IV PEMBAHASAN DAN HASIL
4.1 Analisis Asimtotik
Pada bagian ini akan dibahas penurunan persamaan kecepatan phase gelombang soliter dengan menggunakan metode asimtotik. Untuk itu, tinjau
persamaan Korteweg-de Vries KdV yang melibatkan parameter perturbasi berikut
U
t
+ 6UU
x
+ U
xxx
= RU 4.1 dengan
suatu parameter kecil, dan RU merupakan fungsi yang tidak hanya bergantung pada Ux,t tetapi juga pada turunan-turunan U. Selanjutnya,
sebagaimana yang dilakukan oleh Grimshaw dan Mitsudera [12], peubah waktu dan koordinat horizontal masing-masing dimisalkan sebagai berikut :
T = . 4.2
, . dengan C suatu fungsi yang bergantung pada waktu, dan diinterpretasikan
sebagai besaran kecepatan. Dengan menggunakan metode asimtotik, diasumsikan bahwa peubah tak
bebas dan peubah C memiliki uraian asimtotik sebagai berikut :
, …. 4.4
4.5 Substitusikan persamaan 4.2, 4.3, 4.4 dan 4.5 ke persamaan 4.1, maka
koefisien untuk memberikan persamaan
. 4.6 Untuk koefisien
memberikan persamaan , 4.7
sedangkan untuk koefisien memberikan persamaan
= . 4.8
Persamaan 4.6 merupakan persamaan KdV standar untuk , sedangkan
dan masing-masing diperoleh dari persamaan 4.7 dan 4.8. Penurunan
persamaan 4.6, 4.7 dan 4.8 diberikan pada lampiran 2.
4.2 Gelombang Soliter Tak Terganggu
Berikut ini akan ditentukan penyelesaian dari persamaan KdV 4.6 yang
diasumsikan berupa gelombang soliter, yaitu gelombang berjalan yang dalam perambatannya mempertahankan bentuk dan kecepatannya.
Jika persamaan 4.6 diintegralkan terhadap , maka diperoleh 4.9
dengan K konstanta pengintegralan. Misalkan gelombang berjalan yang ditinjau berupa gelombang soliter, dimana simpangan gelombang
dan semua turunannya menuju 0 di
∞, maka K = 0, sehingga persamaan 4.9 menjadi . 4.10
Jika persamaan 4.10 dikalikan dengan , kemudian diintegralkan terhadap ,
diperoleh = . 4.11
Karena diasumsikan penyelesaian berupa gelombang soliter, maka ,
sehingga persamaan 4.11 menjadi =
, 4.12 atau
= √
. 4.13 Kemudian kedua ruas pada persamaan 4.13 diintegralkan, diperoleh
√ tanh √ 4.14
atau . 4.15
Dengan demikian penyelesaian persamaan 4.5 adalah ,
4.16 dengan
4.17 Fungsi
, yang diberikan pada persamaan 4.16 merupakan simpangan gelombang soliter dalam kondisi tak terganggu tanpa perturbasi.
Berdasarkan persamaan 4.16 dan 4.17 diperoleh tiga parameter
gelombang soliter untuk persamaan KdV 4.6, yaitu a, γ dan C
yang semuanya bergantung pada T. Jika salah satu parameter diketahui, maka dua parameter
lainnya dapat ditentukan. Parameter C menyatakan kecepatan phase gelombang
soliter tak terganggu, parameter a menyatakan amplitudo gelombang, sedangkan parameter
γ memberikan panjang gelombang soliter tak terganggu.
4.3 Gelombang Soliter Terganggu
Kategori