 Grafik penyelesaian MNA dengan metode asimtotik garis penuh dan penyelesaian eksak garis putus-putus.
Pada Gambar 1 diperlihatkan bahwa metode asimtotik memberikan penyelesaian yang tak jauh berbeda dengan penyelesaian eksaknya. Dengan
demikian metode asimtotik dapat digunakan untuk menyelesaikan berbagai masalah tak linier.
4 2
2 4
2.0 1.5
1.0 0.5
0.0 0.5
1.0 1.5
2.2 Persamaan Dasar Fluida Ideal
