2.38 yang merupakan persamaan KdV standar. Persamaan KdV standar memenuhi
hukum konservasi massa dan energi yang dibahas dalam subbab berikut.
2.4 Konsep Hukum Konservasi
Misalkan E dan F fungsi yang bergantung pada , dan memenuhi
[ . 2.39
Jika terdapat fungsi E dan F yang memenuhi persamaan 2.39, maka dikatakan
berlaku hukum konservasi. Jika kedua ruas pada persamaan 2.39 diintegralkan terhadap variabel x ,
maka diperoleh ,
dengan kata lain
∞ ∞
merupakan suatu konstanta terhadap t.
Sebagai contoh, untuk persamaan KdV standar berikut U
t
+ 6UU
x
+ U
xxx
= . 2.40
Persamaan 2.40 dapat ditulis ,
sehingga dipilih
F = 3U
2
+ U
xx
. Jadi bentuk
,
merupakan konstanta terhadap t, dan dikenal sebagai hukum konservasi massa. Selanjutnya, jika persamaan 2.40 diturunkan terhadap x, diperoleh
= 0, sehingga
.
Jika dipilih E = F =
,
maka diperoleh bentuk
yang merupakan konstanta terhadap t, dan dikenal dengan hukum konservasi
energi.
III METODE PENELITIAN
Pada penelitian ini, dibahas tinjauan matematis mengenai gelombang internal. Salah satu persamaan yang dapat menggambarkan perilaku gerak gelombang
internal adalah persamaan KdV. Persamaan KdV ini diturunkan dari persamaan dasar fluida ideal, yaitu fluida yang tak mampat incompressible dan tak kental
inviscid. Persamaan KdV adalah suatu persamaan bagi gelombang yang panjang gelombangnya jauh lebih besar dari pada amplitudonya.
Untuk menentukan penyelesaian persamaan KdV yang melibatkan parameter perturbasi secara eksak, dengan menggunakan metode standar, penyelesaian
persamaan differensial parsial tersebut sulit dilakukan. Oleh karena itu dalam tulisan ini penyelesaiannya ditentukan dengan menggunakan metode asimtotik.
Metode ini banyak digunakan dan tepat untuk menyelesaikan berbagai masalah tak linier.
Dalam metode asimtotik, persamaan KdV diselesaikan dengan memisalkan peubah-peubah tak bebasnya dalam bentuk uraian asimtotik, sebagaimana yang
dilakukan oleh Grimshaw dan Mitsudera [12]. Dari uraian asimtotik, jika orde persamaan diperhatikan, maka pada orde
pertama diperoleh persamaan KdV standar. Penyelesaian persamaan KdV standar dilakukan dengan menggunakan asumsi bahwa penyelesaiannya berupa
gelombang berjalan yang berupa gelombang soliter, yaitu suatu gelombang yang dalam perambatannya mempertahankan bentuk dan kecepatannya. Asumsi ini
diperlukan karena dalam observasi di laut dan di selat, gelombang soliter internal terdeteksi di permukaan lewat foto satelit melalui pola gelap terang. Dimana pola
gelap terang tersebut berkaitan dengan panjang gelombang soliter internal. Untuk orde selanjutnya pada uraian asimtotik, diturunkan suatu persamaan
bagi kecepatan phase gelombang soliter terganggu dengan menggunakan kondisi terselesaikan suatu masalah nilai batas. Hasil ini juga diverifikasi dengan
menggunakan hukum konservasi massa dan energi. Persamaan yang diperoleh secara ekplisit menggambarkan perubahan kecepatan phase gelombang soliter
terganggu.
Besaran-besaran yang diperoleh dari penyelesaian persamaan KdV standar yang berupa gelombang soliter tak tergangu, digunakan untuk memprediksi
kecepatan phase gelombang soliter terganggu. Aplikasi dari metode yang telah diuraikan ini, dilakukan dengan mengkaji
dua contoh kasus. Berdasarkan kedua contoh kasus ini dibahas perubahan amplitudo dan kecepatan phase gelombang soliter terganggu. Selain itu, dibahas
juga perubahan ekor-ekor dari gelombang soliter terganggu. Hasil numerik diperoleh dengan bantuan software Mathematica6.
IV PEMBAHASAN DAN HASIL
4.1 Analisis Asimtotik
